Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Числовые и функциональные ряды. Тригонометрические ряды Фурье. Курс лекций и сборник задач. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

973 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2417 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

3.7 Функциональные ряды. Практические задачи.

а) E1 = (0, 1); б) E2 = (0, +∞).

	P	x	sin		1			1
472.	∞	x			1	+ sin		1	+
472.	k=1 sin	3		k ln2(k + 1)		+ sin		2k ln2(k + 1)	+
			+ sin		3k ln2(k + 1)		,
					1

а) E1 = (0, 1); б) E2 = (0, +∞).

473. P∞ x2e−kx xe−kx + 1 , E = (0, +∞).

k=1

474. P∞ x3e−kx xe−2kx + 2 , E = (0, +∞).

k=1

475. P∞

k=1

476. P∞

k=1

477. P∞

k=1

x2 + arctg	1			e−kx, E = (0, +∞).
	√

k k (1 + x2)

x2		21 + k3x3	+ sin2	k√1 + x2		, E = (0, +∞).
		1		1

x2(4, 5 + 2k3x3)

(0, 5 + k3x3)(4 + k3x3), E = (0, +∞).

161

3 Функциональные последовательности и ряды.

∞

x3(103 + 2k4x4)

478.

=1 (1 + k4x4)(3 + k4x4), E = (0, +∞).

479.

k=1 x2

e−kx + 0, 5 + k3x3

, E = (0, +∞).

∞

√k + x2

k + 1 + k

k + 1 − k

480.

√

cos

√

E = (−∞, +∞).

∞

√k + x2

k + 1 + k

k + 1 − k

481.

√

cos

√

×r

, E = (−∞, +∞).

k2 +k(2−1)k

k + 2

482.

∞

sin ln

cos ln

(1 + x2)(k2 + 3k + 2)

ln(3k + x4)

k + 1

E = (−∞, +∞).

k + 2

(−1)k

∞

483.

sin ln

cos ln

ex(k2 + 3k + 2) e

ln (2k + ex)

k + 1

E = (−∞, +∞).

∞

√k + x4

(k + 1)

+ k

+ k + k

2 ×

484.

√

sin

162

3.7 Функциональные ряды. Практические задачи.

sin

, E = (

, + ),

−∞ ∞

× p3 (k + 1)2 − √k2

+ k + √k2

∞

2√

485.

sin

√

cos

√

k + 2 + k

k + 2 − k

kP pk + √x

E = [0, +∞).

486.

∞

(

−1)k

sin

2 arctg e−x2

cos2

2 arctg e−x2

√

=1 √k + x2

k + 2 + k

k + 2 − k

E = (−∞, +∞).

487.

∞

(−1)k

sin ln

k + 3

2 cos2 ln

ex(k2 + 4k + 3)

k + 1

k=1 ln(2k + x2)

E = (−∞, +∞).

∞

(−

k(k+1)

2 arctg e−x

arctg e−x

488.

sin

cos2

√

√k + x4

k + 4 + k

k + 4 − k

E = (−∞, +∞).

∞

(−1)

k(k+1)

k + 5

2 cos2 ln

489.

sin ln

ex(k2 + 6k + 5)

k + 1

k=1 ln(3k + ex)

E = (−∞, +∞).

163

3 Функциональные последовательности и ряды.

∞

earctg4(kex)

√k + x2

√

k + 1 + k

√

k + 1 − k

490.

√

cos

√

sin

E = (−∞, +∞).

arctg6(k22x)

k + 2

491.

∞

sin ln

cos ln

2x(k2 + 3k + 2) ,

ln (2k + 2x)

k + 1

E = (−∞, +∞).

492.

∞

sin ln r

cos ln

ex(k + 2)√k2 + 4k + 3

k + 1

k + 3

ln (4k + x4)

E = (−∞, +∞).

∞

earctg

(√k+e

) sin ln r

k + 1

k + 3

493.

ln (4k + x4)


× cos ln		ex(k + 2)		k2 + 4k + 3 ,
E = (−∞, +∞).
	P	1		2
	∞	1		2
494.	k=1		ln (5k + ex)		sin ln 1 +	k	×

164

3.7 Функциональные ряды. Практические задачи.

× cos ln ex(k + 1)(k3 + 3k2 + 2k) , E = (−∞, +∞).

∞

495.

k=1

ln (5k + ex)

sin ln 1 +

× cos ln

ex(k + 1)(k3 + 3k2 + 2k) ln4 1 + arctg2 (kex) ,

E = (−∞, +∞).

k=1

√k + ex

√k + 2 + √k ×

∞

sin π4 + kπ

2e−x2

496.

sin

× cos2

e−x2

ln2 2 + arctg2

k23x , E = (−∞, +∞).

