Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Числовые и функциональные ряды. Учебное пособие.pdf
5.23.
(1)
(1)
arctg
(1)
(
)(
)
5.26.
(1)
∞
(
+ 5)3
.
(1)
(1)
(1)
arctg
(1)
arcsin
∞
.
5.24.
∞
.
5.25.
5.27.
5.29.
∞
∞
∞
.
. 5.28.
. 5.30.
∞
∞
.
ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВОГО ВАРИАНТА
Задание 1. Исследуйте на сходимость ряды с помощью предельного
признака сравнения:
а)
∞
(
)
, б)
∞
Решение. а) Общий член ряда имеет вид
Для того, чтобы применить признак сравнения, подберем для сравне-
tg
, в)
=
(
)
∞
.
.
.
∞
ния подходящий ряд
.
Так как поведение дроби определяется старшей степенью числителя
и знаменателя, то отбросим все слагаемые в числителе и знаменателе дроби,
оставив только старшую степень, без коэффициентов, в результате получим
Таким образом, ряд
ческим рядом
=
∞
(
(ряд сходится, так как =
=
)
=
=
.
сравним с обобщенным гармони-
> 1).
Используем предельный признак сравнения:
∞
=
=
∞
∞
= =
∞
(
∞
)
=
∞
(
)
(
)
=
∞
=
∞
=
.
61
Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд
∞
(
)
б) Общий член ряда
сходится вместе с рядом
∞
tg
∞
.
имеет вид
=
tg
Для того, чтобы применить признак сравнения, подберём для сравне-
∞
ния ряд
.
Напомним некоторые эквивалентности, которые используются при
подборе подходящих рядов:
sin,tg,arcsin,arctg,
1 , ln(1 + ), при 0.
Заметим, что
0 при . Следовательно,
tg
при .
.
Заменим в выражении общего члена ряда тангенс дроби на дробь
и затем оставим в числителе и знаменателе каждой дроби только
старшую степень, без коэффициентов. Получим
Таким образом, ряд
моническим рядом
=
∞
.
1
tg
=
=
.
сравним с обобщенным гар-
Используем предельный признак сравнения:
=.
∞
=
∞
=
∞
1
Ряд расходящийся (=
< 1).
62
0
=
=
=
∞
=.
=
=
=
∞,
tg
Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый
∞
ряд расходится вместе с рядом
∞
в) Общий член ряда
Подберём для сравнения ряд
ln
.
имеет вид
.
= ln
.
.
Преобразуем общий член ряда
= ln
Если , то
= ln
ln 1 +
=
:
= ln
+
= ln 1 +
0. Следовательно,
при .
Оставив в числителе и знаменателе этой дроби только старшую сте-
пень, без коэффициентов, получим
Заданный ряд
ским рядом
∞
∞
.
сравним с расходящимся гармониче-
=
=
.
.
Используем предельный признак сравнения:
∞
=
∞
=
=
∞
63
=
∞
∞
∞
=
∞
∞,
ln 1 +
=
=
∞
0
=
∞
=
.
=.
(
)
=
Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый
ряд расходится вместе с рядом
.
∞
Ответ. а) Ряд сходится, б) ряд расходится, в) ряд расходится.
Задание 2. Исследуйте на сходимость ряд
признака Даламбера.
Решение. Поскольку
10
(+ 1)+ 1
(2(
+ 1
(
10
=
+ 1
(
2+ 1
)
,
)
!
=
то
(
+ 2
(
2+ 3
+ 2
+ 1
=
=
10
10
10
10
)
!
)
+ 1)!
)
(
(
∞
(
2+ 1
(
10
+ 1
2+ 1
2+ 3
=
)
)
!
!
(
10
)
=
(
(
2+ 3
!
=
)
)
с помощью
)
!
(
+ 2
)
)
!
,
(
2+ 1)! = 1 2 3 . . .(2+ 1
=
(
2+ 3)! = 1 2 3 . . .(2+ 1
(
)
!
2
1 +
=
Так как
1 0
=
1 +
1
(
2+ 1)! (2+ 2)(2+ 3
(
)(
= 0 < 1, то данный ряд по признаку Даламбера
сходится.
Ответ. Ряд сходится.
Задание 3. Исследуйте на сходимость ряд
)
,
)
(2+ 2)(2+ 3
(
2+ 1
=
)
= 0.
∞
)
!
=
)
=
)
с помощью
радикального признака Коши.
64
Решение. Вычислим предел
+ 2
2+ 5
=
=
=
< 1, то данный ряд по признаку Коши схо-
=
Так как
=
+ 2
2+ 5
+ 2
2+ 5
=
дится.
Ответ. Ряд сходится.
Задание 4. Исследуйте на сходимость ряд
=
+ 2
2+ 5
1 +
2 +
2
5
=
∞
=
.
(
1 +
2 +
+ 2
2+ 5
2
=
5
с помощью
)
=
интегрального признака Коши.
Решение. Общий член ряда = (
)
(
=
(
)
=
)
(
.
. Положим
)
Эта функция неотрицательная, монотонно убывающая и непрерывная
при 1.
По интегральному признаку Коши сходимость заданного ряда экви-
валентна сходимости несобственного интеграла
∞
(
.
