Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Числовые и функциональные ряды. Тригонометрические ряды Фурье. Курс лекций и сборник задач. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

973 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2421 22 23 24 > Следующая >>>

4.4 Комплексная запись рядов Фурье.

[−l, l] отобразить на [−π, π] с помощью линейного отображения:

y = πl x, −l 6 x 6 l, −π 6 y 6 π.

Определение 4.4 Пусть функция f(x) абсолютно интегрируема на отрезке [−l, l]. Ряд

an cos

nπx

∞

+ n=1

+ bn sin

(4.9)

где

= π

f(x) dx, an

= π

f(x) cos

dx,

nπx

−l

bn = π Z

f(x) sin

dx, n = 1, ∞.

nπx

−l

называется тригонометрическим рядом Фурье функции f(x) на

отрезке [−l, l], числа an, bn коэффициентами данного ряда.

4.4 Комплексная запись рядов Фурье.

Пусть

		∞
a0		X
	+	(an cos nx + bn sin nx) ,	(4.10)
2		n=1
		n=1

тригонометрический ряд Фурье функции f(x). Воспользуемся следующими равенствами:

cos nx = 12(enxi + e−nxi),

201

4 Ряды Фурье.

sin nx =

(e−nxi − enxi).

Тогда ряд можно преобразовать в следующий вид:

+ n=1

2(an − bni)enxi + 2(an + bni)e−nxi

(4.11)

∞

и полагая

c0 =

, cn =

(an

− bni), c−n

(an + bni)

имеем

∞

cneinx,

(4.12)

n=−∞

где под сходимость ряда понимается сходимость частичных сумм

n=−m

cneinx, при m → ∞. При этом очевидно, что c−n =

n. Если

положить b равным 0, то для любого целого n будем иметь

cn = 2π Z

f(x)(cos nx − i sin nx) dx = 2π Z

f(x)e−inx dx.

−π

Подставив в 4.12, получим

einx Z

f(t)e−int dt.

2π n=

∞

−

−∞

4.5 Разложение функций в ряд Фурье.

Практические задачи.

В этом разделе разбираются и предлагаются для самостоятельного решения примеры на разложение функций в ряд Фурье.

202

4.5 Разложение функций в ряд Фурье. Практические задачи.

Пример 4.1 Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = sin πx2 , на отрезке [−1, 1]

Решение.

Вычислим коэффициенты Фурье функции f(x) = sin πx2 : В силу нечётности функции f

an = Z		f(x) cos πnx dx = Z			sin		2	cos πnx dx = 0, n N и n = 0
	1				1		πx
	−1			−1				sin πnx dx = −4πn−2 − π , n N
bn =	Z1	f(x) sin πnx dx =		Z1	sin		2	sin πnx dx = −4πn−2 − π , n N
	1			1		πx					8n( 1)n
	−		−
Ряд Фурье функции f(x) = sin πx2 , на отрезке [−1, 1] равен
			8		∞		(−1)n			sin πnx
		−π					(−1)n			sin πnx
		−π		· n=1 4n2				−	1
				X				−

Пример 4.2 Разложить в ряд Фурье функцию

−x, x [−2, 0)

f(x) =

x2, x [0, 2]

Решение.

Коэффициенты Фурье данной функции равны

a0	= 2 Z		f(x) dx = −2 Z		x dx + 2 Z	x2 dx =	3
	2		0			2
	1		1		1		7
		−2		−2	0

203

4 Ряды Фурье.

dx = −2 Z

dx+2 Z

an = 2 Z

f(x) cos

x cos

x2 cos

dx =

πnx

−2

(−1)n +

(−1)n =

(5(−1)n − 1) , n N

= −

π2n2

bn = 2 Z

f(x) sin

dx = −2

x sin

2 dx + 2

x2 sin

dx =

πnx

−2

= −

(−1)n −

(−1)n +

(−1)n −

πn

π3n3

= −

(−1)n +

((−1)n − 1) , n N

πn

π3n3

Следовательно, её ряд Фурье имеет вид:

n=1

π2n2

− −

− − π3n3

πnx

8 ((

+ ∞

(5(

1)n 1) cos

1)n 1) − 6π2n2(−1)n

sin πnx2

Пример 4.3 Разложить Функции f(x) = sin x в ряд Фурье, на интервале (3, 5). При этом длина интервала является периодом функции.

Решение.

