Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Числовые и функциональные ряды. Тригонометрические ряды Фурье. Курс лекций и сборник задач. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

973 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2420 21 22 23 24 > Следующая >>>

3.8 Степенные ряды. Практические задачи.

	∞		2	4					k2 + 4k + 3	2
598.	P	5k				− ln				xk .
598.	k=1	5k			k	− ln			k2	xk .
	P			1
	∞			1
599.	k=1 ln 1 +						k	k!(x + 1)k.
600.	∞			1
600.	k=1	ek − 1 (k + 1)!(x + 3)k.
	P
	∞	1		− 1
601.	∞	2k				xk.
601.						xk.
			k!

k=1

191

4 Ряды Фурье.

4.1 Тригонометрические ряды Фурье.

Определение 4.1 (см. [4, 5]) Функциональный ряд следующего ви-

да	∞
	∞
a0	X
	+ (an cos nx + bn sin nx)	(4.1)
2	n=1
	n=1

будем называть тригонометрическим рядом. А функции cos nx n = 0, ∞, sin nx n = 1, ∞ тригонометрической системой функций.

Лемма 4.1 (Лемма о тригонометрической системе функций.) Для тригонометрической системы функций выполняются следующие ра-

венства:

Zπ

cos nx cos mx dx = 0	n 6= m
−π
Zπ sin nx sin mx dx = 0	n 6= m
−π
Zπ

cos nx sin mx dx = 0

−π

192

4.1 Тригонометрические ряды Фурье.

Zπ Zπ

cos2 nx dx = sin2 nx dx = πn = 1, ∞

−π −π

Доказательство. Для любых n =6 m справедливо следующие

Z	sin nx sin mx dx = 2		Z		[cos(n − m)x − cos(n + m)x] dx =
π		1		π
−π		2(n − m)	−π			π −					π = 0.
	=	2(n − m)			π	π −		2(n + m)		π	π = 0.
		sin(n m)x			π			sin(n + m)x		π
		−		−					−

			равенство
Докажем также следующее
	π					π
	Z	cos2 nx dx =			1	Z	(1 + cos 2nx) dx = π.

					2
	−π					−π

Все остальные равенства доказываются аналогично двум данным.

Теорема 4.1 (Теорема о коэффициентах тригонометрического ряда.)

Пусть

			∞
f(x) =	a0		X
f(x) =		+	(an cos nx + bn sin nx)	(4.2)
2			n=1
			n=1

и данный тригонометрический ряд сходится равномерно на отрез-

ке [−π, π]. Тогда

an = π

f(x) cos nx dx, n = 1, ∞.

= π

f(x) dx,

(4.3)

−π

bn = π

−π

f(x) sin nx dx, n = 1, ∞.

(4.4)

−π

193

4 Ряды Фурье.

Доказательство. Согласно теореме 3.5 на странице 92 и теореме 3.7 на странице 95, функция f(x) непрерывна на отрезке [−π, π] и

выполняется		20	Z	dx + n=1	an Z	cos nx dx + bn Z	sin nx dx = πa0
Z	f(x)dx =
π		a	π	∞	π	π
−π			−π	X −π		−π

Отсюда следует первая из формул. Умножив почленно ряд 4.2 на cos mx, мы получим также равномерно сходящийся ряд, тогда интегрируя и используя лемму 4.1 получим

Zπ

f(x) cos mx dx =

					−π
	a		π	∞		π			π
	a			∞
		−				−π		−
	20	−		cos mx dx+n=1		−π		−
=	20	Z		cos mx dx+n=1	an Z			cos nx cos mx dx + bn Z		sin nx cos mx dx =
			π	X		π			π
				= an Z			cos2 mx dx = πam

−π

Отсюда следует вторая из формул, а третья получается аналогично, умножая почленно ряд 4.2 на sin mx.

Определение 4.2 Будем говорить что функция f(x) абсолютно

интегрируема на отрезке [a, b], если существует интеграл |f(x)| dx.

Определение 4.3 Пусть функция f(x) абсолютно интегрируема на отрезке [−π, π]. Тригонометрический ряд

a0	+	∞
		(an cos nx + bn sin nx) ,	(4.5)
2

n=1

194

						4.1 Тригонометрические ряды Фурье.
где		Z	f(x) dx,			an = π		Z	f(x) cos nx dx,
a0 = π		Z	f(x) dx,			an = π		Z	f(x) cos nx dx,
	1	π					1	π
	1						1
bn		−π		Z				−π	n = 1, ∞.
bn		= π		Z	f(x) sin nx dx,				n = 1, ∞.
			1	π
			1

−π

называется тригонометрическим рядом Фурье функции f(x), числа an, bn коэффициентами тригонометрического ряда Фурье.

Теорема 4.2 (Теорема Римана.) Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], тогда

lim
p→∞ Za	f(x) cos px dx = 0	(4.6)
	b
lim
p→∞ Za	f(x) sin px dx = 0	(4.7)
Доказательство. Пусть

a = t0 < t1 < · · · < tn = b

разбиение отрезка [a, b]. Обозначим Mi и mi как наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на отрезке [ti−1, ti] соответственно. И ωi = Mi − mi. Зафиксируем число ε > 0 и выберем разбиение так,

чтобы ωi <	ε	, тогда
чтобы ωi <	2(b−a)	, тогда
	2(b−a)
		n−1		ε
		Xi
		ωi	ti <	2
		=0

195

4 Ряды Фурье.

