§5. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

5.1.Ряды Тейлора и Маклорена

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Числовые и степенные ряды. Учебное пособие.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

541 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

формуле (38)

x на x2 , получим равенство:

− x6 +... +(−1)n x2n +..., −1 < x <1.

∞

Разложить функцию y=f(x) в степенной ряд ∑an ( x − x0 )n

n=0

в интервале (x0 − R, x0 + R) - значит представить функцию в виде суммы этого ряда:

							∞
						f ( x) = ∑an ( x − x0 )n
							n=0
(то есть ряд должен сходиться и его сумма S(x)											должна рав-
няться f(x)		в интервале				(x0 − R, x0 + R) ).
Теорема 1. Пусть функция y=f (x)									может быть разложена
на некотором интервале, содержащем точку										x0 , в сходящийся
степенной ряд:
	∞
f (x) = ∑an(x − x0 )n =
	n=0
= a	+ a	( x − x	) + a	2	( x − x		)2 +... + a	n	(x − x	)n +...	(26)
0	1	0		2		0		n	0

Тогда коэффициенты этого ряда имеют вид:

a0 =	f (x0 ), an	=	f (n) (x	0	)	, n =1,2,...
			n!

Таким образом, разложение функции y=f (x) в степенной ряд вида (26) единственное.

Доказательство. Подставим в обе части равенства (26) x = x0 , получим f (x0 ) = a0 . Продифференцируем обе части

равенства (26), воспользовавшись вторым свойством степенных рядов:

f ′(x) = a1 +2a2 ( x − x0 ) +... +nan ( x − x0 )n−1 +...

′

x = x0 ,

(x0 )

Подставив

получим

f ( x0 )

= a1, a1 =

Найдем вторую производную:

n−2

′′

= 2a2 +... + n(n −1)an(x − x0 )

+...

f ( x)

Подставив

x = x0 ,

получим

f ′′( x0 ) = 2a2 ,

f ′′( x0 )

Повторив процедуру n раз, найдем производную порядка n:

f (n) ( x) = n(n −1)...1 an +...

f (n) ( x

)

Подставив

x = x

получим

) = n!a

, a

Определение. Пусть функция y=f(x)

определена в некоторой

окрестности точки

и имеет в этой точке производные всех

порядков. Степенной ряд

∞

f (n) ( x0 )

f ′(x0 )

∑

(x − x0 )n = f (x0 ) +

(x − x0 ) +

n=0

f ′′(x0 )

(x − x )2

+... +

f (n) (x0 )

(x − x )n +...

(27)

называется рядом Тейлора функции y=f(x) в окрестности

точки x0 . Говорят также, что функция

f ( x)

порождает ряд

Тейлора (27).

Замечание. Если функция y=f(x) имеет производные всех порядков в точке x0 , то для нее можно составить ряд Тейлора. Од-

нако неизвестно, сходится ли этот ряд при x ≠ x0. Более того, ряд Тейлора может сходиться, а его сумма может не равняться f(x).

Обозначим через Sn(x) сумму первых n +1 членов ряда Тейлора:

Sn(x) = f (x0 ) + f ′(1!x0 ) ( x − x0 ) +

+ f ′′(x0 ) (x − x0 )2 +... + f (n) (x0 ) (x − x0 )n. 2! n!

Теорема 2. Если функция f ( x) определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет в ней производные до (n +1) -го по-

рядка включительно, то ее в этой окрестности можно представить в виде:

f (x) =		f ( x		) +	f ′(x0 )	(x − x ) +
f (x) =		f ( x		) +		(x − x ) +
		0			1!		0
					1!
+	f ′′(x0 )		(x − x		)2 +... +		f (n) (x0 )	( x − x	)n + r (x),	(28)
+			(x − x		)2 +... +			( x − x	)n + r (x),	(28)
	2!			0			n!	0	n
	2!						n!

где rn(x) Формулу

=	f (n+1) (c)	(x − x )n+1, точка	c лежит между x и x .

	(n +1)!	0	0

(28) можно кратко записать в виде: f (x) = Sn(x) + rn(x).

Определение. Формула (28) называется формулой Тейлора, rn(x) - остаточным членом формулы Тейлора (в форме Лагран-

жа).

Замечание. Подставив в формуле Тейлора (28) n = 0, получим формулу Лагранжа:

f (x) = f (x0 ) + f ′(c)(x − x0 ).

Теорема 3 (о сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции).

Для того чтобы ряд Тейлора (27) функции f ( x) сходился к f ( x) в точке x, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке

остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при n → ∞:

lim rn(x) = 0.

n→∞

Доказательство.