√

− √

k + 2

cos

π4 + kπ

∞

k + 3

497.

k=1

ln(2k + x2)

sin ln

k + 1

× cos2 ln

ex(k2 + 4k + 3) sin e−x2 arctg k , E = (−∞, +∞).

k(k+1)

k + 4 +

498.

∞

(−

sin

2e−x

√k + x4

√

√ ×

e−x

+ k , E = (−∞, +∞).

× cos2 √k + 4 − √k , cos2

e−x2

165

3 Функциональные последовательности и ряды.

	k=1 ln(3k + ex)		k + 1		×
	P	k(k+1)		k + 5	2
499.	∞	(−1) 2	sin ln
× cos2 ln ex(k2 + 6k + 5) cos6 (1 + x2)(1 + k2)						,
					1

E= (−∞, +∞).

3.8Степенные ряды. Практические задачи.

В приводимых ниже примерах требуется найти радиус сходимости, интервал сходимости и исследовать поведение ряда в граничных точках интервала сходимости.

Пример 3.20

X∞ kk · sink k1 · (x − 1)k

k=1

Решение.

Полагая ak = kk · sink k1 , находим

k→∞ p		= k→∞	·		k	k→∞	· k
	\|ak\|
lim k		lim k		sin	1	= lim k	1	= 1

(мы учитываем sin k1 k1 , k → ∞).

166

3.8 Степенные ряды. Практические задачи.

Следовательно, ввиду (3.9), радиус сходимости R = 1, а интервал

(x0 − R, x0 + R) = (0, 2)

(заметим, что x0 = 1) является интервалом сходимости нашего ряда. Исследуем ряд на сходимость в точках x = 0 и x = 2. При x = 2

получаем числовой ряд

∞	∞	1
X	X
ak =	kk · sink		k	.
k=1	k=1

Воспользовавшись разложением по формуле Тейлора

что даёт sin

Тогда

sin x = x −

= k

−

+ o

получаем

k sin k = 1 −

· k2

+ o k3

k→∞ ak = k→∞ − 3! · k2

1 1

lim

lim 1

= lim ek ln(1− 3!1 · k12 +o(k13 )) =

k→∞
klim k ln(1−	1	·	1	+		(	1	))
	1		1		o		1
	3!		k2		o		k3		=
= e →∞									=

167

3 Функциональные последовательности и ряды.

klim k(−

(

))

= e →∞

klim −

· k1 +

(

)

= e

= 1.

= e →∞

k o 13

= o 12

+ o

учитываем ln

1 −

−

, k → ∞,

P∞

Так как ak 6→0, ряд ak расходится (не выполнено необходимое

k=1

условие сходимости) и, значит, наш степенной ряд расходится в точке x = 2.

При x = 0 получаем ряд

∞

(−1)k · ak =

(−1)k · kk · sink

k=1

который также расходится, поскольку (−1)k · ak

6→0 при k → ∞

(ввиду ak → 1, k → ∞).

точке x = 1

∞

· ak расходится. Таким образом, и в

Следовательно, ряд k=1(−1)

исследуемый степенной ряд является расходящемся.

Пример 3.21

1 + k

− cos k ! (x + 2)k

∞

k=1

Решение.

Обозначим ak = r1 +

− cos

. Разложения по формуле Тейлора

168

3.8 Степенные ряды. Практические задачи.

1 + t = 1 + 2t +

t + o t ,

√

− 1

cos t = 1 − 2!t2

+ o

t3 ,

дают:

− 1

ak = r1 +

− cos

= 1 +

+ o

−

− 1 −

2 8 · k

p| |

k k

→

→ ∞

ak =

→ ∞!

k k

→

2 8 · k

→ 2

т.к.

1 и

= 1, k

Следовательно, радиус сходимости R = 1 и интервал (−2−R, −2+

R) = (−3, −1) есть интервал сходимости рассматриваемого ряда.

169

3 Функциональные последовательности и ряды.

Исследуем его на сходимость в точках x = −1 и x = −3. При

x = −1 получаем положительный ряд

∞

ak =

∞

1 + k

− cos k !

k=1

расходящийся поскольку

ak = k

+ 8

· k + o

· k , k → ∞.

При x = −3 возникает ряд

2k +

k=1 (−1)kak

= k=1 (−1)k

· k2 + o

∞

сходящийся, т.к. сходящимися (доказано выше) является ряды

	∞				1
	X
		(−1)k			2k
	k=1
и	8					k2 .
k=1 (−1)k	8		· k2 + o			k2 .
∞	3		1			1
X
Действительно, знакочередующийся ряд
	∞				1
	X
		(−1)k			2k
	k=1
			1
сходится по признаку Лейбница					↓ 0 при k → ∞ и ряд
сходится по признаку Лейбница				2k	↓ 0 при k → ∞ и ряд

170

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2417 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]