Возьмём p >

4 n−1

=1 |mi|, тогда получим

n−1

ti+1

f(x) sin px dx = i=0

f(x) sin px dx =

X ti

n−1 ti+1

n−1

ti+1

X ti

i=0

Z [f(x) − mi] sin px dx + i=0 mi

sin px dx

Учитывая, что

ti+1sin px dx

cos pti

− cos pti+1

получаем

i=0

b f(x) sin px dx

6 n−1 ωi

ti +

n−1

< ε,

что и доказывает 4.7. 4.6 доказывается аналогично.

Замечание 4.1 Теорема Римана остаётся верной, если вместо непрерывности функции f(x) потребовать её абсолютную интегрируемость на отрезке [a, b], см. [4].

Следствие 4.1 Коэффициенты an, bn тригонометрического ряда Фурье при n → ∞ стремятся к 0.

Теорема 4.3 (Теорема о представлении функции рядом Фурье.) Пусть функция f(x) кусочно-дифференцируема на отрезке [−π, π], тогда

196

4.2 Почленное дифференцирование и интегрирование рядов Фурье

её тригонометрический ряд Фурье сходится и его сумма в каждой точке x интервала (−π, π) равна

f(x + 0) + f(x − 0). 2

В точках x = ±π сумма равна

f(−π) + f(π).

Следствие 4.2 Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [−π, π], тогда её тригонометрический ряд Фурье сходится и его сумма в каждой точке x интервала (−π, π) равна f(x).

4.2 Почленное дифференцирование и

интегрирование рядов Фурье

Теорема 4.4 (Теорема о почленном дифференцировании ряда Фурье.)

Пусть функция f(x) непрерывна и кусочно-непрерывно дифференцируема на отрезке [−π, π], f(−π) = f(π) и

a20 + X∞ (an cos nx + bn sin nx) ,

n=1

её тригонометрический ряд Фурье, тогда ряд

X∞

(−nan sin nx + nbn cos nx) ,

n=1

является тригонометрическим рядом Фурье её производной.

197

4 Ряды Фурье.

Доказательство. Пусть ряд

c20 + X∞ (cn cos nx + dn sin nx) ,

n=1

тригонометрический ряд Фурье производной функции f(x). Тогда

= π

Z f′(x) dx =

π (f(π) − f(−π)) = 0

cn = π

−π

+π

f′(x) cos nx dx = π f(x) cos nx

f(x) sin nx dx = nbn

−

−π

f(x) cos nx dx = −nan

dn = π Z

f′(x) sin nx dx = π f(x) sin nx

π−π Z

−

Что и требовалось доказать.

Теорема 4.5 (Теорема о почленном интегрировании ряда Фурье.) Пусть функция f(x)непрерывна на отрезке [−π, π] и

a20 + X∞ (an cos nx + bn sin nx) ,

n=1

её тригонометрический ряд Фурье, тогда

Z	f(x) dx = Z		a02dx	+ n=1			Z	(an cos nx + bn sin nx) dx =
	t		t		∞			t
0	0				X		0
	a0t		∞		an			bn
			X							(1 − cos nt)
	=	2	+ n=1		n	sin nt +			n	(1 − cos nt)

и ряд, стоящий справа, сходится.

198

4.2 Почленное дифференцирование и интегрирование рядов Фурье

Доказательство. Введём функцию

F (t) = Z	t	f(x) −	20 dx
0			a

Так как F ′(t) = f(t) − a20 , функция F (t) является непрерывно дифференцируемой на отрезке [−π, π]. кроме того

Zπ

F (π) − F (−π) = f(x) dx − πa0 = 0.

−π

Поэтому в силу теоремы 4.3 на странице 196, ряд Фурье функции

F (t) сходится и равен значениям функции F (t) на отрезке [−π, π].

Пусть ряд

		∞
A0	+	X
	+	(An cos nx + Bn sin nx) ,	(4.8)
2		n=1
		n=1

является тригонометрическим рядом Фурье функции F (t). Найдём коэффициенты этого ряда. Интегрируя по частям, получим

= π

F (t) cos nt dt = π F (t)

π −

sin nt

−

f(t) −

sin nt dt = −

n = 1, 2, . . . .

nπ

−π

Аналогично,

Bn = π	Z		F (t) sin nt dt = −π F (t)	n		π +
1		π	1	cos nt	−
1		π	1	cos nt	−
	−

199

4 Ряды Фурье.

+nπ Z

f(t) − 2

cos nt dt = n ,

n = 1, 2, . . . .

−π

Для того чтобы найти A0 в равенстве

∞

F (t) =

(An cos nx + Bn sin nx) ,

n=1

положим t = 0. Тогда получим

∞

= 0, откуда

n=1

Следовательно

F (t) = X∞ ann sin nt + bnn (1 − cos nt)

n=1

и тогда

Z	f(x) dx =	2	+ n=1 n sin nt + n (1 − cos nt) .
	t	a0t	∞	an	bn
0			X

Что и требовалось доказать.

Замечание 4.2 Можно показать, что ряд Фурье функции F (t)

сходится равномерно на отрезке [−π, π], см. например [4].

4.3 Тригонометрические ряды Фурье в

случае произвольного интервала.

Теория тригонометрических рядов Фурье на отрезке [−π, π] легко переносится на случай отрезка [−l, l]. Для этого достаточно отрезок

200

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2420 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]