Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Числовые и функциональные ряды. Тригонометрические ряды Фурье. Курс лекций и сборник задач. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

973 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 242 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

k=n+1

nP+m

2.2 Свойства числовых рядов.

Определение 2.3 (см. [1, 3]) Сумма чисел

	∞
	kX
rn =	ak,	(2.3)

=n+1

называется n-м остатком ряда 2.1.

Замечание 2.1 Очевидно остаток ряда rn, тоже является рядом члены которого равны a′k = an+k, k = 1, 2, 3, . . . .

Определение 2.4 (см. [1, 3]) Ряд 2.1 называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм {Sn} сходится. В противном случае говорят, что ряд расходится. Если ряд сходится, то предел

S = lim Sn

n→∞

называют его суммой и пишут

X∞

S = an

n=1

2.2 Свойства числовых рядов.

Свойство 2.1 Остаток ряда rn сходится тогда и только тогда,

когда сходится сам ряд P∞ an.

n=1

Доказательство.

Пусть rn сходится, это означает сходимость частичных сумм Sm′ = ak к некоторому числу S′. Тогда частичные суммы Sm = Sn+Sm′

2 Числовые ряды.

сходятся при m → ∞ к Sn + S′, согласно свойству 1.2 на странице 7. Обратно, пусть ряд сходится, представим частичные суммы Sm′ как разность Sm − Sn и устремив m в бесконечность получим необходимое.

Свойство 2.2 Если числовой ряд сходится, то lim rn = 0

n→∞

Доказательство.

Согласно предыдущему свойству, ряд rn сходится и выполняется

равенство rn = S − Sn. Тогда nlim rn = S − nlim Sn = S − S = 0.
→∞	→∞

Свойство 2.3 Если ряд P∞ an сходится, то сходится и ряд P∞ can

n=1 n=1

и его сумма равна cS, где S сумма исходного ряда.

Доказательство.

Частичные суммы ряда P∞ can есть не что иное как cSn, а предел

n=1

данных частичных сумм равен cS.

Свойство 2.4 Пусть ряды P∞ an и P∞ bn сходятся, тогда сходит-

P	n=1	n=1
∞
ся и ряд (an + bn) и его сумма равна сумме исходных рядов.
n=1
Доказательство.		∞
∞		∞
Пусть суммы рядов	an и	bn соответственно равны S и S′,
n=1		n=1
а их частичные суммы S	и Sn′P. Очевидно, что частичная сумма
Pn	и Sn′P. Очевидно, что частичная сумма
P
n

(ak + bk) равна Sn + Sn′ . Переходя к пределу при n стремящем-

k=1

ся к бесконечности и используя свойство 1.2, получим сходимость

ряда P∞ (an + bn) и его сумма равна S + S′.

n=1

2.3 Положительные ряды

Свойство 2.5 (Необходимое условие сходимости числового ряда.)

Если ряд P∞ an сходится, то для общего члена ряда an справедливо

n=1

следующее lim an = 0

n→∞

Доказательство.

Для доказательства достаточно заметить, что an = Sn − Sn−1 и

перейти к пределу

nlim an = nlim (Sn + Sn−1) = nlim Sn + nlim Sn−1 = S − S = 0.
→∞	→∞	→∞	→∞

2.3 Положительные ряды

Определение 2.5 (см. [1, 3]) Числовой ряд P∞ an называют зна-

n=1

копостоянным, если m : n > m все an одного знака. Если n >

1 an > 0, ряд называется положительным.

Лемма 2.1 (О сходимости положительных рядов.) Частичные суммы положительного ряда монотонно возрастают и если C > 0 :

n Sn < C, то ряд сходится.

Доказательство.

Очевидно, что Sn+1 = Sn+an+1 > Sn и согласно теореме о пределе монотонной ограниченной последовательности существует конечный предел частичных сумм, что и означает сходимость ряда.

Теорема 2.1 (Первый признак сравнения положительных рядов.)

Пусть даны два положительных ряда P∞ an и P∞ bn, для которых

n=1 n=1

2 Числовые ряды.

выполняется условие: m : n > m an 6 bn. Тогда если сходится

P	∞	P	P
∞		∞	∞
ряд bn, то сходится и ряд		an. А если расходится ряд	an,
n=1	P	n=1	n=1
то расходится и ряд	P
то расходится и ряд	bn.

n=1

Доказательство.

