Числовые и функциональные ряды. Тригонометрические ряды Фурье. Курс лекций и сборник задач. Учебное пособие

3.7 Функциональные ряды. Практические задачи.

Обратимся к случаю множества E2. Обозначив

покажем, что последовательность {uk(x)} не сходится равномерно к нулю на E2. Очевидно (т.к. любая точка k E2 = (−∞, +∞)), что для k

αk = sup |uk(x) − 0| > |uk(x)| =

E2

= 1 − sin 1 > 0.

Значит (ввиду αk 6→0, k → ∞) равномерной сходимости по-

следовательности {uk(x)} к нулю на множестве E2 нет, а это влечёт

P∞

отсутствие равномерной сходимости ряда uk(x) на множестве E2

k=1

(не выполняется необходимое условие этого).

Добавим ещё, что, нетрудно показать, при k αk = +∞. Действительно, при любом фиксированном k в силу ограничен-

ности sin xk

сколь угодно большие положительные значения, что

141

3 Функциональные последовательности и ряды.

αk = sup |uk(x) − 0| = +∞

E2

(откуда, следует αk 6→0, k → ∞ и прежний вывод об отсутствии равномерной сходимости нашего ряда на E2).

Пример 3.16

и воспользуемся неравенствами | arctg t| 6 |t|, ln(1 + t) 6 t (в последнем считаем t > 0).

Получим для x E

1 √kx 2 e−kx k

Для дальнейших оценок исследуем функцию ϕk(x) = x2e−kx на максимум на множестве E. Находим:

ϕ′k(x) = 2xe−kx − kx2e−kx =

142

E1 = (0, 1), E2 = (0, +∞).

Решение.

Положив

143

и, используя неравенство | arctg t| 6 |t|, получим для любого x E1 = (0, 1)

докажем сходимость положительного числового ряда ak (от-

k=1

куда, по признаку Вейерштрасса, последует равномерная сходимость

144

3.7 Функциональные ряды. Практические задачи.

k=1 (k + 1) ln2(k + 1),

который мы исследуем на сходимость, применив интегральный

признак Коши-Маклорена.

Полагая

1

f(x) = (x + 1) ln2(x + 1)

(функция f(x) неотрицательна и невозрастает на [1, +∞)), нахо-

дим

145

3 Функциональные последовательности и ряды.

Но этот интеграл сходится, т.к. замена ln(x + 1) = t преобразует его в сходящийся интеграл

к нулю равномерно на этом множестве (хотя сходится поточечно). Действительно, при любом фиксированном k

146

3.7 Функциональные ряды. Практические задачи.

при x → +∞ (мы учитываем, что при фиксированном k выражение

при x → +∞). Из этого видно, что функция |uk(x)−0| может принимать значения сколь угодно близкие к π2 на множестве E2. Поэтому для k

что влечёт (ввиду αk 6→0, k → ∞) отсутствие равномерной сходимости к нулю последовательности {uk(x)} на множестве E2 и,

E = (−∞, +∞).

147

3 Функциональные последовательности и ряды.

Решение.

Воспользуемся признаком Дирихле, представив для этого исследуемый ряд в виде

X∞

ak(x)bk(x),

k=1

(мы использовали формулу Pn (βk+1−βk) = βn+1−β1 с βk = sin 2ex√k .

k=1

148

3.7 Функциональные ряды. Практические задачи.

Покажем, что последовательность {bk(x)} сходится к нулю равномерно на E. Это следует из оценки

и(ввиду αk → 0, k → ∞) равномерную сходимость {bk(x)} на E

кнулю.

Исследуемый ряд P∞ ak(x)bk(x) сходится равномерно на множе-

k=1

E = (−∞, +∞).

149

3 Функциональные последовательности и ряды.

Решение.

Будем использовать признак Абеля, для чего представим исследуе-

P∞

мый ряд в виде ak(x)bk(x), где

k=1

bk(x) = arctg5 (kex) .

P∞

Ряд ak(x) сходится равномерно на множестве E = (−∞, +∞)

k=1

(см. решение примера 3.18). Последовательность bk(x) монотонно возрастает при каждом фиксированном x E (следует из монотонного возрастания функции g(t) = arctg t) и равномерно ограничена на E, поскольку

0 < arctg5 (kex) < π2

для k и x E.

P∞

Но тогда исследуемый ряд ak(x)bk(x) сходится равномерно на

k=1

множестве E по признаку Абеля.

Найти область сходимости функционального ряда:

150