Числовые и функциональные ряды. Тригонометрические ряды Фурье. Курс лекций и сборник задач. Учебное пособие

2.4 Ряды произвольных знаков.

Теорема 2.8 (Принцип сходимости числовых рядов.) Для того что-

бы ряд P∞ an сходился, необходимо и достаточно, чтобы

n=1

ε > 0 p > 0 : n > p

|Sn+m − Sn| = |an+1 + · · · + an+m| < ε m N,

где Sn– n−я частичная сумма ряда.

Доказательство.

Данное утверждение следует непосредственно из принципа сходимости для последовательности, где в качестве последовательности возьмём Sn.

Определение 2.6 Ряд P∞ an называется абсолютно сходящимся,

n=1

если сходится ряд P∞ |an|.

n=1

Теорема 2.9 (О сходимости абсолютно сходящегося ряда.) Абсолютно

сходящийся ряд P∞ an сходится.

n=1

Доказательство.

Нам нужно показать, что сходимость ряда P∞ |an| влечёт за собой

n=1

сходимость ряда P∞ an. Очевидно верна следующая цепочка нера-

n=1

венств:

21

2 Числовые ряды.

P

∞

где Sn′ − − частичная сумма ряда |an|. Тогда непосредственное

n=1

применение принципа сходимости 2.8 доказывает утверждение.

Определение 2.7 Сходящийся ряд, который не является абсолютно сходящимся называется условно сходящимся.

Определение 2.8 Знакочередующимся рядом называется числовой ряд, в котором каждый член ряда имеет знак противоположный знаку члена ряда предшествующего ему.

Замечание 2.2 Знакочередующийся ряд можно представить в сле-

дующем виде:

X∞

(−1)ncn,

n=1

где cn > 0 n N.

Теорема 2.10 (Признак Лейбница.) Если

и

lim cn = 0,

n→∞

то ряд P∞ (−1)n−1cn, cn > 0 сходится.

n=1

Доказательство.

Рассмотрим частичную сумму чётного порядка S2n. Её можно представить в виде:

S2n = (c1 − c2) + (c3 − c4) + · · · + (c2n−1 − c2n).

22

2.4 Ряды произвольных знаков.

Из 2.4 получаем, что выражение стоящее в каждой скобки является положительным числом. Следовательно S2n монотонно возрастает. С другой стороны S2n представима в виде:

S2n = c1 − (c2 − c3) − · · · − (c2n−2 − c2n−1) − c2n,

то есть S2n является ограниченной сверху константой c1. В таком случае существует конечный предел

lim S2n = S.

n→∞

Для частичных сумм нечётного порядка S2n−1 = S2n + c2n выполняется

В итоге получаем

lim Sn = S.

n→∞

Что и требовалось доказать.

Пример 2.3 Рассмотрим ряд

X∞ (−1)n−1

n

n=1

.

Очевидно, что cn = n1 является монотонно убывающей, положительной последовательностью, тогда по теореме Лейбница данный ряд сходится. С другой стороны ряд составленный из модулей

23

2 Числовые ряды.

расходится (см. пример 2.2 на стр. 19). В итоге получаем, что ряд

X∞ (−1)n−1

n

n=1

сходится условно.

Теорема 2.11 (Признак Дирихле.) Ряд

X∞

anbn

n=1

сходится, если:

1. частичные суммы Pn ak ограничены в совокупности;

k=1

2. последовательность bn монотонно стремится к нулю.

Теорема 2.12 (Признак Абеля.) Ряд

X∞

anbn

n=1

сходится, если:

1. ряд P∞ an сходится;

n=1

2. последовательность bn монотонна и ограничена.

2.5 Свойства сходящихся рядов

Теорема 2.13 (Сочетательное свойство сходящихся рядов.) Пусть ряд

X∞

an

n=1

24

2.5 Свойства сходящихся рядов

сходится, тогда ряд составленный из сумм:

(a1 + · · · + an1 ) + (an1+1 + · · · + an2 ) + · · · + (ank−1+1 + · · · + ank ) + . . .

сходится и его сумма равна сумме исходного ряда.

Доказательство.

Так как последовательность частичных сумм нового ряда Snk является подпоследовательностью последовательности Sn, то она имеет тот же предел, что и Sn

lim Snk = lim Sn = S.

k→∞ n→∞

Что и означает сходимость нового ряда.

Теорема 2.14 (Переместительное свойство абсолютно сходящихся ря-

дов.) Пусть ряд

X∞

an

n=1

сходится абсолютно, тогда ряд полученный из него перестановкой членов, также сходится и его сумма равна сумме исходного ряда.

Доказательство.

Предположим что an > 0 n N, тогда m n : Sm′ < Sn,

где Sn и Sm′ частичные суммы соответственно исходного ряда и ряда полученного перестановкой членов. Переходя к пределу при n →

∞ получим: Sm′ < S, где S сумма исходного ряда. Можно считать

P∞

что ряд an является перестановкой ряда с частичными суммами

n=1

25

2 Числовые ряды.

Sm′ , тогда аналогично предыдущему получим Sn < S′, где S′ сумма переставленного ряда. Тогда переходя к пределу → ∞ в Sm′ < S

получим S′ 6 S, в первом случае и S 6 S′, во втором случае. Из этого следует S′ = S.

Пусть теперь ряд

X∞

an

n=1

произвольный абсолютно сходящийся. Представим частичную сумму ряда в виде Sn = Bk − Cm, где

и последовательности Bk, Cm монотонно не убывают, то существуют

го ряда вызовет перестановку в рядах соответствующим частичным суммам Bk и Cm, но не отразится на их суммах, по только сто доказанному. Следом и сумма ряда полученного перестановкой членов исходного ряда будет равна сумме исходного ряда. Что и требовалось доказать.

Теорема 2.15 (Теорема Римана о перестановке членов ряда.)

Пусть ряд

X∞

an

n=1

26

2.6 Положительные ряды. Практические задачи.

сходится условно, тогда L R {±∞} существует перестановка членов ряда такая, что преобразованный ряд имеет своей суммой

L.

2.6 Положительные ряды.

Практические задачи.

При исследовании рядов на сходимость полезны оценки, вытекающие из сравнения “скорости” роста последовательностей

{ln k}, {kα}, {ak} (α > 0, a > 1) :

для номеров k, больших некоторого (своего для выбранной пары последовательностей) ln k < kα и kα < ak.

В приводимых ниже примерах требуется исследовать данный положительный ряд на сходимость.

27

2.6 Положительные ряды. Практические задачи.

Пример 2.7

По признаку Даламбера ряд сходится.

Решение 3.

Используем оценку kα+2 < ak, верную для всех k, больших некоторого k0(α, a). Для этих k

29

поскольку, начиная с некоторого номера, ln 2 · ln k > 3.

Значит на основании теорем сравнения, исследуемый ряд схо-

дится.

Пример 2.9

30