Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Числовые и функциональные ряды. Учебное пособие.pdf
Поскольку
=
1
= 1,
то ряд сходится и его сумма равна 1.
Ответ. 1.
1.2. РЯД ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ
Определение 1.4. Ряд
+ + +. . . +
+. . . =
где 0, – заданные числа, называется рядом геометрической прогрессии, – первым членом, – знаменателем геометрической прогрессии.
, (1.4)
Утверждение 1.1.
1. При
сумма равна =
2. При
||
< 1 ряд геометрической прогрессии (1.4) сходится и его
||
1, 0, ряд (1.4) расходится.
=
.
Доказательство. По определению частичной суммы для ряда (1.4)
имеем
= + + +
.
Умножив обе части этого равенства на , получим
= + + +
+
.
Вычтем полученное равенство из исходного.
После сокращений и вынесения общих множителей получим
(1 ) = (1
11
),
откуда
=
,
||
1
(это равенство доказывалось в школьном курсе математики).
= 0 и поэтому
=
=
=
.
Если
||
<1, то
=
Первая часть утверждения доказана.
Неравенству
||
1 удовлетворяют те значения , для которых
выполнено одно из четырех условий: 1) < 1, 2) = 1, 3) = 1,
4) > 1.
Для доказательства второй части утверждения надо показать, что при
0 в любом из указанных случаев
1. Пусть < 1, 0. Тогда
бесконечен или не существует.
= +,
= .
Очевидно, что
=
и
=
равны бесконечностям с разными знаками.
Поэтому
и
не существует1.
2. Пусть = 1, 0. Тогда
0,
= + +. . . +(1)=
,
и
ный, существует, то любая подпоследовательность данной последовательности имеет тот же предел,
что и исходная последовательность.
не существует, так как
= 0 =
1
Из теории пределов известно, что если предел последовательности, конечный или бесконеч-
.
12
3. Пусть = 1, 0. Тогда
и
равен бесконечности (со знаком, совпадающим со знаком ).
4. Пусть > 1. Тогда
= + + +. . . +
=
= + и
1
1
=
=
(со знаком, совпадающим со знаком ). Утверждение доказано.
Пример 1.5. Проверьте сходимость ряда
, и в случае сходимо-
сти найдите сумму ряда.
Решение.
грессии, =
< 1, =
.
+
+ +
=
+ – ряд геометрической про-
По утверждению 1.1 данный ряд сходится и
=
т. е.
=
Ответ. Ряд сходится и =
.
1.3. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
Теорема 1.1. Если сходятся ряды
(
±
)
, при этом
=
=
,
,
=
.
, то сходится и ряд
где
= ,
= .
(
±
13
)
= ± ,
Доказательство. Пусть и
и
;
– n-я частичная сумма ряда
– n-е частичные суммы рядов
(
±
)
. Тогда
= (± )+. . . +(± ) = ±
=
Следовательно, ряд
(± ) =
(
±
(±
)
)
±
= ± .
сходится, при этом
= ± ,
.
что требовалось доказать.
Замечание. Если один из рядов
расходится, то ряд
и
расходятся, то ряд
(
±
)
расходится. Если оба ряда
(
±
,
)
может оказаться как сходя-
сходится, а другой
щимся, так и расходящимся. Попробуйте обосновать эти утверждения са-
мостоятельно.
Теорема 1.2. Если сходится ряд
, при этом его сумма равна
где
= .
Доказательство. Пусть ,
, т. е.
= + +. . . +
= +. . . +=
Тогда имеем
– n-е частичные суммы рядов
= ,
, то сходится ряд
,
.
,
,
=
() =
14
= .
Следовательно, ряд
сходится, при этом
= ,
что требовалось доказать.
Замечание. Сходящиеся ряды можно умножать на число, почленно
складывать и вычитать так же, как и конечные суммы.
Теорема 1.3. Если к ряду добавить (или отбросить) конечное число
членов, то полученный ряд и исходный ряд сходятся или расходятся одно-
временно.
Доказательство. Пусть
= + + ... +
+ ... (1.5)
произвольный числовой ряд и ряд
= + + ... +
+ ... (1.6)
получается из (1.5) удалением некоторых его членов.
Требуется доказать, что из сходимости одного из рядов (1.5) и (1.6)
следует сходимость другого, т. е. для частичных сумм
= + +. . . +
= + +. . . +
,
рядов (1.5) и (1.6) из существования и конечности одного из пределов
=
или =
следует существование и конечность другого.
Рассмотрим цепочку рядов, которая получается при последователь-
ном удалении одного за другим элементов ряда (1.5). В этой цепочке
15
ряд (1.5) – первый, ряд (1.6) – последний, m-й, а каждый следующий – ре-
зультат удаления одного элемента предыдущего ряда. Очевидно, что дока-
зываемое свойство рядов (1.5) и (1.6) будет выполнено, если аналогичным
свойством обладает любая пара соседних рядов в цепочке. В силу произ-
вольности исходного ряда (1.5) это означает, что для доказательства тео-
ремы достаточно доказать ее в частном случае, когда = 1 (удаляется
только один элемент).
