|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
5n | x +3 |n |
|
|
|
5 | x +3 | |
|
lim n | un( x) | = |
n |
= |
|
||||
lim |
|
|
lim |
|
|||
(n +2)2n |
|
||||||
n→∞ |
n→∞ |
|
|
n→∞ (n +2)2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
для всех значений x.
Следовательно, исходный ряд абсолютно сходится словой прямой.
Ответ: область сходимости - (−∞,+∞).
= 0 <1
на всей чи-
Пример 6. Найти область сходимости степенного ряда
∞
∑(2n +1)!( x +1)2n.
n=1
Решение. Найдем общий член ряда, составленного из абсолютных величин членов данного ряда:
|
| un ( x) |= (2n +1)!| x +1 |2n , |
|
|
|||||||
|
| un+1(x) |= (2(n +1) +1)!| x +1 |2(n+1) = (2n +3)!| x +1 |2n+2 . |
|||||||||
Используем признак Даламбера: |
(2n +3)!| x +1|2n+2 |
|||||||||
|
|
|
| u |
( x) | |
|
|||||
|
|
lim |
|
n+1 |
|
= lim |
|
|
|
= |
|
|
| un( x) | |
(2n +1)!| x +1|2n |
|
||||||
|
|
n→∞ |
n→∞ |
|
|
|||||
|
|
= lim |
(2n +1)!(2n +2)(2n +3) | x +1|2 |
|
= |
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
n→∞ |
|
(2n +1)! |
|
|
||||
|
|
= lim (2n |
+2)(2n +3) | x +1|2 = +∞ |
|
|
|||||
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
||
при |
x ≠ −1. Ряд расходится при x ≠ −1. |
|
|
|||||||
При |
x = −1 |
получим сходящийся ряд 0+0+0+…+0+… |
||||||||
Ответ: |
область сходимости |
x = −1. |
|
|
||||||
|
|
|
4.5. Свойства степенных рядов |
|||||||
Сформулируем основные свойства степенных рядов. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
1. Рассмотрим степенной ряд |
∑an ( x − x0 )n. Сумма S(x) |
|||||||||
n=0
этого ряда является непрерывной функцией внутри интервала сходимости (x0 − R, x0 + R).
44
2. Степенной ряд
∞
S(x) = ∑an(x − x0 )n = a0 + a1(x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 +
n=0
+a3(x − x0 )3 +... + an(x − x0 )n +...
внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать, при этом
∞
S′(x) = ∑nan(x − x0 )n−1 = a1 +2a2 (x − x0 ) +
n=1
+3a3(x − x0 )2 +... + nan(x − x0 )n−1 +...
Полученный ряд имеет тот же интервал сходимости.
∞
3.Степенной ряд S( x) = ∑an ( x − x0 )n можно почленно ин-
n=1
тегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости, при этом
x x x x
∫S(x)dx = ∫a0dx + ∫a1(x − x0 )dx +... + ∫an(x − x0 )n dx +... =
x0 |
|
|
|
|
|
x0 |
|
x0 |
|
|
|
x0 |
|
|
= a |
0 |
(x − x |
) + |
a1 |
(x − x |
)2 +... + |
an |
|
(x − x |
)n+1 |
+... = |
|||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
0 |
2 |
0 |
|
n + |
1 |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ |
|
(x − x0 )n+1, |
x ( x0 − R, x0 + R). |
|
|
|||||||||
n + |
1 |
|
|
|||||||||||
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Полученный ряд имеет тот же интервал сходимости.
45