- •1.1. Основные определения
- •1.2. Необходимый признак сходимости ряда
- •1.3. Свойства сходящихся рядов
- •§ 2. РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
- •2.2. Первый признак сравнения
- •2.3. Второй признак сравнения
- •2.4. Признак Даламбера
- •2.5. Радикальный признак Коши
- •2.6. Интегральный признак Коши
- •§ 3. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
- •3.1. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда
- •3.2. Признак Лейбница
- •3.3. Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов
- •§ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
- •4.1. Функциональные ряды
- •4.2. Степенные ряды
- •4.3. Теорема Абеля
- •4.4. Интервал и радиус сходимости степенного ряда
- •4.5. Свойства степенных рядов
- •§ 5. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
- •5.1. Ряды Тейлора и Маклорена
- •§ 6. ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММ СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
- •§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
- •7.1. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •7.2. Приближенное решение дифференциальных уравнений
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
lim un = 0 не следует, что ряд сходится. Это означает, что суще-
n→∞
ствуют расходящиеся ряды, для которых |
lim un = 0. |
В качестве |
|||||||||||||
примера рассмотрим гармонический ряд |
n→∞ |
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
∑ |
=1 + |
+ |
+ |
+... + |
+... |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||
|
|
|
n=1 |
n |
2 |
3 |
|
|
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
него |
выполнено |
необходимое |
условие сходимости: |
|||||||||||
lim un = lim |
1 |
= 0. Однако ряд расходится (см. пример 4). |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||
n→∞ |
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3.Свойства сходящихся рядов
1.На сходимость ряда не влияет отбрасывание или добавление конечного числа членов.
|
∞ |
|
2. |
Если ряд ∑un сходится, и его сумма равна S , то ряд |
|
|
n=1 |
|
∞ |
|
|
∑cun |
также сходится, и его сумма равна cS. |
|
n=1 |
Если ряды |
|
3. |
|
|
|
∞ |
|
|
∑un , |
(1) |
|
n=1 |
|
|
∞ |
|
|
∑vn |
(2) |
|
n=1 |
|
сходятся, а их суммы соответственно равны S1 и |
S2 , то ряды |
|
|
∞ |
|
|
∑(un + vn ) , |
(3) |
|
n=1 |
|
|
∞ |
|
|
∑(un − vn ) , |
(4) |
n=1
полученные почленным сложением и вычитанием, также сходятся, и их суммы соответственно равны S1 + S2 и S1 − S2 .
8
Докажем свойство 3. Обозначим частичные суммы рядов (1), (2), (3), (4) соответственно:
S(1) |
= u +u |
2 |
+... +u |
n |
, |
S(2) = v +v |
2 |
+ |
... +v |
n |
, |
|||||||||||
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S(3) |
= (u |
+v ) +(u |
2 |
+v |
2 |
) +... +(u |
n |
+v |
n |
), |
|
|
||||||||||
n |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
S(4) |
= (u |
− v |
) |
+(u |
|
− v |
|
) +... +(u |
n |
− v |
n |
). |
|
|
||||||||
n |
1 |
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Заметим, что выполняются соотношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Sn(3) = Sn(1) + Sn(2) , Sn(4) = Sn(1) − Sn(2) . |
|
|
||||||||||||||||||||
По условию ряды (1) |
и (2) сходятся. По |
определению имеем: |
||||||||||||||||||||
|
lim S(1) |
= S , |
|
lim S(2) |
= S |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n→∞ |
n |
|
1 |
|
n→∞ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найдем
S3 =
S4 =
lim Sn(3) |
= lim (Sn(1) |
+ Sn(2) )= |
|
n→∞ |
n→∞ |
(Sn(1) |
− Sn(2) )= |
lim Sn(4) |
= lim |
||
n→∞ |
n→∞ |
|
|
lim S(1) +
n→∞ n
lim Sn(1) −
n→∞
lim S(2) |
= S |
+ S |
2 |
, |
n→∞ n |
1 |
|
|
|
lim S(2) |
= S |
− S |
2 |
. |
n→∞ n |
1 |
|
|
Следовательно, ряды (3) и (4) сходятся, их суммы
S3 = S1 + S2 , S4 = S1 − S2 .
Таким образом, установлено, что сходящиеся ряды можно умножать на число, почленно складывать и вычитать так же, как и конечные суммы.
9