Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Числовые и функциональные ряды. Учебное пособие.pdf
=
2
sin
2
=
cos
2
4
=
sin
cos
= = 2
=
= cos =
= =
=
= sin =
+
cos
=
sin
=
cos
=
4
=
cos
sin
+
Рядом Фурье функции () будет ряд
Обозначим через (
)
сумму этого ряда. По теореме Дирихле
=
+ 4
4
(1)
.
()
cos .
() = ()
в точках непрерывности функции (), т. е. .
Ответ. () =
+ 4
()
cos , .
Пример 3.8. Разложите в ряд Фурье 2-периодическую функцию
(), заданную на промежутке (, ] формулой () =
.
Решение. Функция () нечетная на интервале (, ), 2-периоди-
ческая, удовлетворяет условиям Дирихле.
Коэффициенты Фурье найдем по формулам (3.12):
=
2
cos
=
2
=
sin
+
2
cos
3
cos
3
+
= = 3
=
= sin =
= = 2
=
= cos =
sin
151
2sin
cos
=
=
sin
=
=
2
cos
6
sin
=
= =
cos
= sin =
=
2
=
2
=
cos
2
=
cos
cos
= (1)
6
+
2
6
cos
6
cos +
=
12
+
= (1)
Рядом Фурье функции () будет ряд
2 cos
∞
+
sin
12
(1)
cos
2
=
+
.
=
6
=
sin
Обозначим через () сумму этого ряда. По теореме Дирихле
() = ()
.
в точках непрерывности функции (),
(
) = 0
в точках разрыва = (2+ 1), .
Заметим, что (
)
= . (Постройте графики функций () и ()).
Ответ.
() =
(1)
sin
, \{(2+ 1),
3.5.3. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
с периодом
Если () – нечетная на [, ], 2-периодическая функция, удовле-
творяющая условиям Дирихле на этом отрезке, то
}
.
() =
∞
152
sin
, (3.15)
=
() sin
, = 1,2,... . (3.16)
Если () – четная на [, ], 2l-периодическая функция, удовлетво-
ряющая условиям Дирихле на этом отрезке, то
() =
=
+
() cos
∞
, = 0,1,2, . . .
cos
, (3.17)
. (3.18)
Пример 3.9. Разложите в ряд Фурье функцию () с периодом 2l, за-
данную на отрезке [, ] формулой () =|
|
.
Решение. Функция () – периодическая функция с периодом 2l, чет-
ная на [, ], удовлетворяет условиям Дирихле на [, ], непрерывна
. График функции () показан на рис. 3.9.
f (x)
l
-3l -2l -l О l 2l 3l x
Рис. 3.9. График 2π-периодической функции (),
заданной на отрезке [, ] формулой () =|
|
Коэффициенты Фурье найдем по формулам (3.18):
=
=
=
2
cos =
,
2
=
cos
153
=
2
=
sin
2
cos =
sin
= =
= cos =
=
2
cos
=
sin
2
=
cos
1
=
0, четное
4
, нечетное.
=
2
(
(1)1)=
Ряд Фурье функции () имеет вид
2
4
cos
+
3
1
cos
3
+
5
1
cos
5
+ .
Обозначим через () сумму этого ряда. По теореме Дирихле
() = () в точках непрерывности функции (), т. е. .
Ответ. () =
cos
+
cos
+
cos
+ , .
Пример 3.10. Разложите в ряд Фурье функцию () с периодом = 6,
заданную на отрезке [-3,3] формулой () =|
|
.
Решение. В предыдущем примере подставим = 3, тогда
0, четное
, нечетное.
=
= 3
, =
Ряд Фурье функции () имеет вид
cos
+
cos
+
cos
+ .
Обозначим через () сумму этого ряда.
По теореме Дирихле () = () в точках непрерывности функции
(), т. е. .
Ответ. () =
cos
+
cos
+
cos
+ , .
154
Пример 3.11. Разложите в ряд Фурье функцию () с периодом = 4,
заданную на промежутке
(
2,2
() =
Решение. Функция () нечетная на интервале (2,2
]
формулой
1, (2,0
1,
(
0,2
]
]
.
)
удовлетворяет
условиям Дирихле, периодическая с периодом = 4.
Положим = 2. Коэффициенты Фурье найдем по формулам (3.16):
=
(
cos 1
=
(
(1)1
)
=
sin
=
cos
0, четное
4
, нечетное.
=
Ряд Фурье для функции () имеет вид
∞
sin
()
)
=
.
Обозначим через () сумму этого ряда.
По теореме Дирихле () = () в точках непрерывности функции
(), (
)
= 0 в точках разрыва = 0, ± 2, ± 4, … функции (). На
рис. 3.10 и 3.11 показаны графики функций () и () соответственно.
f (x)
1
-4 -2 О 2 4 x
- 1
Рис. 3.10. График функции () с периодом = 4,
заданной на промежутке (-2,2] формулой () =
155
1, (2,0
1,
(
0,2
]
]
S (x)
1
-4 -2 О 2 6 x
Рис. 3.11. График функции (), ()= (
)
функции (), (
= 0 в точках разрыва
)
во всех точках непрерывности
= 0, ± 2, ± 4, …
Ответ. () =
sin
()
, R\
{
0, ± 2, ± 4, …
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Периодические функции. Основные свойства периодических функций.
2. Простая гармоника. Сложное гармоническое колебание.
3. Ортогональная система функций. Разложение функции в ряд Фурье
по ортогональной системе функций.
4. Тригонометрический ряд. Достаточный признак сходимости триго-
нометрического ряда.
}
.
5. Ряд Фурье. Коэффициенты ряда Фурье.
6. Разложение в ряд Фурье 2-периодической функции.
