Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Числовые и функциональные ряды. Тригонометрические ряды Фурье. Курс лекций и сборник задач. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

973 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 249 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

2.7 Ряды с произвольными членами. Практические задачи.

228.

k=1(−1)k−1

−

arctg k2

∞

+ k + 1)pln(k + 3) ln(k + 4)

229.

∞

(−1)k

k=1

(k + 5) +

230.

∞

(−1)

k+1

ln(k + 5)

ln2

ln(k + 5) + 1

7 + k

231.

k=1(−1)k cos

7 + k − cos

∞

ln(k2 + 6k + 9)

232.

k=1(−1)k

1 + ln2(k + 3)

− arctg

√

∞

k2 + k + 1

233.

(−1) (k2 + k + 2) ln(k + 4) ln(k + 5)

√

234.

∞

(

−

1)k

√

cos

√

−

cos

√

1 +

k=1

2 +

√

∞

1 + ln(k + 1) ln √

235.

k=1(−1)k

2 + ln(k + 1)

∞

√

ln2(k + 5)

236.

(−1)k−1

(k + 5)

1 + k ln

2 Числовые ряды.

237.

∞

− arctg k

k=1(−1)k−1√k 2

∞

238.

k=1(−1)k√2k + 1

r 2

−

arctg(2k + 1)

239.

∞

k=1(−1)k−1p1 + √k sin

1 + √k

240.

∞

k=1(−1)kp2 + ln2 k sin

2 + ln2 k

241.

∞

k=1(−1)kp1 + ln(3 + k + 2k) sin

1 + ln(3 + k + 2k)

1 +

√

∞

ln(1 +

ln(1 + k)

242.

(−1)

√

1 + k

243.

k=1(−1)k−1

1 + ln4(k + 1)

+ k2 + k + 2

∞

ln2(k + 1)

√

k2 + k + 1

244.

k=1(−1)k

√k2 + 3 sin k2 + 3 +

k2 + 5

∞

√k2 + 4

sin8 k

∞

245.

k=1(−1)k−1

k√

+ √3 + ln k arctg

3 + ln k

2.7 Ряды с произвольными членами. Практические задачи.

246.

k=1(−1)k+1

k ln(k + 3)

5 + √k tg

5 + √k

cos6 k

∞

247.

k=1(−1)k

k−

√k + 1 + √k − 1 sin 2(k +

√k2

∞

3 + (

1)k

−

248. P∞ (−1)k−1

k=1

249. P∞ (−1)k

k=1

250. P∞ (−1)k−1

k=1

251. P∞ (−1)k

k=1

252. P∞ (−1)k−1

k=1

253. P∞ (−1)k+1

k=1

2 +

√

5 + cos kπ

1 +

k ln2(k + 3)

√

k +

1 + k

3log2 k + k

2 +

√k +

√k

7 + sin kπ

ln(1 + √

+ √

)

k ln(k + 2k)

3 + ln2 k

4 + (−1)

k(k+1)

ln(2 + ln2 k)

ln2(3 + k + 3k) + 1 + ln(5k + 5k)!

3 + sin kπ

ln(5k + 5k)

(− ln3(7k + 5k)

2 + ln(k + 7)

1)k + ln(5k + 7k)

1 + ln(k + 7)

cos k + k 1 − k sin k

2 Числовые ряды.

1 − √k sin √k

k sin k

254.

k=1

(

−√k

∞

1)k

255.

k=1(−1)k+1 ln (k + 3)

1 − k ln 1 + k

∞

k=1

√k

2√k

cos k

(−1)k

256.

∞

ln 1 +

(−1)k

∞ sin k

257.

k=1

√

− 1

258.

k=1 cos3 k k − k2 ln 1 + k

∞

259.

k=1 sin5 k k3 arctg

− k2

∞

260.

k=1 sin(3k + 1)

k3 sin

− k2 − k

∞

261.

k=1 cos(5k + 2)

k2ek

262.

∞

cos k

1 +

(−

√

−

2.7 Ряды с произвольными членами. Практические задачи.