Необходимость. Пусть ряд Тейлора (27) сходится к функции

f ( x) в точке x, т.е. lim Sn( x) = f (x). Тогда
				n→∞
lim r ( x) = lim ( f ( x) − S					n	( x)) = f ( x) − lim S		n	( x) = f ( x) − f ( x) = 0.
n→∞ n	n→∞				n		n→∞	n
Достаточность. Пусть							lim r ( x) = 0 . Тогда
							n→∞ n
lim S		n	( x) = lim ( f ( x) − r ( x)) = f ( x) − lim r ( x) = f ( x).
n→∞		n		n→∞			n		n→∞ n
48

Теорема 4. Если на некотором интервале (x0 − R, x0 + R)

функция y=f(x) имеет производные всех порядков, абсолютные величины которых ограничены одним и тем же числом M>0:

\| f	(n) ( x) \|< M, n=1,2,…, x (x	− R, x + R),
	0	0
то функция y=f(x) может быть разложена		на этом интервале в
ряд Тейлора.

Доказательство. Согласно теореме 3 нужно доказать, что

lim rn(x) = 0. Тогда имеем:

n→∞

lim

r (x)

= lim

f (n+1) (c)

(x − x

n→∞

(n +1)!

x − x

n+1

= M lim

n→∞

(n +1)!

Докажем теперь, что lim x − x0 n+1 n→∞ (n +1)!

)n+1			(x − x	)n+1
	≤ lim	M	0		=
	≤ lim	M	(n +1)!		=
	n→∞		(n +1)!

= 0.

∞

x − x

n+1

Для этого рассмотрим ряд ∑

. Так как

(n +1)!

n=0

x − x

n+2

(n +1)!

x − x

lim

n+1

lim

= lim

= 0 <1,

n+1

n +2

n→∞

n→∞ (n +2)!

− x

n→∞

то по признаку Даламбера ряд сходится на всей числовой оси. Поэтому по необходимому признаку сходимости

			x − x	n+1
			x − x	n+1
lim u	n	= lim	0		= 0.
lim u		= lim	(n +1)!		= 0.
n→∞		n→∞	(n +1)!

Следовательно, lim rn( x) = 0.

n→∞

Определение. Если в ряде Тейлора (27) положить x0 = 0, то получим ряд

∞

(n)

(0)

′

′′

(n)

(0)

∑

xn =

f (0) +

(0)

x +

(0)

x2 +... +

xn +..., (29)

n=0

называемый рядом Маклорена функции y=f(x).

5.2.Разложение элементарных функций

вряд Маклорена.

Рассмотрим разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:

ex =1+ x +

+...+

+...,

−∞ < x < +∞,

(30)

sin x = x −

−...+(−1)

x2n+1

+...,

(2n +1)!

−∞ < x < +∞,

(31)

cos x =1−

−...+(−1)

x2n

+...,

(2n)!

−∞ < x < +∞,

(32)

(1 + x)

+αx +

α(α−1)

+...+

α(α−1)...(α− n

+1)

+...,

−1 < x <1,

(33)

=1 + x + x2 + x3 +...+ xn +...,

1 − x

−1 < x <1,

(34)

ln(1 + x) = x −

−...+(−1)

xn+1

+...,

n +1

−1 < x ≤1,

(35)

arcctg x = x −

−...+

(−1)

x2n+1

+...,

2n +1

−1 ≤ x ≤1,

(36)

arcsin x = x +

1 3

+...+

1 3 5...(2n −1)

x2n+1

+...,

2 4

2 4 6...(2n)

−1 ≤ x ≤1.

(37)

Доказательство формулы (30). Пусть						f (x)		= e x .
Найдем производные:		′	x	,	′′	x	,..., f	(n)	(x) = e	x	,...
		f (x) = e			f (x) = e
Рассмотрим интервал		(-R,R), где			R - произвольное положитель-
ное число. Для всех	x (−R, R)				имеем \|	f (n) ( x) \|= ex < eR = M,

т.е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем

же числом M.

Следовательно, по теореме 4

функция f (x) = ex

может быть разложена

в ряд Маклорена (29)

при

x (−R, R).

Но, так как R - произвольное число, разложение имеет место при

всех значениях

x (−∞,+∞).

Найдем значения функции и производных при x=0:

f (0) = f

′

′′

= ... = f

(n)

(0)

= e

=1.

(0)

Найденные значения подставим в ряд Маклорена, получим:

′

′′

(n)

(0)

f (x) = e

= f (0)

(0)

+... +

+...

