§ 2. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

§ 2. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

2.3. Второй признак сравнения

2.2. Первый признак сравнения

2.3. Второй признак сравнения

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Числовые и степенные ряды. Учебное пособие.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

541 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 133 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Перейдем к рассмотрению условий сходимости рядов с положительными членами.

2.1.Необходимое и достаточное условие сходимости ряда

сположительными членами

∞

Ряд с положительными членами ∑un сходится тогда и

n=1

только тогда, когда последовательность частичных сумм этого ряда ограничена сверху.

Доказательство.

Необходимость. Пусть ряд сходится. Тогда по определению существует предел последовательности его частичных

сумм lim Sn = S. Следовательно, по свойству пределов по-

n→∞

следовательность частичных сумм ограничена, т.е. существует число M > 0 такое, что Sn < M, n =1,2,...

Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм ряда ограничена сверху. Заметим, что последовательность частичных сумм ряда с положительными членами

монотонно возрастает:	Sn < Sn+1 = Sn +un+1, n =1,2,... , так
как un+1 >0 для всех n.	Тогда по свойству пределов ( моно-

тонно возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел) последовательность частичных сумм

ряда имеет предел lim Sn = S,	т.е. ряд сходится.
n→∞
2.2. Первый признак сравнения
Пусть даны два ряда с положительными членами
∞
∑un, un > 0 ,	(5)

n=1

∞
∑vn, vn > 0 .	(6)
n=1	un ≤ vn ,
Если для всех n выполняется неравенство	un ≤ vn ,

то из сходимости ряда (6) с большими членами следует сходимость ряда (5), а из расходимости ряда (5) с меньшими членами следует расходимость ряда (6).

Доказательство. Рассмотрим n-е частичные суммы рядов (5)

и (6):

S(1)

= u

+... +u

;

S(2)

= v

+... +v

Тогда из неравенства

un ≤ vn,n =1,2,...,

следует

неравенство

Sn(1) ≤ Sn(2) ,n =1,2,... Заметим, что последовательность частичных сумм ряда (5) монотонно возрастает:

S(1)	< S(1)	= S(1)	+u	n+1	,n =1,2,... , так как u	n+1	>0 для всех n.
n	n+1	n		n+1		n+1

Пусть ряд (6) сходится. Тогда по необходимому и достаточному условию сходимости ряда с положительными членами последовательность частичных сумм ряда (6) ограничена, т.е. суще-

ствует число M>0 такое, что Sn(2) < M,n =1,2,... Следовательно,

частичные суммы ряда (5) также ограничены: Sn(1) ≤ Sn(2) < M .

Тогда по необходимому и достаточному условию сходимости ряда с положительными членами ряд (5) сходится.

Пусть ряд (5) расходится. Тогда lim	Sn(1)	= ∞, так как после-
n→∞

довательность частичных сумм монотонно возрастает и не имеет конечного предела.

Следовательно, учитывая неравенство Sn(2) ≥ Sn(1) , получаем

lim S(2) = ∞, т.е. ряд (6) расходится.

n→∞ n

Замечание 1. Теорема справедлива и в том случае, когда неравенство un ≤ vn выполняется при n ≥ N. Это следует из свойст-

ва 1 числовых рядов.

Замечание 2. Первый признак сравнения можно применять и для рядов с неотрицательными членами.

Пусть даны два ряда с положительными членами:

∞
∑un ,	un > 0 ,	(5)
n=1
∞
∑vn ,	vn > 0 .	(6)

n=1

Если существует конечный, отличный от 0, предел отношения общих членов этих рядов:

lim un = k, 0 < k < ∞,

n→∞ vn

то ряды ведут себя одинаково: сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Возьмем произвольное положительное число ε < k. Тогда по определению предела числовой последовательности существует число N, что для всех n ≥ N выполняется нера-


венство	un		−k	<ε,	или −ε <	un	−k < ε,

	v	n				v
						n

или

или k −ε < un < k +ε, vn

(k −ε)vn <un < (k +ε)vn.