)
Вычислим интеграл:
∞
(
ln+ 5
)
=
∞
(
ln+ 5
=
)
= ln+ 5, = 1= 5
=
=
, = = ln+ 5
65
=
=
1
3
1
=
5
.
=
= 3
1
= 3
∞
=
= 3
∞
= 3 0
=
1
ln+ 5
=
Так как несобственный интеграл сходится, то данный ряд также схо-
дится.
Ответ. Ряд сходится.
Задание 5. Исследуйте на абсолютную и условную сходимость знако-
чередующиеся ряды:
а)
∞
(1)
5
, б)
∞
(1)
arcsin
, в)
∞
(1)
Решение. а) Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин
членов ряда
∞
(1)
∞
(1
)
5
:
5
=
∞
5
.
Применим признак Даламбера к полученному ряду.
Поскольку
(
)
(
)
=
,
(
)
=
()
(
=
5
)
=
то
31
(
+ 1)5
=
∞
=
∞
(
+ 2)5
3+ 2
.
,
=
∞
=
5
∞
5
5
5
+ 2
+ 1
66
31
3+ 2
= 5
1 1 =
=
∞
∞
=
.
Так как
∞
=
< 1, то ряд, составленный из абсолютных ве-
личин, сходится по признаку Даламбера, а значит, данный знакочередую-
щийся ряд сходится абсолютно.
б) Пусть задан ряд
∞
(1)
arcsin
.
Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов этого
ряда:
∞
(1
)
arcsin
∞
=
arcsin
.
К полученному ряду применим предельный признак сравнения.
Здесь
= arcsin
Если , то
arcsin
. Подберём для сравнения ряд
0. Следовательно,
arcsin
при ,
=
при .
.
Значит,
=
. Таким образом, ряд
дящимся гармоническим рядом
∞
∞
.
arcsin
сравним с расхо-
Используем предельный признак сравнения:
∞
arcsin
=
∞
1
2
=
0
=
0
∞,
=
arcsin
0
=
∞
=
∞
=
.
Получено конечное, отличное от нуля число, значит, ряд, составлен-
ный из абсолютных величин, расходится.
67
Исследуем сходимость заданного ряда
(
1
)
arcsin
теореме Лейбница.
Имеем
|
1) arcsin
2)
∞
(1)
arcsin
|
> arcsin
= arcsin
= arcsin
,
> arcsin
= arcsin
∞
> ...;
0 = 0.
Оба условия теоремы Лейбница выполнены, следовательно, заданный
ряд сходится и сходится условно.
по
в) Пусть задан ряд
∞
(
1
)
. Рассмотрим ряд, составленный
из абсолютных величин членов этого ряда:
Имеем
(1)
|
∞
|
(1
=
=
)
=
. Если в выражении общего члена
∞
.
ряда старшая степень числителя равна старшей степени знаменателя,
то рекомендуется проверить необходимый признак сходимости ряда:
∞
= 0.
∞
=
∞
=
∞
∞
=
=
0.
Так как необходимый признак сходимости не выполняется, то данный
ряд расходится.
Ответ. а) Ряд сходится абсолютно, б) ряд сходится условно, в) ряд
расходится.
68
2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
2.1.
ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА
Определение 2.1. Ряд
∞
() + ()+. . . +()+. . . =
членами которого являются функции (), (), . . . . (), . . . , ,
, называется функциональным.
Множество G является пересечением всех областей определения
()
, (2.1)
функций
()
,
()
, . . . .
()
, … и называется областью определения
ряда (2.1).
Если подставим в ряд (2.1) числовое значение = , то получим
числовой ряд
∞
() + ()+. . . +(
)+. . . =
(
)
.
Определение 2.2. Совокупность всех тех чисел , при которых
ряд (2.1) сходится, называется областью сходимости ряда (2.1).
Область сходимости ряда (2.1) является подмножеством его области
определения.
Определение 2.3. Последовательность
() = (),
() = () + (),
…,
() = () + ()+. . . (),
…
называется последовательностью частичных сумм ряда (2.1).
Определение 2.4. Суммой ряда (2.1) на множестве X называется
функция () такая, что () =
(), .
∞
Определение 2.5. Если () – сумма ряда (2.1) на множестве X, то го-
ворят, что ряд (поточечно) сходится к функции () на множестве X.
69
() называется предельной функцией для последовательности частичных
сумм ().
Вопрос о сходимости функционального ряда сводится к вопросу о
сходимости функциональной последовательности. Верно и наоборот.
Пусть (); (); . . . ; (); . .. – произвольная последователь-
ность функций. Составим ряд
() + ()+. . . +() + ...,
где
() = () (),
() = () (),
…,
() = ()
(),
…
Тогда, очевидно,
()
=
()
+
()
+. . . +
()
+. . . = (),
т. е. () – последовательность частичных сумм ряда
()
+
()
+. . . +
()
+. .. .
Следовательно, сходимость последовательности функций
()
равносильна сходимости ряда
() + ()+. . . +()+. .. .
Если ряд
()
сходится при некотором значении x, то
() = () и
где () – остаток ряда.
;
()
; … ;
70
()
; …
() = 0,