Числовые и функциональные ряды. Тригонометрические ряды Фурье. Курс лекций и сборник задач. Учебное пособие

3.5 Свойства степенных рядов.

Доказательство.

Так как

x (−R, R) r : |x| < r < R,

то ряд 3.3 сходится равномерно на множестве [−r, r], согласно свойству 3.1 и x [−r, r]. Тогда получим требуемое, согласно теореме о непрерывности функционального ряда, сходящегося равномерно.

Свойство 3.3 Если два степенных ряда

иимеютодну и ту же сумму в некоторой окрестности точки x = 0, то n N an = bn.

Доказательство.

Положим x = 0 в равенстве

Разделим данное равенство на x =6 0, лежащий в окрестности из условия теоремы.

Учитывая непрерывность данных сумм, перейдём к пределу при x →

0. Тогда a1 = b1. Продолжая далее по индукции получим требуемое.

101

3 Функциональные последовательности и ряды.

Свойство 3.4 Пусть ряд 3.3 имеет радиус сходимости R > 0. Тогда x : |x| < R сумма f(x) ряда 3.3 интегрируема в промежутке

[0, x] и выполняется равенство:

Доказательство.

Так как

x (−R, R) r : |x| < r < R,

то ряд 3.3 сходится равномерно на множестве [−r, r], согласно свойству 3.1 и x [−r, r]. Тогда получим требуемое, согласно теореме о интегрировании функционального ряда, сходящегося равномерно.

Свойство 3.5 Пусть ряд 3.3 имеет радиус сходимости R > 0. Тогда сумма f(x) ряда 3.3 является дифференцируемой функцией на интервале (−R, R) и выполняется равенство:

X∞

f′(x) = nanxn−1.

n=1

Доказательство.

Для

x (−R, R) r, r0 : |x| < r0 < r < R

и ряд

X∞

|an|rn

n=0

102

3.6 Функциональные последовательности. Практические задачи.

сходится. Тогда

Ряд

X∞ L · n r0 n−1

r

n=0

сходится по признаку Даламбера. Следовательно по признаку Вей-

P∞

ерштрасса на отрезке [−r0, r0] ряд сходится равномер-

n=1

но. Применяя теорему о дифференцировании функционального ряда, сходящегося равномерно, получим требуемое.

3.6 Функциональные последовательно-

сти.

Практические задачи.

В предлагаемых ниже примерах требуется исследовать {fn(x)} на равномерную сходимость на указанном множестве (E, E1, E2 и т.д.).

Пример 3.1

x

fn(x) = n, E = (0, +∞)

Решение.

При любом фиксированном x (0, +∞)

x

fn(x) = n → 0, n → ∞,

103

3 Функциональные последовательности и ряды.

и, таким образом, последовательность {fn(x)} сходится на множестве E поточечно к предельной функции f(x) = 0, x E.

Для решение вопроса о равномерной сходимости, взяв и зафиксировав какое-либо ε > 0, посмотрим, при каких n неравенство

выполняется сразу для всех x (0, +∞).

Таких номеров n нет вообще. Действительно, фиксируя n для x > εn (такие x (0, +∞)) находим

x εn

|fn(x) − f(x)| = n > n = ε

Значит, для указанных x неравенство (3.4) неверно.

Таким образом предписанная (фиксацией ε > 0) степень близости (различие менее, чем на ε) между fn(x) и f(x) не может быть достигнута сразу для всех x E одновременно ни при каком n и (тем более) не может быть достигнута за счёт выбора номера n достаточно большим. Последовательность {fn(x)} не является равномерно сходящейся на множестве E.

Простое решение поставленной задачи даёт использование теоремы 3.1. Заметив, что при любом фиксированном n

x

|fn(x) − f(x)| = n → +∞, x → +∞,

находим, учитывая, что |fn(x) − f(x)| принимает на E = (0, +∞)

сколь угодно большие положительные значения,

αn = sup |fn(x) − f(x)| = +∞,

(0,+∞)

104

3.6 Функциональные последовательности. Практические задачи.

и, следовательно, αn 6→0, n → +∞, что означает отсутствие равномерной сходимости {fn(x)} на E.

К полученному результату приводят простые геометрические соображения. Выполнение для данного номера n неравенства

|fn(x) − f(x)| < ε

(равносильного неравенству f(x) − ε < fn(x) < f(x) + ε) сразу для всех x E означает, что график функции y = fn(x) целиком лежит

в полосе между линиями y = f(x) − ε и y = f(x) + ε.

Равномерная сходимость последовательности {fn(x)} к f(x) на множестве E означает таким образом, что для ε > 0 кривые y = fn(x) лежат целиком в полосе между линиями y = f(x) − ε и y =

f(x) + ε начиная с некоторого номера.