(7)

Если ряд (5) сходится, то из левого неравенства (7) вытекает

∞

сходимость ряда ∑(k −ε)vn по первому признаку сравнения, а

n=1

ряд (6) сходится по свойству 2 числовых рядов.

∞

Если ряд (6) сходится, то сходится ряд ∑(k +ε)vn по свойст-

n=1

ву 2 числовых рядов. Тогда из правого неравенства (7) вытекает сходимость ряда (5) по первому признаку сравнения.

∞	1
Пример 1. Исследовать сходимость ряда ∑		.
	n

n=1 n

Решение. Сравним данный ряд с рядом сходящейся геометри-

				∞	1			1
ческой прогрессии ∑					1	, так как знаменатель	q=	1	<1. Имеем
ческой прогрессии ∑					n	, так как знаменатель	q=	2	<1. Имеем
1			1	n=1	2			2
1		≤	1	при n>1. Следовательно, данный ряд сходится по пер-
	nn	≤	2n	при n>1. Следовательно, данный ряд сходится по пер-
	nn		2n

вому признаку сравнения.

Эталонные ряды, применяемые для сравнения.

	∞
•	∑aqn−1				- ряд геометрической прогрессии. Если
	n=1
	\|q\|<1, то ряд сходится. Если \|q\| ≥1, то ряд расходится.
	∞	1
•	∑	1		-	ряд Дирихле, при	p>1 cходится, при p ≤1
•	∑		p	-	ряд Дирихле, при	p>1 cходится, при p ≤1
	n=1 n
	расходится.
	∞	1
•	∑	1		-	гармонический ряд	(частный случай ряда Ди-
•	∑	n		-	гармонический ряд	(частный случай ряда Ди-
	n=1	n
	n=1

рихле при p = 1), расходится.

Основные неравенства, применяемые при сравнении рядов:

|sin x| ≤1, |cos x| ≤1,

|arctg x| < π

0 < arcctg x < π ,

ln x < x,

ln x > 1 при

x ≥ 3 ,

при малых значениях

α > 0

sin α <α,

tgα >α .

∞

Пример 2. Исследовать сходимость ряда

∑

ln(n +1)

n=1

∞

Решение. Данный ряд сравним с рядом

∑

Из неравен-

n=1

n +1

ства ln (n+1)<n+1 следует неравенство

ln(n +1)

n +1

∞

Ряд ∑

+... - гармонический, расходится. Исходный

n +1

n=1

ряд расходится по первому признаку сравнения.

∞

Пример 3. Исследовать сходимость ряда ∑

arctgn

n=1 n

Решение.

Общий член ряда

un =

arctgn

n2 +3 2(n2

+3) 2n2

так как

arctgn <

π .

∞

Данный ряд сравним с рядом ∑

∑

n=1 2n

n=1 n

∞

Ряд ∑

- ряд Дирихле, сходится, так как p=2>1. Исходный

n=1 n

ряд сходится по первому признаку сравнения.

∞

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

∑

cos2 n

n=1 3 n5 +4

Решение. Общий член ряда un

cos2 n

≤

3 n5

так как

cos2 n ≤1.

∞

Ряд ∑

- ряд Дирихле, p=

>1,

сходится. Следовательно,

n=1 n3

исходный ряд сходится по первому признаку сравнения.

∞

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

∑

ln(n +3)

n=1

- ряд Дирихле, p= 14 <1, расходится. Исходный ряд

Решение. Общий член ряда un = ln(4nn+3) > 41n =

так как ln(n+3)>1 при n=1,2,…

Ряд ∑∞ 11

n=1 n4

расходится по первому признаку сравнения.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда

∑∞ n2 + 2 − n2 +1.

n=1 n

11 ,

Решение. Общий член ряда умножим и разделим на выражение, сопряженное числителю:

un =

+2 −

n2 +1

(

n2 +2 − n2 +1) ( n2 +2

+ n2 +1)

n( n2 +2 + n2 +1)

( n2 +

2 )2 −

( n2 +1)2

(n2 +2) −(n2 +1)

n( n2 +2 + n2 +1)

так как

n2 +2 > n2 = n.