Учитывая, что отбрасывание начальных членов ряда не влияет на его сходимость, не нарушая общности, можно считать, что для всех натуральных значений n выполняется an 6 bn. Обозначим Sn и

∞		P	P		∞
		∞		∞
Sn′ частичные суммы рядов an и				bn соответственно. Тогда если
P		n=1	n=1		P
P	bn сходится, то Sn 6 Sn′		∞	′ =	P
ряд	bn сходится, то Sn 6 Sn′		< S	′ =	bn и согласно лемме (2.1)
n=1			P		n=1
P			P
∞
ряд	an сходится. Если же ряд			an расходится, то будем рассуж-
n=1			n=1
			P
			∞
дать от противного. Пусть ряд			bn сходится, тогда из сказанного
		∞	n=1
		∞	P
выше следует сходимость ряда			∞
выше следует сходимость ряда			an, что приводит к противоречию,
		n=1
а значит ряд		P
а значит ряд		bn расходится.

n=1

Теорема 2.2 (Второй признак сравнения положительных рядов.)

Пусть даны два положительных ряда P∞ an, P∞ bn и существует

n=1 n=1

предел

lim an = K (0 6 K 6 ∞).

n→∞ bn

P	P
∞	∞

Тогда если сходится ряд bn и K < ∞, то сходится и ряд an.

n=1 n=1

P	P
∞	∞
А если расходится ряд an и K > 0, то расходится и ряд	bn.
n=1	n=1

2.3 Положительные ряды

Доказательство.

P∞

Пусть сходится ряд bn и K < ∞, тогда по определению преде-

n=1

ла последовательности для данного фиксированного ε и n больших некоторого m, зависящего от ε, справедливы неравенства K − ε <

an < K + ε. Откуда an < (K + ε)bn. Из свойства 2.3 следует сходи-

P∞

мость ряда (K + ε)bn, а тогда, согласно первому признаку срав-

n=1

нения положительных рядов, сходится ряд			∞
нения положительных рядов, сходится ряд			an.
			n=1
Пусть расходится ряд	∞		P	bn	= N и N < ∞.
Пусть расходится ряд	an и K > 0, тогда nlim			an	= N и N < ∞.
	n=1		→∞			(N
Как и выше подбирая ε	так чтобы N ε > 0 получаем a					(N
Как и выше подбирая ε	P	−			n		−
		−					−

P∞

ε) < bn. Из свойства 2.3 следует расходимость ряда (N − ε)an, а

n=1

тогда, согласно первому признаку сравнения положительных рядов,

P∞

расходится ряд bn. Что и требовалось доказать.

n=1

Теорема 2.3 (Третий признак сравнения положительных рядов.)

Пусть даны два положительных ряда P∞ an, P∞ bn и m : n > m

n=1 n=1

выполняется неравенство

			an+1	6	bn+1	.
			an		bn			P
	∞	P					∞	P
Тогда если сходится ряд		∞						∞
Тогда если сходится ряд			bn, то сходится и ряд					an. А если
	P	n=1					P	n=1
расходится ряд	P						P
расходится ряд	an, то расходится и ряд						bn.
	n=1						n=1

Доказательство.

Не нарушая общности рассуждений можно считать, что неравен15

an+1

2 Числовые ряды.

ство

an+1

bn+1

выполняется для всех значений n. В таком случае будем иметь:

, . . . ,

an−1

bn−1

Перемножив эти неравенства, получим:

следовательно

bn.

Ряд ∞ a1 bn сходится одновременно с рядом

∞ bn и по теореме 2.1

n=1

получим требуемое.

Пример 2.1 Рассмотрим ряд

∞ qn, q > 0. Данный ряд представ-

n=1

ляет собой сумму членов

бесконечной геометрической прогрессии.

Его частичные суммы равны Sn

= q

1−qn

. Из чего следует, что ряд

1−q

сходится при q < 1 и его сумма равна S =

1−q

Теорема 2.4 (Признак Даламбера.) Пусть дан ряд P∞ an. Если m,

n=1

q < 1 : n > m 6 q, то ряд сходится; если же m :

n > m an+1 > 1, то ряд расходится.

Доказательство.

		2.3 Положительные ряды
Представим q как qn+1n	, тогда an+1	6 qn+1n и так как при q < 1 ряд
q	an	q

P∞ qn (см. пример 2.1) сходится, то согласно теореме 2.3 сходится и

n=1

P∞

ряд an.

n=1

Если же выполняется m : n > m an+1 > 1, то из того что ряд

P∞ 1 расходится по теореме 2.3 следует расходимость ряда P∞ an.

n=1 n=1

Следствие 2.1 (Предельная форма признака Даламбера.)

