Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Числовые и функциональные ряды. Учебное пособие.pdf
Случай 2
Пусть () – нечетная функция.
Тогда из формулы (3.29), учитывая, что функция ()cos – нечет-
ная, а функция ()sin – четная, имеем
() =
() cos
= 0, () =
∞
() sin
Тогда формула (3.28) примет вид
∞
2
)
=
(
∞
=
()sin
∞
() sin
sin
=
. (3.31)
Пример 3.21. Представьте интегралом Фурье функцию
,∞ < < 0
() =
0, = 0
, 0 < < +∞.
Решение. 1. Функция () абсолютно интегрируема на (∞; +∞
.
)
:
∞
∞
|
(
)
|
=
∞
+
∞
=
|
∞
+
(
∞
)
|
= 1 + 1 = 2.
2. Функция () удовлетворяет условиям Дирихле на любом конеч-
ном промежутке числовой оси
(
∞; +∞
)
.
Функция () – нечетная, она представляется интегралом Фурье
(3.31) в точках ее непрерывности (0):
2
)
=
(
=
()sin
sin
В точке разрыва = 0 имеем
Ответ. () =
sin
sin
=
()()
, .
sin
=
= 0 = (0).
=
sin
.
181
Случай 3
Пусть функция () определена и абсолютно интегрируема на
(
0; +). Тогда при > 0 функция () может быть представлена инте-
гралом Фурье, либо формулой (3.30), либо формулой (3.31), смотря по то-
му, четным или нечетным образом она будет продолжена на интервал
(
∞; 0
)
.
Пример 3.22. Представьте интегралом Фурье функцию
sin , 0 <
() =
0, >
2
.
2
Решение. Данная функция () определена и абсолютно интегриру-
ема на
(
0; +
)
:
|
()|
=
/
|
sin |
< +.
Продолжив заданную функцию нечетным образом на интервал
(
; 0
)
, получим функцию
() =
(), (0; +
(), (; 0
)
)
,
которая удовлетворяет условиям теоремы 3.7, т. е. абсолютно интегриру-
ема на
(
; +
промежутке числовой оси
Следовательно,
)
и удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном
(
; +
()
может быть представлена интегралом Фурье по
)
.
формуле (3.31):
/
sin sin
sin
sin
=
.
()
=
2
=
()sin
182
Вычислим отдельно внутренний интеграл:
sin sin
/
1
=
cos( )
2
sin( 1 )
=
2
2
2
sin
sin
=
2(1 )
Откуда имеем: () =
Ответ. () =
=
(
1
2
(
2
1 +
1
[cos( ) cos( + )]
2
/
1
cos( + )
2
)
+
2
)
sin
sin( 1 + )
2
cos
=
(
2
1
sin
,
(
1 +
2
)
)
2
,
(
0; +∞
=
cos
(
1 +
2
(
0; +∞
)
.
)
=
=
=
cos
1
)
.
2
.
3.9. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ
В интегральной формуле Фурье (3.27) внутренний интеграл является
четной функцией от , поэтому формулу (3.27) можно переписать в сле-
дующем виде:
∞
1
)
(
=
=
()cos ()
∞
∞
Так как функция () абсолютно интегрируема на (∞; +∞
грал
∞
() sin ()
∞
∞
∞
∞
() cos ()
∞
=
. (3.32)
)
, то инте-
существует и является нечетной функцией
от , поэтому
∞
∞
∞
() sin ()
∞
183
= 0. (3.33)
Прибавим к равенству (3.32) равенство (3.33), умноженное на ,
и получим
() =
∞
∞
()
()
. (3.34)
∞
∞
Равенство (3.34) называется интегралом Фурье в комплексной форме
и его можно записать в виде
∞
∞
∞
∞
(
)
=
() =
=
∞
1
()
2
∞
∞
1
()
2
∞
или
() =
∞
∞
()
, (3.35)
где
() =
∞
()
. (3.35а)
∞
Пример 3.23. Представьте интегралом Фурье в комплексной форме
функцию () =
0,
||
1.
Решение. Данная функция () определена и абсолютно интегриру-
1,1 < < 1
ема на
(
∞; +∞
∞
)
:
∞
|
()|
=
= 2 < +∞.
Функция удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном про-
межутке числовой оси
(
∞; +∞
)
.
Следовательно, функция () может быть представлена интегралом
Фурье в комплексной форме по формуле (3.35):
() =
()
184
.
Вычислим
1
)
(
=
=
()
2
=
Окончательно получим () =
Ответ. () =
∞
∞
3.10. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
В формуле (3.34) положим
1
=
2
∞
∞
=
, (∞; +∞
sin .
.
)
.
=
() =
∞
∞
()
. (3.36)
Тогда
() =
∞
()
. (3.37)
∞
Функция () называется преобразованием Фурье функции () –
прямое преобразование Фурье.
Формула (3.37), выражающая () через ее преобразование Фурье,
называется формулой обращения для преобразования Фурье – обратное
преобразование Фурье.
Заметим, что формулы (3.36) и (3.37) внешне схожи, вторая отличает-
ся от первой знаком в показателе и множителем
перед интегралом. Но
они различны по существу: равенство (3.36) есть определение функции
(), а равенство (3.37) есть интегральная формула Фурье, утверждающая, что интеграл справа равен заданной функции ().