∞

∑

- ряд Дирихле, p=2>1, сходится. Исходный ряд сходится

n=1 n

по первому признаку сравнения.

∞

Пример 7. Исследовать сходимость ряда

∑

n=1 n

n ln(n +2)

Решение. Общий член ряда un =

n n ln(n +2)

n n

так как

ln (n+2) ≥ ln3 > ln e =1.

∞

∑

- ряд Дирихле, p=

>1,

сходится. Исходный ряд схо-

n=1 n2

дится по первому признаку сравнения.

Напомним, что бесконечно малые функции y =α( x)

y = β( x)

называются эквивалентными при x → x0 , если

lim

α( x)

=1.

x→x0

β(x)

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций

при

x → 0.

sin x ~ x, tgx ~ x, arcsin x ~ x, arctgx ~ x,

1 −cos x ~

ex −1 ~ x,

ln(1 + x) ~ x, ax −1 ~ xln a, loga

(1 + x) ~

ln a

∞

Пример 8. Исследовать сходимость ряда

∑(1 −cos

n=1

Решение. Общий член ряда

un =1 −cos

= vn , так как

πn → 0 при n → ∞.

∞	π2		π2	∞	1
Ряд ∑		=		∑		- гармонический, расходится.
	2n		2		n
n=1				n=1

lim un =1>0 по определению эквивалентных бесконечно ма-

n→∞ vn

лых. Следовательно, по второму признаку сравнения ряды ведут себя одинаково. Исходный ряд расходится.

∞	1		1
Пример 9. Исследовать сходимость ряда ∑		arcsin		.
			3
n=1 n			n

Решение. Общий член ряда

un = 1n arcsin 31n ~ 1n 31n = 14 = vn , так как 31n → 0 при n3

n → ∞.

lim un =1 > 0 по определению эквивалентных бесконечно ма-

n→∞ vn

лых. Следовательно, по второму признаку сравнения исходный ряд сходится.

Пример 10.

Исследовать сходимость ряда

∞

5n3 +3n −1

∑n=1

7n5 −2n2 +4

Решение. Общий член ряда

un =

5n3

+3n −1

7n5 −2n2 +4

Рассмотрим

vn =

5n3

, оставив в числителе и знамена-

7n5

теле un старшие члены.

∞

Ряд ∑vn =

∑

- ряд Дирихле, где p=2>1, сходится.

n=1

lim

= lim

5n3 +3n −1

7n5

5n3

7n5

−2n2 +

n→∞ vn

n→∞

5 +

−

= lim

=1 > 0.

n→∞

7 −

Следовательно, исходный ряд сходится по второму признаку сравнения.

∞

n4 +2n +3

Пример 11. Исследовать сходимость ряда ∑

n=1

3 n9 +3n2 −1

Решение. Общий член ряда

un =

+2n +3

Рассмотрим

3 n9 +3n2 −1

оставив в числителе и знаменателе un

∞

старшие члены.

Ряд

∑vn =

∑

- гармонический, расходит-

n=1

ся.

Найдем

+2n +3

lim

3 n9 +3n2

n→∞ vn

n→∞

−1 n4

= lim

n4 +2n +3

n9 +3n2

−

n→∞

= lim

=1 > 0,

n→∞

1 +

−

Следовательно, по второму признаку сравнения ряды ведут себя одинаково. Исходный ряд расходится.

∞

Пример 12.

Исследовать сходимость ряда

∑ln

Решение. Общий член ряда

n=1

(n3 +1) +3

= ln

= ln 1

~ v

< 3 n13 .

<<< < Предыдущая 1 23 / 133 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

- ряд Дирихле, p =

>1, сходится.