- •СИЛЛАБУС
- •1. Информация о дисциплине
- •2. Краткое описание дисциплины.
- •3. Пререквизиты дисциплины
- •4. Постреквизиты дисциплины
- •7. Критерии оценки
- •8. Требования преподавателя.
- •Вопросы
- •Абсолютная и относительная погрешности
- •Значащая цифра. Число верных знаков
- •Тема. Интерполирование функций.
- •1. Постановка задачи.
- •2. Интерполяционная формула Лагранжа.
- •3. Первая и вторая интерполяционные формулы Ньютона.
- •Вопросы
- •Тема. Методы решения СЛАУ.
- •1. Нормы векторов и матриц.
- •4.1. Случай нормальной системы.
- •5. Итерационные методы вариационного типа.
- •5.1. Метод наискорейшего спуска.
- •5.2. Метод минимальных невязок.
- •7. Метод прогонки.
- •Вопросы
- •Постановка задачи.
- •1. Развертывание вековых определителей.
- •2. Метод А. М. Данилевского.
- •3. Метод А. Н. Крылова.
- •Вопросы
- •Тема. Методы решения нелинейных уравнений.
- •1. Метод хорд.
- •2. Метод Ньютона (метод касательных).
- •3. Метод итерации.
- •4. Метод итераций решения систем нелинейных уравнений.
- •Вопросы
- •Тема. Численное интегрирование.
- •1. Постановка задачи.
- •2. Формула средних прямоугольников.
- •3. Формула трапеций.
- •4. Формула Симпсона.
- •5. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •Вопросы
- •1. Постановки задач для ОДУ.
- •2. Задача Коши.
- •3. Метод Эйлера. Усовершенствованный метод ломаных.
- •7. Многошаговые методы.
- •7.1. Метод Адамса.
- •7.2. Метод Милна.
- •Вопросы
- •а) Разностные схемы для уравнения колебания.
- •б) Трехслойные схемы для уравнения теплопроводности.
- •Вопросы
- •1. Исходная задача.
- •3. Разностные схемы.
- •Вопросы
- •2. Разностная схема «крест».
- •3. Погрешность аппроксимации.
- •Вопросы
- •Задания для СРСП
- •4. Тематика и краткое описание лабораторных и студийных работ
- •Методические рекомендации
- •Тема. Интерполяционная формул Ньютона
- •Методические рекомендации
- •Тема. Методы решения СЛАУ. Метод итерации.
- •Методические рекомендации
- •Тема. Метод Зейделя.
- •Методические рекомендации
- •Методические рекомендации
- •Тема. Методы решения нелинейных уравнений.
- •Методические рекомендации
- •Тема. Численное интегрирование.
- •Методические рекомендации
- •Методические рекомендации
- •ГЛОССАРИЙ
3. Метод А. Н. Крылова. Приведем метод развертывания векового определителя, принадлежащий А. Н. Крылову и основанный на существенно иной идее, чем метод А. М. Данилевского.
Пусть
D( λ ) ≡ det( λE − |
A ) = |
|
|
(1) |
||
= λn + p λn−1 |
+ p |
λn−2 + p |
λn−3 |
+K+ p |
||
n |
||||||
1 |
2 |
3 |
|
|
||
- характеристический полином (с точностью до знака) матрицы A . Согласно тождеству Гамильтона-Кели, матрица A обращает в тождество свой характеристический полином; поэтому
An + p1 An−1 + p2 An−2 + p3 An−3 +K+ pn E = 0. |
(2) |
Возьмем теперь произвольный ненулевой вектор
y1( 0 )
y( 0 ) = Myn( 0 )
⎟.
Умножая обе части равенства (2) справа на y( 0 ) , получим:
An y( 0 ) + p1 An−1 y( 0 ) + p2 An−2 y( 0 ) + p3 An−3 y( 0 ) +K+ pn y( 0 ) = 0. |
(3) |
|
Положим: |
( k =1,2,K,n ) ; |
(4) |
Ak y( 0 ) = y( k ) |
||
Тогда равенство (3) приобретает вид |
|
|
y( n ) + p1 y( n−1 ) + p2 y( n−2 ) |
+ p3 y( n−3 ) +K+ pn y( 0 ) = 0 |
(5) |
или |
|
|
|
( n−1 ) |
y1 |
|
y2( n−1 ) |
|
|
M |
|
|
|
( n−1 ) |
yn
y( n−2 ) |
|
y( 0 ) |
|
p |
|||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
y( n−2 ) |
y( |
0 ) |
p |
2 |
|||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
M |
M |
M |
|
|
M |
||
( n−2 ) |
|
( |
0 ) |
|
|
|
|
yn |
yn |
|
|
pn |
|||
=
y1( n )
y( n )
− 2
M
yn( n )
.