Так как период состояляет 2, то x (−1, 1) f(x) = f(x + 4) = sin(x + 4). Вычислим коэффициенты Фурье функции f


an = Z1	f(x) cos πnx dx = Z1			f(x+4) cos πnx dx = Z1			sin(x+4) cos πnx dx =
−1		−1				−1
		cos 5			cos 3
	=		(−1)n −			(−1)n =
	=	π2n2 − 1	(−1)n −		π2n2 − 1	(−1)n =

204

4.5 Разложение функций в ряд Фурье. Практические задачи.

= (cos 5 − cos 3) 1 (−1)n, n N и n = 0

π2n2 − 1

bn = Z1

f(x) sin πnx dx =

f(x+4) sin πnx dx = Z1

sin(x+4) sin πnx dx =

−1

sin 3

−1

sin 5

−1

(−1)n −

(−1)n =

π2n2 − 1

= (sin 3 − sin 5)

(−1)n, n N

π2n2 − 1

Составим ряд Фурье, проделав некоторые очевидные упрощения

−

sin 1 sin 4 + 2 sin 1

∞

(−1)n

(sin 4 cos πnx

−

cos 4 sin πnx) =

· n=1 π2n2

−

= sin 1 sin 4 + 2 sin 1

∞

(−1)n

sin(4

−

πnx)

· n=1 π2n2

Разложить функцию f(x) в ряд Фурье на указанном промежутке:

602.f(x) = x, на отрезке [−π, π]

603.f(x) = x2, на отрезке [−π/2, π/2]

604.f(x) = x3, на отрезке [−2, 2]

605.f(x) = x2 − x, на отрезке [−1, 1]

606.f(x) = sin x, на отрезке [−1, 1]

205

4Ряды Фурье.

607.f(x) = cos x, на отрезке [−1/2, 1/2]

608.f(x) = x sin x, на отрезке [−π, π]

609.f(x) = x cos x, на отрезке [−1, 1]

610.f(x) = x2 sin x, на отрезке [−1, 1]

611.f(x) = x2 cos x, на отрезке [−π/3, π/3]

612.f(x) = ex, на отрезке [−π, π]

613.f(x) = sin2 x, на отрезке [−1, 1]

614.f(x) = 2x, на отрезке [−1, 1]

615.f(x) = |x|, на отрезке [−1, 1]

616.f(x) = x|x|, на отрезке [−π/2, π/2]

617.f(x) = sin |x|, на отрезке [−1, 1]

618.f(x) = |x + 1|, на отрезке [−3, 3]

206

4.5 Разложение функций в ряд Фурье. Практические задачи.

619.	f(x) =		0,	x [−1, 0)



			1,		x [0, 1]


620.	f(x) =		0,	x [−2, 0)



		x,			x [0, 2]


621.	f(x) =	x + 1, x [−π, 0)



			1,		x [0, π]


622.	f(x) =		−1,		x [−1, 0)



			1,		x [0, 1]


623.	f(x) =	x,			x [−1, 0)



			2x,		x [0, 1]


624.	f(x) =		0,		x [−1, 0)


			2	,	x [0, 1]
		x		,	x [0, 1]

207

4 Ряды Фурье.	x2,
625. f(x) =	x2,			x [−1, 0)



	x,			x [0, 1]


626. f(x) =			0,	x [−1, 0)





	sin πx, x [0, 1]
627. f(x) =		−x,		x [−2, 0)



		0,		x [0, 2]


628. f(x) =			0,	x [−1, 0)


		x	− 1,		x [0, 1]
	e		− 1,		x [0, 1]


629. f(x) =	cos x − 1,				x [−π/2, 0)



		1 − cos x			x [0, π/2]

Разложить функцию f(x) в ряд Фурье на указанном промежутке, длина промежутка является периодом:

630. f(x) = x, на интервале (1, 3)

208

4.5Разложение функций в ряд Фурье. Практические задачи.

631.f(x) = x2 − 2x + 1, на отрезке [0, 2]

632.f(x) = |x − 1|, на отрезке [0, 2]

633.f(x) = |x − 2| + 1, на отрезке [0, 4]

634.f(x) = 1 − x2, на отрезке (1, 3)

635.f(x) = x3, на отрезке (0, 1)

636.f(x) = cos x, на отрезке (0, 2)

637.f(x) = sin 2x, на отрезке (0, 4)

209

5 Приложения.

5.1 Приложение А. Соотношения

эквивалентности.

sin α(x) α(x),

arcsin α(x) α(x),

tg α(x) α(x),

arctg α(x) α(x),

(1 + α(x))α(x) e,

1 γ(x)

1 + γ(x) e,

(1 + α(x))µ − 1 µα(x),

210

при α(x) → 0, x → a.

при γ(x) → ∞, x → a.

при α(x) → 0, x → a, µ R.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2421 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]