В нашем случае (f(x) ≡ 0 на (0, +∞)) для ε > 0 такая полоса определяется горизонталями y = −ε и y = ε. Но при любом n график функции y = fn(x) (y = nx ), x (0, +∞)− луч, выходящий из начала координат и лежащий в первой четверти не содержится целиком в этой полосе (см. рис. 3.1)

Отметим в заключение, что наша последовательность сходится равномерно к предельной функции f(x) ≡ 0 на любом интервале

(0, c), где c− фиксированное положительное число. Действительно, при любом фиксированном n для x (0, c) верно неравенство

x c |fn(x) − f(x)| = n < n,

105

3 Функциональные последовательности и ряды. y

Рис. 3.1: Иллюстрация к примеру 3.1

откуда следует

(x) − f(x)| 6 nc .

Значит αn → 0, n → ∞, что доказывает равномерную сходимость

{fn(x)} на интервале (0, c).

Решение.

Зафиксируем x (0, 2). Так как n1 → 0, n → ∞, то начиная с некоторого номера, верно неравенство n1 < x. Для всех таких n fn(x) = 0

(по определению функции fn(x)), следовательно, lim fn(x) = 0 и

n→∞

последовательность {fn(x)} сходится поточечно на множестве E к

предельной функции f(x) = 0, x E.

106

3.6 Функциональные последовательности. Практические задачи.

С другой стороны (поскольку 21n (0, n1 ) E при n),

при n, откуда получаем αn 6→0, n → ∞. Последовательность

{fn(x)} не является равномерно сходящейся на E.

Приводимое ниже геометрическое рассуждение делает полученный результат особенно очевидным и наглядным.

Построим график функции y = fn(x), принимая во внимание, что

кривая y = 4nx(1 − nx)− парабола, пресекающая горизонтальную

ось в точках с абсциссами x = 0 и x = n1 , с вершиной в точке A 21n , 1

(см. рис. 3.2).

Рис. 3.2: Иллюстрация к примеру 3.2

107

3 Функциональные последовательности и ряды.

Если взять 0 < ε < 1, то при n неравенство |fn(x) − f(x)| < ε

(равносильное неравенству f(x) − ε < fn(x) < f(x) + ε) не может быть выполнено сразу для всех x (0, 2), поскольку из-за “горба” (участка параболы с вершиной в точке A(21n , 1)) кривая y = fn(x)

не может быть целиком заключённой в полосе между линиями y = f(x) − ε и y = f(x) + ε (в нашем случае, т.к. f(x) ≡ 0 на (0, 2), между горизонталями y = −ε и y = ε). Это означает отсутствие равномерной сходимости {fn(x)} на E.

С другой стороны, из рис. 3.2 видно, что для любого фиксированного значения аргумента x (здесь удобно обозначить его x0) с возрастанием n, начиная с некоторого места, “горб” графика функции y = fn(x), сжимаясь к оси ординат, становится “левее” вертикали x = x0 и поэтому точка кривой y = fn(x) с абсциссой x0 лежит на горизонтальной оси. Это даёт fn(x0) = 0 (начиная с некоторого номера) и (ввиду произвольности x0 (0, 2)) поточечную сходимость к предельной функции f(x) = 0, x (0, 2).

Пример 3.3

fn(x) = xn − xn+1, E = [0, 1]

Решение.

Очевидно fn(0) = fn(1) = 0 при n. Если зафиксировать 0 < x < 1, то xn − xn+1 → 0, n → ∞, и, следовательно последовательность

{fn(x)} сходится поточечно на множестве E к предельной функции f(x) = 0, x E. Вопрос о равномерной сходимости решим, исполь-

108

3.6 Функциональные последовательности. Практические задачи.

зуя теорему 3.1. Пусть

(мы учитываем, что xn > xn+1 при 0 6 x 6 1).

Из непрерывности fn(x) и в силу второй теоремы Вейерштрасса

следует, что sup fn(x) достигается в некоторой точке отрезка [0, 1].

Это может быть либо одна из концевых точек x = 0, x = 1, ли-

бо точка интервала (0, 1), и тогда в такой точке интервала (0, 1)

функция fn(x) имеет локальный экстремум и, следовательно, производную f′(x) равную нулю. Для вычисления sup fn(x) достаточно сравнить значения функции fn(x) лишь в тех точках сегмента [0, 1], где sup может быть достигнут (в точках x = 0, x = 1 и точках

109

то отсюда следует, что αn → 0, n → ∞ и, значит, последовательность {fn(x)} сходится равномерно к предельной функции f(x) на множестве E.

Пример 3.4

fn(x) = xn − x2n, E = [0, 1]

Решение.

Нетрудно видеть, что, как и в предыдущем примере, для любого

фиксированного x [0, 1] lim fn(x) = 0. Последовательность {fn(x)}

n→∞

сходится поточечно на множестве E = [0, 1] к предельной функции f(x) = 0, x E. Далее можно было бы найти

как и в предыдущем примере, но проще заметить, что для фиксиро-

1

ванного 0 < q < 1 точки q n E при n тогда

110