§4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

§4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

4.1.Функциональные ряды

4.2. Степенные ряды

4.4. Интервал и радиус сходимости степенного ряда

4.1.Функциональные ряды

4.2. Степенные ряды

4.3. Теорема Абеля

4.4. Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Числовые и степенные ряды. Учебное пособие.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

541 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Определение. Ряд называется функциональным, если его члены являются функциями от x , определенными на некотором множестве D :

∞

∑un ( x) = u1( x) +u2 ( x) +... +un (x) +...

n=1

Придавая x определенные числовые значения из множества D , получаем различные числовые ряды, которые могут быть сходящимися или расходящимися.

Определение. Областью сходимости функционального ряда называется множество всех значений аргумента x, при которых ряд сходится.

Пример 1. Найти область сходимости функционального ряда

∞

∑xn.

n=1

Решение. Это ряд геометрической прогрессии со знаменателем q=x. Ряд сходится при |q|=|x|<1, расходится при |q|=|x| ≥1.

Таким образом, область сходимости – интервал (-1,1). Пример 2. Найти область сходимости ряда

∑∞ sin nx.

n=1 n2

Решение. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

∞
∑ sin2nx .
n=1	n

Общий член ряда из абсолютных величин для всех x удовлетворяет неравенству:

\| un(x) \|=	sin nx	≤	1	.
	n2
			n2

	∞ 1		- ряд Дирихле, сходится, так как p = 2>1.

	∑n=1 n2

Следовательно, ряд из абсолютных величин сходится по первому признаку сравнения при x (−∞,+∞), а исходный функциональ-

ный ряд сходится абсолютно. Область сходимости - (−∞,+∞).

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

∞
∑an(x − x0 )n = a0 + a1(x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 +... +
n=0			(18)
+ a	n	(x − x )n +...	(18)
	n	0

где x0 - фиксированное число. Числа a0 ,a1,a2 ,... называются

коэффициентами степенного ряда.

Заметим, что степенной ряд сходится при x = x0.

В частности, при x0 = 0 получим степенной ряд вида:

∞
∑an xn = a0 + a1x + a2 x2 +... + an xn +...	(19)
n=0
4.3. Теорема Абеля
Если степенной ряд (19) сходится при x = x0 ≠ 0,	то он абсо-

лютно сходится при всех значениях x, удовлетворяющих нера-

венству \| x \|<\| x0 \| .	расходится при x = x1, то он расхо-
Если степенной ряд (19)	расходится при x = x1, то он расхо-
дится при всех значениях	x, удовлетворяющих неравенству
\| x \|>\| x1 \| .

Доказательство. Докажем первую часть теоремы. По усло-

∞

вию ряд

∑an x0n

сходится. Следовательно, по необходимому

n=1

xn = 0.

признаку сходимости

lim a

Отсюда следует по свойст-

n→∞

вам пределов, что последовательность

xn ,n =1,2,...}

ограни-

n 0

чена, т.е.

существует число

M>0, что все члены ряда по абсо-

лютной величине меньше числа M:

| a

xn |< M,n =1,2,...

Рассмотрим ряды:

∞

∑| an xn |,

(20)

n=1

∞

∑M

= ∑M qn ,

где q =

(21)

n=1

Общий член ряда (20) не превосходит общего члена ряда (21):

	x	n ≤ M	x	n ,n =1,2,...
\| an xn \|=\| an x0n \|
	x0		x0

Ряд (21) - ряд геометрической прогрессии со знаменателем

прогрессии сходится. Следовательно, ряд (20) сходится по первому признаку сравнения, а ряд (19) сходится абсолютно.

Докажем вторую часть теоремы. Пусть ряд (19) расходится при x = x1. Тогда он будет расходиться при всех x, удовлетво-

ряющих неравенству			\| x \|>\| x1 \| .	Действительно,		предположим
противное, ряд		сходится при x = x2 ,\|			x2 \|>\| x1 \| . Тогда по первой
части	теоремы	ряд	сходится	при	всех x,	для которых
\| x \|<\|	x2 \|, т.е., в частности, в точке			x = x1, что противоречит ус-

ловию.

Из теоремы Абеля следует, что для любого степенного ряда

(19) существует число	R ≥ 0 такое, что при всех x, для которых
\| x \|< R, ряд абсолютно сходится, а при \|x\|>R расходится
(см. рис. 3).
-R	ряд сходится	R
-R	абсолютно	R	х
ряд расходится	0		ряд расходится

Рис. 3

Аналогично, для любого степенного ряда (18) существует число R ≥ 0 такое, что при всех x, для которых | x − x0 |< R, ряд

(18) абсолютно сходится, а при \| x − x0 \|> R				ряд расходится
(см. рис. 4).
	х0 -R	ряд сходится	х0+R
	х0 -R	абсолютно	х0+R	х
ряд расходится		х0		ряд расходится
		Рис. 4
Число R	называется радиусом сходимости степенного ряда.
Интервал	(x0 − R, x0 + R) называется интервалом сходимости
степенного	ряда. На концах интервала			сходимости	(при
x = x0 ± R)	сходимость ряда проверяется в каждом случае от-

дельно. Таким образом, область сходимости степенного ряда состоит из интервала сходимости и, возможно, одной или двух граничных точек интервала сходимости. Если ряд (18) сходится в одной точке x = x0 , то считаем, что R=0. Если ряд (18) сходится

при x (−∞,+∞), то считаем, что R = ∞.

