Числовые и функциональные ряды. Тригонометрические ряды Фурье. Курс лекций и сборник задач. Учебное пособие

3.6 Функциональные последовательности. Практические задачи.

131

E = (0, +∞).

132

3 Функциональные последовательности и ряды.

сходимости). Наконец, если x > 0, то ekx → +∞, e2kx → +∞, k →

∞. В этом случае

P

k=1

димое условие сходимости). Таким образом областью сходимости исследуемого ряда является интервал (−∞, 0).

Пример 3.12 Найти область сходимости функционального ряда

X∞ xk − sin xk

k=1

Решение.

Воспользуемся неравенством

|t − sin t| 6 16 · |t|3

(см. решение задачи 3.8 раздела 3.6).

При любом фиксированном x получаем

134

знака сравнения при любом фиксированном значении x. Его областью сходимости - вся числовая прямая.

Пример 3.13 Исследовать на равномерную сходимость на множествах E1, E2, ряд

пользуясь определением равномерно сходящегося ряда, если

E1 = (0, +∞), E2 = (1, +∞)

Решение.

Воспользуемся равенством

arctg α − arctg β = arctg α − β , 1 + αβ

справедливым для всех таких α и β, для которых

−π2 < arctg α − arctg β < π2

(это условие выполняется, например, если α > 0 и β > 0). Представив

135

3.7 Функциональные ряды. Практические задачи.

Но тогда αn 6→0, n → ∞ и последовательность Sn(x) (а, значит,

и исследуемый ряд) не сходится равномерно на множестве E1.

Другой вариант решения мы получим, если заметим, что при n

точка n1 E1 = (0, +∞), что приводит к оценке

αn = sup |Sn(x) − S(x)| >

Отсюда вытекает (поскольку α˜n → 0, n → ∞) равномерная сходимость последовательности {Sn(x)} (и нашего ряда) на множестве

E2.

137

3Функциональные последовательности и ряды.

Вдальнейших примерах этого раздела требуется исследовать на равномерную сходимость ряд на указанных множествах (E, E1, E2).

Пример 3.14

заметим, что числитель дроби в правой части последнего равенства заведомо меньше удвоенного знаменателя

ekx + 5 < 2e2kx + 2ekx + 6.

Отсюда получаем (для x и k)

ekx + 5

e2kx + ekx + 3

< 2

138

3.7 Функциональные ряды. Практические задачи.

и, следовательно,

|uk(x)| = uk(x) < 2 · ekx < 2e−k

для x E1 и k = 1, 2, . . . .

k=1

и, значит, ряд P∞ uk(x) сходится равномерно на множестве E1 по

k=1

признаку Вейерштрасса.

Рассмотрим случай множества E2. Покажем, что на E2 последовательность {uk(x)} не сходится к нулю равномерно (хотя имеет место поточечная сходимость {uk(x)} к нулю на E2, поскольку ряд сходится в каждой точке этого множества (см. решение примера 3.11 этого раздела)).

Для этого можно, например, зафиксировав k, заметить, что

Тогда

6

5

поскольку функция |uk(x) − 0| принимают на E2 = (−∞, 0) значения сколь угодно близкие к 65 . Это влечёт αk 6→0, k → ∞ и, отсутствие равномерной сходимости {uk(x)} к нулю на E2. То же по другому можно получить, если заметить, что при k точки вида

−k1 E2 = (−∞, 0). Далее, очевидно, при k

139

3 Функциональные последовательности и ряды.

140