В этом случае ряд (1.6) имеет вид
= + + ... +
+
+... +
+ ... ,
где – номер удаляемого элемента.
Очевидно, что > при выполнении неравенства
=
, =
+
. (1.7)
Предположим, что ряд (1.5) сходится, т. е. существует и конечен
= . Из определения предела последовательности следует, что
в таком случае этот предел не зависит от (любого) конечного числа пер-
{
вых членов последовательности
}
и при этом
=
= .
Поэтому правая, а значит, и левая части первого из равенств (1.7) имеют
конечный предел, равный
, т. е. ряд (1.6) тоже сходится. Сходи-
мость ряда (1.5) в предположении о сходимости ряда (1.6) доказывается
аналогично с помощью второго из равенств (1.7). Теорема доказана.
, полученный из данного ряда
Ряд
+
отбрасыванием первых n членов, называется n-м остатком (или
+. . . =
остатком) исходного ряда.
Обозначение:
=
Теорема 1.4.
1) Для любого остаток
тогда, когда сходится сам ряд
или
.
16
=
сходится тогда и только
.
2) Если ряд
сходится, то сумма остатка
стремится к ну-
лю при .
Доказательство. Первое утверждение теоремы – частный случай
теоремы 1.3. Второе легко получается из очевидного равенства
+ =
( и – частичная сумма и сумма исходного ряда соответственно):
=
() = = 0.
Теорема доказана.
Пример 1.6. Проверьте сходимость ряда
Решение. Ряд
получен сложением рядов
.
и
=
=
,
которые являются геометрическими прогрессиями со знаменателями, мо-
дули которых меньше единицы, т. е. сходятся.
По теореме 1.1 сходится и ряд
рядов
и
.
как сумма двух сходящихся
Ответ. Ряд сходится.
1.4. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ РЯДА
Основной задачей теории рядов является исследование сходимости
ряда. Задача о нахождении суммы ряда имеет второстепенное значение,
так как после того, как установлена сходимость ряда, сумма легко может
быть найдена приближенно.
17
Теорема 1.5 (Необходимое условие сходимости ряда).
Если ряд
сходится, то
= 0.
Доказательство. = + +. . . +
=
Так как ряд
сходится, то
= ,
+ =
.
= .
+
, т. е.
Следовательно,
=
(
) = = 0.
Следствие 1.1 (Достаточное условие расходимости ряда). Если
0 или
не существует, то ряд
Доказательство (от противного). Если бы ряд
по теореме 1.5 было бы
= 0, что противоречит условию
расходится.
сходился, то
не
равен нулю или
Пример 1.7. а) Ряд
не существует.
расходится, так как
=
2+ 1
=
1
0
2
(не выполняется необходимое условие сходимости).
б) Ряд
=
расходится, так как
=
+ 1
1 +
1
1 +
(не выполняется необходимое условие сходимости).
в) Ряд
расходится, так как
1
= 0
=
= +
(не выполняется необходимое условие сходимости).
18
г) Ряд
(
1
)
расходится, так как
=
(1)
не существует (не выполняется необходимое условие сходимости).
Условие
= 0 является необходимым, но не достаточным усло-
вием сходимости ряда.
Определение 1.5. Гармоническим1 рядом называется ряд вида
Пример 1.8. Проверьте сходимость ряда
, .
.
Решение. Для заданного ряда выполняется необходимое условие схо-
димости
= 0, однако ряд расходится. Докажем это от противного.
Пусть ряд сходится. Тогда
() =
= = 0.
С другой стороны,
=
+
+. . . +
+
+. . . +
=
=
откуда
.
Это означает, что равенство
(
) = 0
невозможно, что противоречит предположению сходимости ряда.
Значит, гармонический ряд
Ответ. Ряд
1
Или обобщенным гармоническим рядом.
расходится.
расходится.
,
19
Пример 1.9. Проверьте сходимость ряда
.
Решение. Для этого ряда выполняется необходимое условие сходимо-
сти, так как
т. е.
>
.
Поскольку
Ответ. Ряд
= 1 +
= 0. Рассмотрим n-ю частичную сумму
+. . . +
= +, то
расходится.
>
+
+. . . +
=
= +.
=
,
Теорема 1.6 (Необходимое и достаточное условие сходимости гармо-
нического ряда). Гармонический ряд
сходится тогда и только то-
гда, когда > 1.
Доказательство теоремы будет рассмотрено позже.
Если общий член ряда стремится к нулю, то ряд может как сходиться,
так и расходиться.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Определение числового ряда.
2. n-я частичная сумма.
3. Определение суммы ряда.
4. Ряд геометрической прогрессии.
5. Свойства сходящихся рядов.
6. Необходимое условие сходимости ряда.
7. Достаточное условие сходимости ряда.
8. Гармонический ряд, необходимое и достаточное условие сходимо-
сти гармонического ряда.
20