Для отыскания интервала сходимости степенного ряда (18) применяют признак Даламбера или радикальный признак Коши к ряду:

∞
∑an ( x − x0 )n ,
n=0
составленному из абсолютных величин членов ряда (18).
Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда
∞	xn
∑3	xn	n+1 .
n=1	n +3 2

Решение. Общий член ряда, составленного из абсолютных величин членов данного ряда:

| un

( x) |=

| x |n

3 n +

2n+1

3 n

3 2n+1

| un+1( x) |=

| x |n+1

3 n +

4 2n+2

При

x = 0 ряд сходится.

Найдем при x ≠ 0

| x |n+1

n +3 2n+1

| un+1( x) |

lim

| un(x) |

2n+2

| x |n

n→∞

n→∞ 3 n +4

n+1

n +3

n+1

| x |

lim

x |

lim

| x |

| x |n

n +4 2n+2

2 2

n→∞

| x |

Пусть

<1 | x |< 2 −2 < x < 2,

тогда степенной ряд

абсолютно сходится по признаку Даламбера.

Пусть

| x |

>1,

тогда степенной ряд расходится по признаку

Даламбера и теореме Абеля.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

При подстановке x=2 в исходный степенной ряд получим числовой ряд:

∞

∑

(22)

n +3 2

n+1

n +3

n=1

2 n=1

n +3

Ряд (22) - ряд Дирихле при p= 13 <1, расходится.

При подстановке в исходный степенной ряд x ряд:

∞		(−2)n		∞		(−1)n 2n		1	∞	(−1)n
∑				= ∑			=		∑		.
	3	n +3 2	n+1		3	n+1				3
n=1				n=1		n +3 2		2 n=1		n +3

= −2 получим

(23)

Ряд (23) – знакочередующийся ряд. Члены ряда убывают по абсолютной величине:

| un |=

>| un+1 |=

для всех n= 1,2,…

3 n +3

3 n +4

lim | un |= lim

= 0.

n→∞

n→∞ 3 n +3

Следовательно, по

признаку Лейбница ряд сходится.

Ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (23),

∞

(−1)n

∞

∑

n +3

2 n=1

n +3

2 n =1

совпадает с рядом

(22) , который расходится.

Следовательно,

ряд (23) сходится условно.

Ответ: область сходимости [−2,2). При x= -2 ряд сходится условно.

Пример 4. Найти область сходимости ряда

∞

(x −2)n

∑n=1 (n +1) ln2 (n +1).

Решение. Общий член ряда, составленного из абсолютных величин членов исходного ряда

| un( x) |=

( x −2)n

| x −2 |n

(n +1) ln2 (n +1)

(n +1) ln2 (n

+1)

| un+1( x) |=

| x −2 |n+1

(n +2) ln2 (n +2)

При

x = 2 ряд сходится. Найдем при

x ≠ 2

lim

| u

n+1

(x) |

lim

| x −2 |n+1

(n +1) ln2 (n +

| un (x) |

| x −2 |n

n→∞

n→∞ (n +2) ln2 (n +2)

= lim | x −2 |

n +1

ln2 (n +1)

n +2

ln2 (n +2)

n→∞

=| x −2 | lim

1 + n

lim

ln(n +1)

=| x −2 |,

n→∞1

n→∞ ln(n +2)

так как по правилу Лопиталя

(ln(t +1))′

lim

ln(n +1)

= lim

ln(t +1)

lim

1/(t +1)

ln(n

+2)

ln(t +2)

(ln(t +

2))

1/(t +2)

n→∞

t→+∞

′

t +2

1 +

= lim

=1.

t→+∞ t +1

t→+∞

1 +

Пусть

| x − 2 |<1 −1 < x − 2 <1 1 < x < 3 ,

тогда степенной

ряд абсолютно сходится по признаку Даламбера.

Если | x −2 |>1,

степенной ряд расходится по признаку Далам-

бера и теореме Абеля.

Исследуем концы интервала сходимости.

При подстановке x=3 в исходный степенной ряд получим ряд

∞	(3 −2)n			∞	1
∑				= ∑				.	(24)
	(n +1) ln	2	(n +1)		(n +1) ln	2
n=1				n=1			(n +1)

Исследуем этот ряд на сходимость с помощью интегрального признака Коши.

Функция	f ( x) =	1	является непрерывной и моно-
		(x +1) ln2 ( x +1)
тонно убывающей при x [1,+∞),				f (n) = un =	1		.
					(n +1) ln2
						(n +1)

Рассмотрим

+∞

+∞ d ln(x +1)

+∞

∫ f ( x)dx = ∫

∫

= −

ln(x +1)

+1) ln

( x +1)

= − lim

ln 2

x→+∞ ln(x +1)

ln 2

интеграл сходится, следовательно, ряд тоже сходится.

При подстановке x= 1 в исходный степенной ряд получим кочередующийся ряд:

∞	(1 −2)n			∞	(−1)n
∑				= ∑				.
	(n +1)ln	2	(n +1)		(n +1)ln	2
n=1				n=1			ln(n +1)

Ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (25)

∞	(−1)n			∞	1

∑				= ∑
	(n +1) ln	2	(n +1)		(n +1) ln	2	(n +1)
n=1				n=1

зна-

(25)

совпадает с рядом (24), который сходится. Следовательно, ряд (25) сходится абсолютно.

Ответ: область сходимости - отрезок [1,3]. При x=1 ряд сходится абсолютно.

Пример 5. Найти область сходимости степенного ряда

∑∞ 5n (x +3)n . n=1 (n +2)2n

Решение. Используем радикальный признак Коши для ряда, составленного из абсолютных величин членов данного ряда:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Пусть | x |<| x

тогда |q|<1, ряд (21) геометрической