Числовые и функциональные ряды. Тригонометрические ряды Фурье. Курс лекций и сборник задач. Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

А. И. Ефимов

Числовые и функциональные ряды. Тригонометрические ряды Фурье.

Курс лекций и сборник задач.

Учебное пособие

Ростов-на-Дону – Таганрог Издательство Южного федерального университета

2020

Оглавление

1.1Предел функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1Основные определения . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1Определение ряда и его сходимость . . . . . . . . . . . 10

2.2Свойства числовых рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3Положительные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4Ряды произвольных знаков. . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Свойства сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6Положительные ряды. Практические задачи. . . . . . 27

2.7Ряды с произвольными членами. Практические задачи. 57

3.1Определение сходимости функциональных последовательностей и рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.2Равномерная сходимость. . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

3.3Функциональные свойства суммы ряда. . . . . . . . . . 92

3

Оглавление

3.4Степенные ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.5Свойства степенных рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.6Функциональные последовательности. Практические задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.7Функциональные ряды. Практические задачи. . . . . . 133

3.8Степенные ряды. Практические задачи. . . . . . . . . 166

4.1Тригонометрические ряды Фурье. . . . . . . . . . . . . 192

4.2Почленное дифференцирование и интегрирование ря-

дов Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

4.3Тригонометрические ряды Фурье в случае произволь-

ного интервала. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

4.4Комплексная запись рядов Фурье. . . . . . . . . . . . . 201

4.5Разложение функций в ряд Фурье. Практические задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

5.1Приложение А. Соотношения эквивалентности. . . . . 210

5.2Приложение Б. Таблица производных. . . . . . . . . . 211

5.3Приложение В. Таблица интегралов. . . . . . . . . . . 212

4

1 Основные сведения из

теории пределов.

1.1 Предел функции.

1.1.1 Основные определения

Определение 1.1 (см. [2]) Окрестностью точки a на числовой прямой будем называть любой интервал, центром которого является точка a.

Будем обозначать окрестность точки a: Ua.

Определение 1.2 Пусть задано два множества числовой прямой

X, Y. Будем говорить, что задана функция f, действующая из множества X в множество Y, если каждой точке x множества X, ставится в соответствие точка y множества Y. И будем обозначать f : X −→ Y.

Замечание 1.1 Согласно определению функция однозначно определяется множеством X, являющимся областью определения функ-

5

1 Основные сведения из теории пределов.

ции f, множеством Y, являющимся областью допустимых значений функции f, и законом, по которому каждой точки x из X

ставится в соответствие точка y из Y.

Определение 1.3 Пусть задана функция f, действующая из множества натуральных чисел в множество действительных чисел f : N −→ R, тогда f(n)− будем называть числовой последовательностью и обозначать xn.

1.1.2 Предел последовательности

Определение 1.4 (см. [2]) Будем говорить, что последовательность xn имеет предел при n −→ ∞, равный a (стремится к a), если для любой окрестности точки a Ua ( Ua) существует номер m ( m) такой, что для всех n > m ( n > m) выполняется xn Ua. И будем обозначать:

Замечание 1.2 Пусть длина интервала Ua равна 2ε, тогда условие x Ua равносильно неравенству |x − a| < ε (окрестность при этом удобно обозначать Ua(ε)). Тогда определение предела последовательности можно сформулировать следующим образом: Будем говорить, что последовательность xn имеет предел при n −→ ∞,

равный a, если

ε > 0 m > 0 : n > m |xn − a| < ε.

6

1.1 Предел функции.

Свойства пределов числовых последовательностей.

Свойство 1.1 Пусть все элементы числовой последовательности

xn равны a, тогда lim xn = a.

n−→∞

Свойство 1.2 Пусть lim xn = a и lim yn = b, тогда lim(xn + yn) = a + b.

Свойство 1.3 Пусть lim xn = a и lim yn = b, тогда lim(xn · yn) = a · b.

Свойство 1.4 Пусть lim xn = a и lim yn = b 6= 0, тогда

lim xn = a. yn b

Определение 1.5 Последовательность {xn}∞n=1 будем называть бес-

конечно малой, если lim xn = 0.

n→∞

Определение 1.6 Последовательность {xn}∞n=1 будем называть бесконечно большой, если

C > 0 m : n > m |xn| > C.

При этом будем говорить, что последовательность {xn}∞n=1 расходится к бесконечности и будем писать

lim xn = ∞

n→∞

Определение 1.7 Если для последовательности {xn}∞n=1 выполняется следующее C m : n > m xn > C, то будем писать

lim xn = +∞

n→∞

7

1 Основные сведения из теории пределов.

Определение 1.8 Если для последовательности {xn}∞n=1 выполняется следующее C m : n > m xn < C, то будем писать

lim xn = −∞

n→∞

Определение 1.9 Последовательность {xn}∞n=1 будем называть ограниченной, если M1, M2 : n M1 < xn < M2. При этом число M1

будем называть нижней границей последовательности, а число M2

верхней границей последовательности.

Замечание 1.3 Если положить M = max {|M1| , |M2|} , то получим равносильную определению формулировку

M > 0 n |xn| < M.

Определение 1.10 Последовательность {xn}∞n=1 будем называть ограниченной сверху, если M : n xn < M. Соответственно M

является верхней границей последовательности.

Определение 1.11 Последовательность {xn}∞n=1 будем называть ограниченной снизу, если M : n M < xn. Соответственно M

является нижней границей последовательности.

Свойство 1.5 Пусть lim xn = a и a < p (a > q), тогда

n→∞

m : n > m xn < p (xn > q).

Свойство 1.6 Пусть lim xn = a и xn 6 p (xn > q), тогда

n→∞

a 6 p (a > q).

8

1.1 Предел функции.

Лемма 1.1 (Первая лемма о предельном переходе в неравенстве.)

Пусть lim xn = a lim yn = b и m : n > m xn 6 yn, тогда a 6 b.

Лемма 1.2 (Вторая лемма о предельном переходе в неравенстве.)

Определение 1.12 Последовательность {xn}∞n=1 будем называть монотонно возрастающей (убывающей), если

n xn < xn+1 ( n xn > xn+1).

Определение 1.13 Последовательность {xn}∞n=1 будем называть монотонно неубывающей (невозрастающей), если

n xn 6 xn+1 ( n xn > xn+1).

Лемма 1.3 (Лемма о монотонной последовательности.) Монотонно неубывающая ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел.

9

2 Числовые ряды.

2.1 Определение ряда и его

сходимость

Определение 2.1 (см. [1, 3]) Пусть задана последовательность действительных чисел {an}∞n=1 сумма следующего вида

a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · · ,

называется числовым рядом (или просто рядом) и обозначается

X∞

k=1

называется n-й частичной суммой ряда 2.1.

10