7. Условия Дирихле.
8. Теорема Дирихле (достаточные условия разложимости функции
в ряд Фурье).
9. Разложение в ряд Фурье периодической функции с периодом 2l.
10. Свойства четных и нечетных функций.
11. Разложение в ряд Фурье четных функций с периодом 2.
12. Разложение в ряд Фурье нечетных функций с периодом 2.
13. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций с периодом 2l.
156
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
() =
1, (, 0
)
, [0,
]
() =
2, (, 0
)
0, [0,
]
() =
1, (, 0
)
, [0,
]
() =
, (, 0
)
1, [0,
]
() =
, (, 0
)
1, [0,
]
() =
1, (, 0
)
, [0,
]
() =
, (, 0
)
1, [0,
]
() =
1, (, 0
)
, [0,
]
Разложите в ряд Фурье 2π-периодическую функцию (), заданную
на промежутке (, ] формулой:
№ 231.
№ 233.
№ 235.
№ 237.
№ 232.
.
№ 234.
.
№ 236.
.
.
№ 238.
3.6. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ,
ЗАДАННОЙ НА КОНЕЧНОМ ПРОМЕЖУТКЕ
Выше рассматривалось разложение в ряд Фурье периодической
функции, определенной .
.
.
.
.
Пусть () – непериодическая функция, заданная на любом конечном
отрезке [a,b] и удовлетворяющая на этом отрезке условиям Дирихле. Тогда она может быть представлена в виде ряда Фурье на этом отрезке.
3.6.1. Разложение в ряд Фурье непериодической функции,
заданной на отрезке
Пусть функция () непериодическая, задана только на отрезке
[
,
ления данной функции в виде ряда Фурье применим к этой функции из-
ложенную выше теорию для периодических функций.
вала (-π, π) принимает одинаковые значения, положив
]
и удовлетворяет условиям Дирихле на этом отрезке. Для представ-
Для этого построим периодическую функцию () следующим образом:
1) введем вспомогательную функцию (), которая на концах интер-
[
,
]
(π)
=
(π)
(или
любые другие значения в точках ±, );
157
2) вспомогательную функцию () периодически продолжим на всю
числовую ось. Полученная функция () является периодической функ-
цией с периодом 2π, совпадающая с функцией () на интервале (-π, π),
и называется периодическим продолжением функции () на всю число-
вую ось;
3) в ряд Фурье разлагаем функцию
()
.
К построенной таким образом функции () с периодом 2π приме-
няется теорема 3.4 (теорема Дирихле), согласно которой функция ()
разлагается в ряд Фурье (3.7).
Коэффициенты Фурье вычисляются по формулам (3.6).
Ряд Фурье для функции () будет описывать функцию () только
на интервале (-, ), а вне его не будет иметь с () ничего общего. Сумма () ряда Фурье будет равна:
1) () = () в точках непрерывности функции ();
()()
2) (
)
=
в точках разрыва I-го рода
функции
();
3) (±
)
=
на концах отрезка
[
,
]
.
()()
Пример 3.12. Разложите в ряд Фурье функцию () = , заданную на
отрезке
[
,
Решение. Функция () = , заданная на отрезке [,
периодической, удовлетворяет условиям Дирихле на отрезке
]
.
]
, не является
[
,
Введем вспомогательную функцию
()
()= , <
=
()= ()= , = .
]
.
Продолжим построенную функцию периодически с периодом 2π на
всю числовую ось, тогда получим 2π-периодическую функцию (), совпадающую с функцией () = на промежутке (, ). Функция ()
является периодической функцией с периодом 2π, удовлетворяет услови-
158
ям Дирихле на отрезке
[
,
]
, поэтому по теореме Дирихле функция
() разлагается в ряд Фурье (3.7) в точках ее непрерывности.
Вычислим коэффициенты Фурье по формулам (3.6):
=
= 0
=
,
=
sin =(1
cos = 0
)
,
.
Рядом Фурье функции () будет ряд
2
+
.
Полученный ряд Фурье описывает функцию () только на интервале
(, ):
1) его сумма () равна () = () во всех точках непрерывности
функции (), т. е. () = , (,
()()
2) (±
)
=
Ответ. = 2
=
+
)
;
= 0 на концах отрезка
, (,
[
,
)
.
]
.
Пример 3.13. Разложите в ряд Фурье () =
, заданную на проме-
жутке (, ].
Решение. Функция () = , заданная на промежутке (, ], не яв-
ляется периодической.
Введем вспомогательную функцию
()
=
()= , <
()= ()= , = .
Продолжим функцию
()
периодически с периодом 2π на всю чис-
ловую ось, тогда получим 2π-периодическую функцию (), совпадающую с функцией () = на интервале (, ). Функция () является
периодической функцией с периодом 2π, удовлетворяет условиям Дирих-
159
ле на отрезке
[
, ], поэтому по теореме Дирихле функция () разла-
гается в ряд Фурье (3.7) в точках ее непрерывности.
Функция () нечетная на интервале (, ), её коэффициенты
Фурье были найдены в примере 3.8 по формулам (3.12):
= 0, = 0,1,2, . .., = (1)
.
Рядом Фурье функции () будет ряд
∞
(1)
sin
.
Сумма () данного ряда () = () в точках непрерывности функ-
ции (). На рис. 3.12 показаны графики функции
()
, (,
стичных сумм (), (), (), [, ].
]
и ча-
Рис. 3.12. График функции () (показан красным цветом);
графики частичных сумм
()
(показан розовым цветом),
Ответ.
=
∞
(1)
()
(показан зеленым цветом),
() (показан синим цветом), при [,
sin
,(,
)
.
160
]