=1 + x +

+... +

+...,

−∞ < x < +∞.

Доказательство формулы (31). Пусть

f ( x) = sin x.

Найдем производные:

(4)

′

′′

= −sin x,

′′′

= −cos x,

(x) = sin x,...

f ( x) = cos x,

( x)

(x)

Так как все производные ограничены

| f (n) ( x) |≤1,

ряд Маклоре-

на (29) сходится к функции

f ( x) = sin x

на всей числовой пря-

мой (по теореме 4).

Найдем значения функции и производных при x=0:

f (0) = sin 0 = 0, f

′

1, f

′′

(0) = cos0 =

(0) = −sin 0 = 0,

′′′

(4)

(0) = sin 0 = 0,...

(0) = −cos0 = −1, f

Найденные значения подставим в ряд Маклорена:

(4)

′

′′

′′′

(0)

f ( x) = sin x = f (0) +

(0)

x +

(0)

f (5)

(0)

+... == x −

−

... +(−1)

x2n+1

+...,

(2n +

1)!

−∞ < x < +∞.

Доказательство формулы (32). Пусть f (x) = cos x.

Воспользуемся свойством 2 степенных рядов. Продифференцируем последний ряд почленно:

x3		′	x5		′		x2n+1	′
cos x = (sin x)′ = (x)′−			+			−... +(−1)n			+... =

	3!			5!			(2n +1)!

=1 −	x2	+	x4	−... +(−1)	n	x2n	+..., −∞ < x < +∞.
	2!		4!			(2n)!

Доказательство формулы (33). Пусть									f ( x) = (1 + x)α .
Найдем производные:
	f	′		α−1		′′			α−2	,...,
		(x) =α(1 + x)				, f ( x) =		α(α −1)(1 + x)

f (n) ( x) =α(α −1)...(α −(n −1))(1 + x)α−n ,..., n =1,2,...

Найдем значения функции и производных при x=0:

f (0) =1, f ′(0) =α, f ′′(0) =α(α −1),...,

f (n) (0) =α(α −1)...(α − n +1),...

Составим ряд Маклорена:

′

′′

(n)

(0)

f (0) +

(0)

x +

(0)

... +

+... =

=1 +αx +

α(α −1)

+... +

α(α −1)...(α − n +1)

+...

Найдем интервал сходимости полученного ряда. Для этого найдем

lim

un+1 (x)

un (x)

n→∞

= lim

α(α −1)...(α −(n −1))(α

−n) xn+1

(n +1)!

α(α −1)...(α −(n −1)))

n→∞

α −n

−1

= lim

lim

n +1

n→∞

1 +

По признаку Даламбера ряд сходится при x <1 −1 < x <1.

Можно доказать, что ряд Маклорена сходится к функции f ( x) = (1 + x)α при x (−1,1).

Ряд (33) называется биномиальным. Если α = n - натуральное число, то все члены ряда, начиная с (n+2)-го номера, равны 0, так

как содержат множитель

α −n = n −n = 0. В этом случае ряд

представляет собой формулу бинома Ньютона:

(1 + x)

=1 +nx +

n(n −1)

+... +

n(n −1)...1

Доказательство формулы (34). Пусть

f (x) =

− x

Ряд 1+ x + x2 + x3 +... + xn +... - ряд геометрической прогрессии со знаменателем q=x и первым членом u1 =1, сходится при x (−1,1) , причем его сумма равна

S =				1	(см. пример 1 раздела 1).
S =		1	− x		(см. пример 1 раздела 1).
		1	− x
	Доказательство формулы (35). Пусть f ( x) = ln(1 + x).
Заменим в формуле (34) x на (−x), получим:
	1			=1 − x + x2 − x3 +... +(−1)n xn +..., −1 < x <1.		(38)
1 + x				=1 − x + x2 − x3 +... +(−1)n xn +..., −1 < x <1.		(38)
1 + x

Используя свойство 3 степенных рядов, проинтегрируем данный

ряд на отрезке [0, x],

x (−1,1) :

ln(1 + x) = ∫

= ∫dx − ∫xdx + ∫x2dx − ∫x3dx +... +(−1)n ∫xndx +... =

1 + x

= x −

−

+... +(−1)

n xn+1

+...

n +

Можно доказать, что разложение выполняется и при x=1.

Доказательство формулы (36). Пусть f (x) = arctgx.

Используя свойство 3 степенных рядов, проинтегрируем данный

ряд на отрезке

[0, x],

x (−1,1) :

arctgx = ∫

= ∫dx − ∫x2dx + ∫x4dx − ∫x6dx +... +

+ x

x2n+1

+(−1)n ∫x2ndx +

... = x −

−

+... +(−1)n

+...