Следовательно, векторное равенство (5) эквивалентно системе уравнений
p1 y j ( n−1 ) + p2 y j ( n−2 ) + p3 y j ( n−3 ) +K+ pn y j ( 0 ) = −y j ( n ) |
(6) |
|
( j =1,2,K,n ) , |
|
|
из которой, вообще говоря, можно определить неизвестные |
||
коэффициенты p1 , p2 ,K, pn . |
|
|
Так как на основании формулы (4) |
|
|
y( k ) = Ay( k −1 ) |
|
|
( k =1,2,K,n ) , то координаты y1( k ) , y2 |
( k ) ,K, yn( k ) вектора y( k ) |
последова- |
тельно вычисляются по формулам |
|
|
КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.
27
yi(1 )
yi( 2 )
yi( n )
n |
|
y(j |
0 ) , |
|
|
= ∑aij |
|
|
|||
j=1 |
|
|
|
|
|
n |
|
y(1 ) , |
|
|
|
= ∑a |
|
( i =1,2,K,n ) ; |
(7) |
||
j=1 |
ij |
j |
|||
= ∑n aij y(j n−1 ) , j=1
Таким образом, определение коэффициентов p1 , p2 ,K, pn характеристического полинома (1) методом А. Н. Крылова сводится к решению линейной системы уравнений (6), коэффициенты которой вычисляются по формулам (7), причем координаты начального вектора
y( 0 ) |
||
|
1 |
|
y( 0 ) = |
M |
|
|
( 0 ) |
|
yn |
|
|
произвольны. Если система (6) имеет единственное решение, то ее корни p1 , p2 ,K, pn являются коэффициентами характеристического полинома (1). Это решение может быть найдено, например методом Гаусса. Если система (6) не имеет единственного решения, то задача усложняется. В этом случае рекомендуется изменить начальный вектор.
Метод А. Н. Крылова дает возможность просто найти соответствующие собственные векторы.
Для простоты ограничимся случаем, когда характеристический полином (1) имеет различные корни λ1 ,λ2 ,K,λn . Предположим, что коэффициенты полинома (1) и его корни определены. Требуется
найти собственные векторы x(1 ) ,x( 2 ) ,K,x( n ) , |
отвечающие, соответственно, |
||||||||||||
собственным значениям λ1 ,λ2 ,K,λn . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть |
y( 0 ) , y( 1 ) ,K, y( n ) - векторы, использованные в методе А. Н. |
||||||||||||
Крылова для нахождения коэффициентов p1 , p2 ,K, pn . |
Разлагая вектор |
||||||||||||
y( 0 ) по собственным векторам x(1 ) ,x( 2 ) ,K,x( n ) , будем иметь: |
|||||||||||||
где ci |
y( 0 ) = с1 x(1 ) |
+ c2 x( 2 ) + c3 x( 3 ) +K+ cn x( n ) , |
|
(8) |
|||||||||
( i =1,2,K,n ) - некоторые числовые коэффициенты. Отсюда, |
|||||||||||||
учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax( i ) = λi x( i ) , |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
A2 x( i ) = λi 2 x( i ) , ( i =1,2,K,n ) , |
|
|
|
||||||||
|
|
...................... |
|
|
|
|
|
|
|
||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y( 1 ) = с λ x( 1 ) + c |
λ |
x( 2 ) + c |
λ |
x( 3 ) +K+ c |
λ |
x( n ) , |
|
|
||||
|
1 1 |
2 |
2 |
|
|
3 |
3 |
|
n |
n |
|
|
(9) |
|
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKK |
|
|||||||||||
|
y( n−1 ) = с λ n−1 x(1 ) |
+ c |
2 |
λ n−1 x( 2 ) |
+ c |
λ n−1 x( 3 ) |
+K+ c |
n |
λ n−1 x( n ) . |
||||
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
3 |
3 |
|
|
n |
||
КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.
28