§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

7.1. Приближенное вычисление определенных интегралов

Степенные ряды применяются для приближенного вычисления определенных интегралов в случаях, когда первообразная не выражается через элементарные функции, либо нахождение первообразной сложно.

Пусть требуется вычислить

b

∫ f (x)dx с точностью до ε > 0.

a

Если подынтегральную функцию можно разложить в ряд Маклорена и интервал сходимости (-R,R) включает в себя отрезок интегрирования [a,b], то для вычисления интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда.

Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Макло-

−∞ < x < +∞.

Интегрируя обе части последнего равенства на отрезке [0,5;1] , лежащем внутри интервала сходимости, получим:

62

то погрешность | r2 |≤ u3 < 0,0001 (по формуле (39) раздела 6).

63

сточностью 0,0001.

7.2.Приближенное решение дифференциальных уравнений

Степенные ряды применяются также для приближенного решения дифференциальных уравнений. Если решение дифференциального уравнения не выражается через элементарные функции или способ его решения сложен, то можно воспользоваться рядом Тейлора для приближенного решения уравнения.

Рассмотрим дифференциальное уравнение порядка n с начальными условиями:

y(n) = f (x, y, y′,..., y(n−1) ),

y( x0 ) = y0 , y′(x0 ) = y1,..., y(n−1) ( x0 ) = yn−1.

Пусть решение y=y(x) этой задачи Коши может быть разложено

воспользовавшись формулой производной сложной функции нескольких переменных. Затем подставим x = x0 в обе части полученного равенства.

Значения y(n+2) ( x0 ), y(n+3) (x0 ),... находим путем последовательного дифференцирования дифференциального уравнения по x и вычисления производных при x = x0 . Найденные значения

производных подставляем в ряд (40).

Ряд (40) представляет искомое частное решение для тех значений x, при которых он сходится. Частичная сумма этого ряда является приближенным решением уравнения.

Пример 3. Найти решение задачи Коши: y′ = xy +cos y,

y(2) = 0.

Решение. Ищем решение уравнения в виде ряда Тейлора в окрестности точки x0 = 2 :

y = y(2) + y′1(!2) ( x −2) + y′′2(!2) (x −2)2 + y′′3′(!2) (x −2)3 +...

Из начального условия y(2)=0.

Из дифференциального уравнения находим y′(2) = 2 0 +cos0 =1.

Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем заданное дифференциальное уравнение несколько раз:

y′′ = y + xy′−sin y y′, y′′′ = 2 y′+ xy′′−cos y ( y′)2 −sin y y′′,...

Находим значения производных при x=2: y′′(2) = 0 +2 1 −sin 0 1 = 2,

y′′′(2) = 2 1 +2 2 −cos0 1 −sin 0 2 = 5,...

Подставляя найденные значения производных в ряд Тейлора, получим решение уравнения в виде:

y = 0 + 1!1 (x −2) + 2!2 (x −2)2 + 3!5 (x −2)3 +... = = (x −2) +(x −2)2 + 65 ( x −2)3 +...

65

Пример 4. Найти решение задачи Коши: y′′ = x2 + y3 ,

y(−1) =1, y′(−1) = 0.

Решение. Ищем решение уравнения в виде ряда Тейлора в окрестности точки x0 = −1 :

y(4) (−1) = 2 +6 1 02 +3 12 2 = 8,

y(5) (−1) = 6 03 +18 1 0 2 +3 12 (−2) = −6,...

Подставляя найденные значения производных в ряд Тейлора, получим решение дифференциального уравнения в виде:

Решение линейных дифференциальных уравнений удобно на-

ходить другим способом – способом неопределенных коэффици-

ентов. Пусть нужно решить дифференциальное уравнение 2 порядка:

66

также разлагаются в ряды по степеням x − x0 в указанной окрестности.

Коэффициенты a0 и a1 находятся из начальных условий: a0 = y0 , a1 = y1. Затем дифференцируем ряд (42) почленно 2

раза. Подставляем в уравнение (41) полученные ряды, заменив p1(x), p2 (x), f (x) их разложениями. Получаем тождество, из которого методом неопределенных коэффициентов находим коэффициенты a2 ,a3,...

Пример 5. Найти решение задачи Коши:

Подставим полученные ряды в дифференциальное уравнение:

67

2a2 +6a3x +12a4 x2 +20a5x3 +... =

= (1 + x2 )(a0 + a1x + a2 x2 + a3x3 + a4 x4 + a5x5 +...).

Раскроем скобки и приведем подобные члены: 2a2 +6a3x +12a4 x2 +20a5x3 +... =

= a0 + a1x +(a0 + a2 )x2 +(a1 + a3 )x3 +...

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства:

2a2 = a0 , 6a3 = a1, 12a4 = a0 + a2 , 20a5 = a1 + a3,...

В результате найдем коэффициенты:

a2 = −1, a3 = 13 , a4 = −14 , a5 = 607 .

Найденные коэффициенты подставим в ряд (43) и получим решение уравнения в виде:

y = −2 +2x − x2 + 13 x3 − 14 x4 + 607 x5 +...

68