Числовые и функциональные ряды. Тригонометрические ряды Фурье. Курс лекций и сборник задач. Учебное пособие

3.6 Функциональные последовательности. Практические задачи.

при n. Отсюда следует, что αn 6→0, n → ∞ и последовательность

{fn(x)} не является сходящейся равномерно на E.

Пример 3.5

x

fn(x) = n en − 1 , E = (0, +∞)

Решение.

Зафиксируем x (0, +∞). Тогда, учитывая, что ex −1 x , n → ∞

n

n

получим

что даёт поточечную сходимость {fn(x)} к предельной функции f(x) = x, x E. Далее, замечая, что при n

fn(n) − f(n) = n(e − 1) − n = n(e − 2),

получаем (с учётом n (0, +∞)),

αn = sup |fn(x) − f(x)| > |fn(n) − f(n)| = n(e − 2),

E

откуда вытекает αn 6→0, n → ∞.

Последовательность {fn(x)} не сходится равномерно на E. Добавим (и это другой вариант решения), что, нетрудно дока-

зать, αn = +∞ при n. Действительно при любом фиксированном n

функция

x

fn(x) − f(x) = nen − n − x → +∞, x → +∞.

111

“растёт” быстрее, чем x при x → +∞).

Значит функция fn(x) − f(x) на множестве E = (0, +∞) может принимать сколь угодно большие положительные значения и тогда

αn = sup |fn(x) − f(x)| = +∞.

E

Пример 3.6

x

fn(x) = n en − 1 , E = (0, 1)

Решение.

Последовательность сходится поточечно к предельной функции f(x) = x, x E (см. решение примера 3.5).

Далее поскольку

при x > 0, то функция fn(x) − f(x) монотонно возрастает при x > 0.

Из того, что

следует, что она положительна для x > 0.

Но тогда

αn = sup |fn(x) − f(x)| = sup(fn(x) − f(x)) 6

E E

112

3.6 Функциональные последовательности. Практические задачи.

значит, αn → 0, n → ∞.

Рассматриваемая последовательность сходится равномерно на множестве E.

x − n sin nx

Действительно, по формуле Тейлора sin t = t + o(t2) и тогда

Отсюда, учитывая, что nx → 0, n → ∞ при любом фиксирован-

и, следовательно fn(x) → 0, n → ∞ при x (0, +∞).

113

3 Функциональные последовательности и ряды.

Последовательность {fn(x)} сходится поточечно на множестве E

к предельной функции f(x) ≡ 0, x E.

При любом натуральном n точка xn = πn (0, +∞), поэтому

=n πn − n sin = πn2

n

иαn 6→0, n → ∞. Последовательность {fn(x)} не является равно-

мерно сходящейся на E.

Другой вариант решения можно получить, если заметить, чтоπn

и в силу этого

αn = sup |fn(x) − f(x)| = +∞

(0,+∞)

Решение.

Последовательность сходится поточечно к предельной функции f(x) = 0, x E (см. решение примера 3.7).

114

3.6 Функциональные последовательности. Практические задачи.

Разлагая функцию g(t) = sin t по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

g(t) = g(0) + g′(0)t + g′′(0)t2 + g′′′(ξ)t3 1! 2! 3!

(точка ξ между 0 и t), получим

sin t = t + cos3! ξ t3,

и далее, при t

и, значит, αn → 0, n → ∞.

Рассматриваемая последовательность сходится равномерно на E.

Пример 3.9

fn(x) = sinn x, E1 = h0, π6 i , E2 = h0, π2 i , E3 = 0, π2 .

115

3 Функциональные последовательности и ряды.

Решение.

Так как 0 6 sin x 6 1 при x E1, то lim sinn x = 0 при любом

2 n→∞

фиксированном x E1. Последовательность сходится поточечно на множестве E1 к предельной функции f(x) = 0, x E1. Далее получаем

откуда следует (ввиду αn → 0, n → ∞) равномерная сходимость

{fn(x)} на E1.

Отсутствие равномерной сходимости легко установить с помощью теоремы о непрерывности предельной функции (теорема 3.5). Действительно, если бы последовательность {fn(x)} сходилась равномерно на множестве E2, то ввиду непрерывности её членов fn(x) на

E2, предельная функция f(x) была бы непрерывной на E2. Но она разрывна в точке x = π2 . Следовательно, равномерно сходящейся на

E2 последовательность {fn(x)} не является.

116

3.6 Функциональные последовательности. Практические задачи.

Случай множества E3 легко сводится к предыдущему, если воспользоваться легко проверяемым утверждением: поточечная сходимость функциональной последовательности к некоторой предельной функции на сегменте [a, b] и равномерная сходимость на интервале

(a, b) влекут равномерную сходимость к данной предельной функции на сегменте [a, b] (доказательство приведено ниже).

Если теперь допустить равномерную сходимость {fn(x)} на E3 =

0, π2 , то доказанная в предыдущем пункте поточечная сходимость к предельной функции

Устраним пробел в приведённом доказательстве. Пусть последо-

вательность {gn(x)} сходится к предельной функции g(x) поточечно на сегменте [a, b] и равномерно в интервале (a, b). Тогда для ε > 0

существует номера N1, N2 и N3 такие что при n > N1 неравенство

|gn(x) − g(x)| < ε

справедливо для x (a, b) и

|gn(a) − g(a)| < ε, если n > N2

117

3 Функциональные последовательности и ряды.

а

|gn(b) − g(b)| < ε, если n > N3.

Если N = max {N1, N2, N3} , то, отсюда следует, что n > N

неравенство

|gn(x) − g(x)| < ε

верно для x [a, b], что даёт равномерную сходимость {gn(x)}

к g(x) на [a, b].

Пример 3.10

x8 + √nx4 + 3n

fn(x) = 2x8 + nx2 + n2 , E1 = (0, +∞) , E2 = (0, 1) .

Решение.

При любом фиксированном x E1

Последовательность сходится на E1 поточечно к предельной функции f(x) = 0, x E1. Теперь при каждом фиксированном n на

118

3.6 Функциональные последовательности. Практические задачи.

множестве E1 будем рассматривать функцию

x8 + √nx4 + 3n |fn(x) − f(x)| = 2x8 + nx2 + n2

Предел этой функции при x → +∞ равен 12 (отношению коэффициентов при старших степенях x). Действительно

Поскольку при каждом n функция |fn(x) − f(x)| принимает на множестве E1 = (0, +∞) значения сколь угодно близкие к 12 , то

при n. Следовательно, αn 6→0, n → ∞. Равномерная сходимость на E1 отсутствует.

Отметим, что величину αn можно оценить снизу несколько иначе:

αn = sup |fn(x) − f(x)| > |fn(n) − f(n)| =

119

3 Функциональные последовательности и ряды.

(мы учли, что любое натуральное n E1 = (0, +∞)). Отсюда также следует αn 6→0, n → ∞ и отсутствие равномерной сходимости на

E1.

На множестве E2 E1 последовательность {fn(x)} сходится поточечно к предельной функции f(x) = 0, x E2.

При каждом фиксированном n и для x E2 = (0, 1) верны оценки

x8 + √nx4 + 3n |fn(x) − f(x)| = 2x8 + nx2 + n2 6

поэтому

αn = sup |fn(x) − f(x)| 6

5

E2 n

для n = 1, 2, . . . .

Это влечёт αn → 0, n → ∞ и, следовательно, равномерную сходимость {fn(x)} на множестве E2.

Исследовать функциональные последовательности на равномерную сходимость в указанных множествах:

x

273. fn(x) = n2 + x2 , E = (0, +∞).

120