Числовые и функциональные ряды. Тригонометрические ряды Фурье. Курс лекций и сборник задач. Учебное пособие

3.2 Равномерная сходимость.

Доказательство.

По принципу сходимости числовых рядов выполняется:

ряда и означает требуемое.

Теорема 3.3 (Признак Дирихле равномерной сходимости функцио-

нального ряда)

Ряд P∞ ak(x)bk(x) сходится равномерно на множестве E, если:

k=1

1. существует постоянная C, такая что

2.последовательность {bk(x)} монотонна при каждом x E и

сходится к нулю равномерно на множестве E.

Теорема 3.4 (Признак Абеля равномерной сходимости функциональ-

ного ряда)

Ряд P∞ ak(x)bk(x) сходится равномерно на множестве E, если:

k=1

91

3 Функциональные последовательности и ряды.

1. ряд P∞ ak(x) сходится равномерно на E;

k=1

2.последовательность {bk(x)} монотонна при каждом x E и

равномерно ограничена на E (т.е. существует постоянная C, такая что |bk(x)| 6 C при k = 1, 2, . . . и x E).

3.3 Функциональные свойства суммы

ряда.

Теорема 3.5 (Теорема о непрерывности функционального ряда, схо-

Пусть функции un(x) (n = 1, ∞) определены

и непрерывны на отрезке [a, b] и ряд P∞ un(x) сходится равномерно

n=1

на отрезке [a, b] к функции f(x), тогда f(x) непрерывна на [a, b].

Доказательство.

Возьмём x0 [a, b], тогда

f(x) = Sn(x) + rn(x),

где Sn(x) и rn(x), частичная сумма и остаток ряда соответственно. Тогда

|f(x) − f(x0)| 6 |Sn(x) − Sn(x0)| + |rn(x)| + |rn(x0)|.

Из равномерной сходимости ряда следует:

ε

ε > 0 m : n > m|rn(x)| < 3 x [a, b].

92

3.3 Функциональные свойства суммы ряда.

Частичная сумма Sn(x) является конечной суммой непрерывных функций un(x) и соответственно тоже непрерывна, поэтому

ε

ε > 0 δ > 0 : x : |x − x0| < δ |Sn(x) − Sn(x0)| < 3.

В результате получим:

ε > 0 δ > 0 : x : |x − x0| < δ |f(x) − f(x0)| < ε.

Что и доказывает теорему.

Следствие 3.2 Если последовательность функций

{fn(x)}∞n=1

опопределённых непрерывных на отрезке [a, b], сходится к f(x) равномерно на [a, b], то f(x) непрерывна на [a, b].

Доказательство.

Рассмотрим функции un(x) = fn(x)−fn−1(x), n = 2, ∞ и u1(x) =

f1(x). Очевидно, что они являются непрерывными, как разность непре-

P∞

рывных функций. Тогда ряд un(x) сходится равномерно на отрез-

n=1

ке [a, b] к функции f(x) и применяя теорему о непрерывности функционального ряда, сходящегося равномерно, получим требуемое.

Теорема 3.6 (Теорема о предельном переходе в функциональном ря-

де, сходящемся равномерно.)

Пусть функции un(x) (n = 1, ∞) определены и непрерывны на мно-

жестве X и ряд P∞ un(x) сходится равномерно на множестве X к

n=1

93

3 Функциональные последовательности и ряды.

функции f(x). Если

Доказательство. Согласно критерию равномерной сходимости функционального ряда выполняется

ε > 0 n0 N : n > n0 m N

n=1

ε

ε > 0 m1 : n > m1|rn(x)| < 3 x [a, b]

и

ε

ε > 0 m2 : n > m2|αn| < 3.

94

3.3 Функциональные свойства суммы ряда.

Кроме того очевидно что

Тогда

|f(x) − C| 6 |Sn(x) − Cn| + |rn(x)| + |αn| < ε,

что доказывает последние утверждение теоремы.

Теорема 3.7 (Теорема о интегрировании функционального ряда, схо-

Пусть функции un(x) (n = 1, ∞) определены

и непрерывны на отрезке [a, b] и ряд P∞ un(x) сходится равномерно

n=1

на отрезке [a, b] к функции f(x), тогда

an=1 a

Доказательство. По теореме о непрерывности функционального ряда, сходящегося равномерно, функции f(x) непрерывна. Тогда существуют все интегралы из условия теоремы, как интегралы непрерывных функций. Проинтегрируем раравенство

95

3 Функциональные последовательности и ряды.