2n +1

x = ±1.

Можно доказать, что равенство справедливо и при

Доказательство формулы (37). Пусть

f ( x) = arcsin x.

Положив в формуле

(33)

α = −

и заменив

на (−x2 ), по-

лучим равенство:

−

−1

(−x2 ) +

2 2 (−x2 )2 +

=1 +

−

1 − x2

−

(−x2 )3 +... =

=1 +

1 3

1 3 5

+...,

−1 < x <1.

2 4 6

Проинтегрируем обе части этого равенства на отрезке [0, x], x (−1,1) :

x	dx	x	1	x	1 3	x
arcsin x = ∫		= ∫dx +		∫x2dx +		∫x4dx +
	1 − x2		2		2 4
0		0		0		0

	1 3 5	x	1	x3		1 3	x5		1 3 5	x7
+		∫x6dx +... = x +			+			+			+...
+	2 4 6	∫x6dx +... = x +	2	3	+	2 4	5	+	2 4 6	7	+...
		0

Можно доказать, что полученное равенство справедливо и при x = ±1.

Пример 1. Разложить в ряд Маклорена функцию
		y =			x2		.
		y =		3 −2x			.
				3 −2x
Решение. Так как	y =		x2		=			x2			=	x2		1			,
Решение. Так как	y =	3	−2x		=				2		=	3			2		,
		3	−2x					−	2			3	1	−	2	x
						3 1		−	3	x			1	−	3	x
									3						3

то, заменив x на 23 x в формуле (34), получим:

y =

1 +

x +

x2 +

... +

xn +

...

3 1 −

2 x

+... +

n+2

+...,

3n+1

где

−1 <

x <1,

т.е.

−

< x <

Пример 2. Разложить в ряд Маклорена функцию

y = 2 x2 .

Решение. Так как 2x2

= ex2 ln 2 ,

то, заменив

на

x2 ln 2 в

разложении (30), получим:

2 2

lnn

= e

x2 ln 2

=1 +ln 2 x

+... +

+...,

где

−∞ < x < +∞.

Пример 3. Разложить функцию

y = ln(2 + x)

в ряд Тейлора в

окрестности точки

x0 = 3.

Решение. Используем подстановку t=x-3, т.е. x=t+3.

Получим

y = ln(2 + x) = ln(2 +(t +3)) = ln(5 +t) = ln5 1+

= ln5

+ln 1+

Заменив

на

в разложении (35), получим:

tn+1

ln 1 +

−

−... +(−1)n

+...,

2 53

5n+1 (n +1)

где

−1 <

≤1 −5 < t ≤ 5.

t=x-3, получим:

После обратной подстановки

ln(2 + x) = ln 5 +

( x −3) −

( x −3)2

(x −3)3 −... +

(−1)n

(x −3)n+1 +...,

+1(n +1)

где

−5 < x −3 ≤ 5 −2 < x ≤ 8.

y = cos2x

Пример 4. Разложить функцию

в ряд Тейлора в

окрестности точки

= π .

π .

Решение. Используем подстановку

t = x −

, т.е.

x = t +

Получим

y = cos2x = cos2 t

= cos 2t +

= −sin 2t.

Заменив x

на 2t

в разложении (31), получим:

sin 2t =

2t −

−... +(−1)

22n+1

2n+1

+...,

(2n +1)!

где −∞ < t < +∞.

После обратной подстановки

t = x −

получим:

π 5

cos2x = −2 x

−

x −

−

x −

−... +

+(−1)n+1

22n+1

π 2n+1

x −

+...,

(2n +1)!

где

−∞ < x < +∞.

Пример 5. Разложить в ряд Маклорена гиперболические

функции

shx =

ex −e−x

chx =

ex +e−x

Решение. Заменив x на -x в разложении (30), получим:

−x

=1 − x +

−

+... +

(−1)

+..., −∞ < x < +∞.

Затем путем почленного вычитания ряда (30) и полученного ряда находим:

shx =	1	(ex −e−x ) = x +	x3	+	x5	+... +	x2k+1	+..., −∞ < x < +∞.
	2						(2k +1)!
		3!		5!

Путем почленного сложения этих же рядов находим:

chx =	1	(ex +e−x ) =1 +	x2	+	x4	+... +	x2k	+..., −∞ < x < +∞.
	2						(2k)!
		2!		4!

Таким образом, разложения гиперболического синуса и косинуса отличаются от разложений (31) и (32) соответственно тригонометрических функций лишь знаками.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1310 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]