185
Для симметрии можно определить () по формуле
() =
∞
()
. (3.36а)
∞
Тогда
() =
∞
()
. (3.37а)
∞
Пусть () – четная функция. Запишем равенство (3.30) в виде
() =
∞
∞
() cos
cos
.
Положим
∞
() =
() cos
. (3.38)
Тогда
∞
() =
() cos
. (3.39)
Функция () называется косинус-преобразованием Фурье функции
().
Пусть () – нечетная функция. Перепишем равенство (3.31) в виде
Положим
Тогда
() =
∞
() =
() =
∞
() sin
∞
() sin
∞
() sin
186
sin
.
. (3.40)
. (3.41)
Функция () называется синус-преобразованием Фурье функции
().
Косинус-преобразование Фурье есть преобразование Фурье для четных функций, синус-преобразование – преобразование Фурье для нечетных функций.
Пусть на числовой оси задан непериодический сигнал ().
Функция () называется также спектральной функцией или спек-
тральной плотностью сигнала ().
Функция
|
()
|
называется амплитудным спектром, функция
() = () – фазовым спектром функции ().
|
()| и () являются спектральными характеристиками
ла ().
Прямое и обратное преобразования Фурье являются парой интеграль-
ных уравнений. Эти уравнения показывают, что если известен сигнал ()
во временной области, то можно определить его спектральную функцию
)
(
и её спектральные характеристики, и, наоборот, по спектральной
функции () можно восстановить сигнал () во временной области.
Следовательно, описания сигнала временными функциями (сигнала-
ми) и спектральными функциями равноправны. При решении конкретных
задач, связанных с распространением сигналов, используют одну из форм
представления, исходя из простоты математического анализа. Для практи-
ческой реализации преобразования Фурье переходят к дискретному пре-
образованию Фурье (ДПФ) и применяют алгоритм быстрого преобразова-
ния Фурье (БПФ), который позволяет вычислять ДПФ с гораздо меньшим
числом математических операций.
Пример 3.24. Найдите преобразование Фурье функции
ℎ,
() =
0,||.
187
Решение. Функция () является абсолютно интегрируемой на
(
∞; +∞), найдем преобразование Фурье функции () по формуле (3.36):
∞
()= ()
∞
ℎ
(
=
)
= ℎ
=
=
ℎ
2sin = 2ℎ
ℎ
.
=
Пример 3.25. Найдите спектральную плотность и амплитудную ха-
рактеристику непериодического сигнала (единичной функции Хевисайда)
0, < 0
() =
1, 0.
Решение. Данная функция () не является абсолютно интегрируемой
(
на
; +
умножают заданную функцию на функцию
тральную плотность функции ()
)
, поэтому не применима формула (3.36). В таком случае
, > 0, вычисляют спек-
, затем искомую спектральную
плотность находят, переходя к пределу при 0:
∞
()=
()
∞
=
Амплитудный спектр
()
|
()
|
=
∞
.
=
=
∞
=
()
.
Пример 3.26. Найдите спектральную плотность функции () =
(колоколообразный или гауссовский импульс).
Решение. Функция () является абсолютно интегрируемой на
(
∞; +∞
)
, вычислим спектральную плотность данной функции по форму-
ле (3.36):
=
∞
()= ()
∞
=
188
∞
∞
=
∞
=
∞
=
∞
∞
=
∞
=
∞
=
=
где = 2, =
.
∞
2
∞
∞
∞
=
= 2
∞
∞
=
=
=
2
+
2
=
2
=
,
Получили любопытный результат, который имеет важное значение
для теории сигналов. Гауссовский импульс
=
() =
и его спектр
() =
выражаются одинаковыми функциями и обладают свойством симметрии:
для получения одной из них по заданной другой достаточно заменить t
на и наоборот.
Ответ. () =
.
3.11. ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА
Теорема Котельникова имеет прямое отношение к теории передачи
информации по каналу связи и основана на красивой комбинации ряда
и интеграла Фурье.
189
Известно, что в силу ограниченных возможностей органов чувств человека он может воспринимать звуковые сигналы в диапазоне частот от
20 Гц до 20 кГц; видимое электромагнитное излучение, воспринимаемое
человеческим глазом, находится в диапазоне частот от 400 до 790 ТГц
(1 = 10); радиодиапазон, закрепленный за FM-станциями, −
87,5−108 МГц; диапазон эфирного телевидения − 49,75−56,25 МГц; диапа-
зон мобильной связи стандарта GSM – 890–960 МГц.
Поскольку все вычислительные информационные устройства могут
работать лишь с дискретными сигналами, то возникает необходимость
в переходе от непрерывных процессов к дискретным. Теорема Котельни-
кова утверждает, что непрерывный сигнал с ограниченным спектром
можно точно восстановить по его дискретным значениям (отчетам).
Предположим, что передаваемый сигнал () ( – , < < )
имеет финитный спектр, отличный от нуля для частот , величина которых не превышает некоторого критического значения > 0. Итак, пусть
(
)
= 0 при
||
> , поэтому представление
()
(
1
)
=
2
для функций с финитным спектром сводится к интегралу лишь по проме-
жутку
[
,
Функцию (
[
, ] системе функций exp
]
:
=
)
=
()
, :
)
(
)
разложим в ряд Фурье по ортогональной на отрезке
(
. (3.41)
. (3.42)
Тогда ввиду формулы (3.41) получаем для коэффициентов
ряда следующее представление:
=
()
190
=
. (3.43)
этого