Кроме того из равномерной сходимости ряда следует

ε

ε > 0 m : n > m |rn(x)| < 3 x [a, b],

Переходя теперь к пределу при n → ∞ в равенстве 3.1, получим требуемое.

Следствие 3.3 Если последовательность функций

{fn(x)}∞n=1

определённых и непрерывных на отрезке [a, b], сходится к f(x) равномерно на [a, b], то

Доказательство.

Рассмотрим функции un(x) = fn(x)−fn−1(x), n = 2, ∞ и u1(x) =

f1(x). Очевидно, что они являются непрерывными, как разность непре-

P∞

рывных функций. Тогда ряд un(x) сходится равномерно на отрез-

n=1

ке [a, b] к функции f(x) и применяя теорему о интегрировании функционального ряда, сходящегося равномерно, получим требуемое.

96

3.3 Функциональные свойства суммы ряда.

Теорема 3.8 (Теорема о дифференцировании функционального ря-

да, сходящегося равномерно.) Пусть функции un(x) (n = 1, ∞) определены и непрерывно дифференцироваемы на отрезке [a, b], ряд P∞

n=1

Доказательство.

Обозначим

X∞

g(x) = u′n(x).

n=1

В силу теоремы о непрерывности функционального ряда, сходящегося равномерно, g(x)− непрерывна на отрезке [a, b]. Воспользовавшись теоремой о интегрировании функционального ряда, сходящегося равномерно для произвольного значения x [a, b] получим:

Zx X∞ Zx

an=1 a

= f(x) − f(a).

Из чего следует, что функция f(x) дифференцируема и имеет производную, равную производной функции g(x). Что и требовалось доказать.

97

3 Функциональные последовательности и ряды.

3.4 Степенные ряды.

Определение 3.5 Функциональный ряд следующего вида:

X∞

n=0

где an числовая последовательность, называется степенным рядом.

Замечание 3.1 Заменяя (x − x0) на x всегда можно рассматривать вместо ряда 3.2, ряд вида:

X∞

n=0

Лемма 3.1 (Лемма о множестве точек сходимости степенного ряда.)

Если ряд 3.3 сходится для значения x = b =6 0, то он абсолютно сходится для любого значения x, удовлетворяющего ненеравенству

|x| < |b|.

Доказательство.

По необходимому условию сходимости числового ряда выполняется:

lim |anbn| = 0,

n→∞

тогда

M > 0 : n N |anbn| 6 M.

98

тельных рядов сходится и ряд

X∞

anxn.

n=0

Теорема 3.9 (Теорема о радиусе сходимости степенного ряда.) Для любого степенного ряда вида 3.3, найдётся r R+ +∞ такое, что

ряд абсолютно сходится для всех x : |x| < r и расходится для x : |x| > r.

При этом r называют радиусом сходимости данного степенного ряда.

Доказательство.

Рассмотрим множество |x| состоящее из тех точек x для которых ряд 3.3 сходится. Если множество состоит только из нуля, то очевидно, что r = 0. Иначе возможно два случая: множество либо ограничено, либо нет.

Если множество не ограничено, то какое бы x мы не взяли, найдётся другое превосходящее его по модулю в котором ряд сходится. Тогда ряд абсолютно сходится и для данного x, согласно лемме о множестве точек сходимости степенного ряда. То есть ряд сходится в любой точке x, что означает r = +∞.

99

3 Функциональные последовательности и ряды.

Пусть теперь множество ограничено. Обозначимеё точную вверхнююгрань как r. Очевидно, что ряд расходится для x : |x| > r. Если же x : |x| < r, то существует x0 : |x| < |x0| < r и в x0 ряд 3.3 сходится, но тогда по лемме о множестве точек сходимости степенного ряда, ряд 3.3 сходится абсолютно в точке x. Что и требовалось доказать.

3.5 Свойства степенных рядов.

Свойство 3.1 Пусть ряд 3.3 имеет радиус сходимости R > 0. Тогда r : 0 < r < R ряд 3.3 сходится равномерно на отрезке [−r, r].

Доказательство.

Так как по лемме о множестве точек сходимости степенного ряда,

положительный числовой ряд

X∞

то по признаку Вейерштрасса ряд 3.3 сходится равномерно на отрезке [−r, r].

Свойство 3.2 Пусть ряд 3.3 имеет радиус сходимости R > 0. Тогда сумма f(x) ряда 3.3 является непрерывной функцией на интервале (−R, R).

100