263. P∞

k=1

264. P∞

k=1

265. P∞

k=1

266. P∞

k=1

267. P∞

k=1

268. P∞

k=1

269. P∞

k=1

270. P∞

k=1

271. P∞

k=1

sin5(2k + 3)

k2q

− k2 − 21 k

1 + k1

− k4 − 21 k2

cos7(3k + 2)

k4 cos

sin k

arctg e√

(−1)k

LN(k+4) − 1

ln(k + 3)

√k2 + k + 1

earctg

−√k

− 1

cos k

( 1)k

√k + 3

(−1)k

−

sin 3k

earcsin

3√

√k + 2

√k2

+ 7

sin 5k

1 + sin

(

−1)k

√k + 5

√k2+5

−

sin 2k

esin

(−1)k

√k2 + 2k + 7 etg

7√k

− 1

cos 6k

(−1)k

√k ln(k + 5)

(−1)k

−

sin 6k

sin e

√

k+1

2 Числовые ряды.
kP			k			k
∞		k	sin k	sin k
272.	(−1)		√	arctg	√
=1

3 Функциональные

последовательности и

ряды.

3.1 Определение сходимости

функциональных

последовательностей и рядов.

Определение 3.1 (см. [1, 3]) Пусть задана последовательность функций {fn(x)}∞n=1, каждая из которых определена на множестве

X. Будем говорить, что функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1

сходится при n → ∞ к функции f(x) на множестве X, если для каждого x0 X числовая последовательность {fn(x0)}∞n=1 сходится при n → ∞ к числу f(x0).

Определение 3.2 (см. [1, 3]) Пусть задана последовательность функций {un(x)}∞n=1, каждая из которых определена на множестве

3 Функциональные последовательности и ряды.

X. Будем говорить, что функциональная ряд P∞ un(x) сходится на

n=1

множестве X, если последовательность частичных сумм Sm(x) =

un(x) является сходящейся функциональной последовательно-

n=1

стью на множестве X.

3.2 Равномерная сходимость.

Определение 3.3 (см. [1, 3]) Будем говорить, что функциональная последовательность

{fn(x)}∞n=1 сходится равномерно при n → ∞ к функции f(x) на множестве X, если

ε > 0 m N : n > m |fn(x) − f(x)| < ε, x X.

Определение 3.4 (см. [1, 3]) Будем говорить, что функциональ-

ная ряд P∞ un(x) сходится равномерно на множестве X, если по-

n=1

следовательность частичных сумм Sm = Pm un(x) является равно-

n=1

мерно сходящейся функциональной последовательностью на множестве X.

Теорема 3.1 (Критерий равномерной сходимости функциональной

последовательности.) Для того чтобы функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 равномерно сходилась к функции f(x) на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы

ε > 0 n0 N : n > n0 m N

3.2 Равномерная сходимость.

|fn(x) − fn+m(x)| < ε, x X.

Доказательство.

Пусть функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 равномерно сходилась к функции f(x) на множестве X, тогда

ε > 0 n0 N : n > n0 m N

\|fn(x) − f(x)\| <		ε	, \|fn+m(x) − f(x)\| <	ε	x X,

	2			2
а значит

|fn(x) − fn+m(x)| 6 |fn+m(x) − f(x)| + |fn(x) − f(x)| < ε.

Получили требуемое. Обратно. Пусть

ε > 0 n0 N : n > n0 m N

|fn(x) − fn+m(x)| < ε, x X.

Тогда согласно теореме Больцано-Коши для любого фиксированного x X числовая последовательность {fn(x)}∞n=1 имеет конечный предел, который обозначим f(x). Это означает, что функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 сходится при n → ∞ к функции f(x)

на множестве X. Покажем теперь, что эта сходимость равномерная. В неравенстве |fn(x) − fn+m(x)| < ε, перейдём к пределу при

m → ∞, тогда

|fn(x) − f(x)| 6 ε.

Этим устанавливается равномерная сходимость.

го ряда.)

3 Функциональные последовательности и ряды.

Следствие 3.1 (Критерий равномерной сходимости функционально-

Для того чтобы функциональный ряд P∞ un(x) равномерно

n=1

сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы

ε > 0 n0 N : n > n0 m N

	n+m	uk(x)	< ε, x X.
X


k=n+1

Доказательство.

Достаточно заметить, что для частичных сумм Sn(x) = Pn un(x),

n=1

верно равенство

	n+m
Sn+m(x) − Sn(x) =	kX
Sn+m(x) − Sn(x) =	uk(x)
	=n+1

и применить к последовательности {Sn(x)}∞n=1 критерий равномерной сходимости функциональной последовательности.

Теорема 3.2 (Признак Вейерштрасса, равномерной сходимости функ-

циональных рядов.) Пусть

n x X |un(x)| 6 cn,

и числовой ряд P∞ cn сходится, тогда функциональный ряд

n=1

X∞

un(x)

n=1

сходится равномерно на множестве X.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 249 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]