Пусть lim	an+1 = D. Тогда если D < 1 ряд	∞ an сходится, а если
n	an	P
→∞∞
	P	n=1
D > 1 ряд
	an расходится.
n=1
Доказательство. Пусть D < 1. По определению предела последо-
вательности для данного фиксированного ε : D + ε < 1 начиная

с некоторого номера n получаем	an+1 < D + ε < 1. Тогда согласно
	an
теореме 2.4 ряд сходится.

В случае если D > 1, зафиксируем ε : D − ε > 1 и получим

an+1 > D − ε > 1. Тогда согласно теореме 2.4 ряд расходится.

Теорема 2.5 (Признак Коши.)

∞

Пусть дан ряд n=1 an. Если m, q < 1 : n > m √

6 q, то ряд

же m :

n > m

n a

> 1, то ряд расходится.

сходится; если P

√

Доказательство.

6 q

и так как при q < 1 ряд

Из условия √an 6 q вытекает an

∞

∞ qn (см. пример 2.1) сходится, то согласно теореме 2.1 сходится и

n=1

ряд

an.

n=1

2 Числовые ряды.

√

Если же выполняется m : n > m n an > 1, тогда an > 1, и из

того что ряд P∞ 1 расходится по теореме 2.1 следует расходимость

n=1

∞
ряда		an.
n=1
P
Следствие 2.2 (Предельная форма признака Коши.)
Пусть						= K. Тогда если K < 1 ряд	∞		сходится, а если
	lim		n	a	n	= K. Тогда если K < 1 ряд	a	n	сходится, а если
	n	→∞	√		n		P	n
			∞				n=1
			∞
K > 1 ряд				an расходится.
		n=1
		P

Доказательство.

Пусть K < 1. По определению предела последовательности для данного фиксированного ε : K + ε < 1 начиная с некоторого но-

√

мера n получаем n an < K + ε < 1. Тогда согласно теореме 2.5 ряд сходится.

В случае если K > 1, зафиксируем ε : K − ε > 1 и получим

n
√an > K − ε > 1. Тогда согласно теореме 2.5 ряд расходится.
Теорема 2.6 (Признак Раабе.)
	∞
Пусть дан ряд an. Если
	n=1
	P			an+1
	m, > 1 : n > m n 1 −				> r,
	m, > 1 : n > m n 1 −			an	> r,
то ряд сходится; если же		1 − an		6 1,
	m : n > m n	1 − an		6 1,
			an+1

то ряд расходится.

x→∞ 1

2.3 Положительные ряды

Теорема 2.7 (Интегральный признак сходимости положительного ря-

да.) Пусть дан ряд P∞ an. Если существует непрерывная, положи-

n=1

тельная и монотонно убывающая на [1, ∞) функция f(x), такая

что f(n) = an, то из существования конечного предела lim f(t) dt

следует сходимость ряда P∞ an. Соответственно если предел равен

n=1

бесконечности, то ряд расходится.

Доказательство.

Ввиду монотонности функции f(x), для n 6 x 6 n + 1, выполняется

	an+1 = f(n + 1) 6 f(x) 6 f(n) = an,
следовательно		Z an+1 dt 6 Z f(x) dx 6 an.
	an+1 =	Z an+1 dt 6 Z f(x) dx 6 an.
		n+1		n+1
		n		n
			∞
Тогда согласно теореме 2.1 ряд				an сходится тогда и только тогда,
	∞ n+1		n=1
	∞ n+1		P
когда сходится ряд			f(x) dx, частичная сумма которого равна
	n=1	n
n+1	P	R		частичных сумм конечен тогда и
R	f(x) dx. Очевидно что предел			частичных сумм конечен тогда и
R	f(x) dx. Очевидно что предел			x
1

только тогда, когда конечен предел lim f(t) dt. Что и требовалось

x→∞ 1

доказать.

Пример 2.2 Рассмотрим ряд

X∞ 1

n=1 ns .

2 Числовые ряды.

Если s = 1, то данный

0, s =6 1 функция f(x) =

2.7 и

Zx 1

ряд называется гармоническим. При s > x1s удовлетворяет всем условиям теоремы

dt = s − 1	xs−1 − 1 .
1	1

Из чего следует сходимость ряда для s > 1 и расходимость для

0 < s < 1.

В случае s = 1 функция f(x) = x1 , также удовлетворяет условиям теоремы 2.7 и

1t dt = ln |x|.

Что означает расходимость ряда.

Кроме того для s 6 0 очевидно не выполняется необходимое условие сходимости.

В результате получаем: ряд

X∞ 1

n=1 ns

сходится при s > 1 и расходится в противном случае.

2.4 Ряды произвольных знаков.

Далее будем рассматривать ряды, члены которых могут иметь произвольные знаки.

<<< < Предыдущая 12 / 242 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]