где
|
|
n |
|
∂ϕi |
|
|
|
n |
∂ϕi |
|
|
max ||ϕ' ( x )||m = max ∑ |
|
|
и max ||ϕ' ( x )||m = max ∑ |
. |
|||||||
∂x j |
|||||||||||
x G |
i |
j =1 |
|
|
x G |
j |
i=1 |
∂x j |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теорема. Пусть функция ϕ( x ) определена и дифференцируема в |
|||||||||||
области G , причем в G выполнено неравенство |
|
|
(7) |
||||||||
|
|
||ϕ ( x )||I ≤ q <1, |
|
|
|||||||
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
где q - некоторая постоянная.
Если последовательные приближения (2) не выходят из области G , то процесс итераций (2) сходится и предельный вектор
x* = lim x( p )
n→∞
является в области G единственным решением системы (1). Следствие. Процесс итераций (2) сходится, если
∑ ∂ϕi |
≤ qi <1 ( j =1,K,n ) |
(8) |
n |
|
|
j =1 ∂x j
при x G .
Замечание 1. Условия (7) и (8) эквивалентны.
Замечание 2. Аналогичную теорему и следствие можно сформулировать и в норме || ||II .
Вопросы
1.Методы решение нелинейных уравнений.
2.Уточнение корней методом деления отрезка пополам
3.Метод простой итерации, обоснование сходимости итерационного процесса, оценка точности.
Тема. Численное интегрирование.
1. Постановка задачи. Будем рассматривать способы приближенного вычисления интегралов
b |
|
(1) |
Ι = ∫ f ( x )dx , |
||
a |
|
|
основанные на замене интеграла конечной суммой |
(2) |
|
Ιn = ∑ck f ( xk ) , |
||
n |
|
|
k =0 |
|
|
где ck - числовые коэффициенты, точки xk - точки отрезка [ a,b ] . |
||
Определение 1. Приближенное равенство |
|
|
b |
n |
|
∫ f ( x )dx |
≈ ∑ck f ( xk ) |
|
a |
k =0 |
|
КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.
35
называется квадратурной формулой, а сумма вида (2) – квадратурной суммой.
Точки xk называются узлами квадратурной формулы, числа ck - коэффициентами квадратурной формулы.
Определение 2. Разность
|
|
b |
|
n |
|
|
|
Rn = ∫ f ( x )dx − ∑ck f ( xk ) |
|
||
|
|
a |
|
k =0 |
|
называется погрешностью квадратурной формулы. |
|
||||
Погрешность Rn |
зависит от расположения узлов xk и от выбора |
||||
коэффициентов ck . |
|
|
|
|
|
Введем на [ a,b ] |
равномерную сетку с шагом h , т.е. множество |
||||
точек xi = a +ih , i = 0,1,..., N , |
hN = b −a , |
и представим интеграл (1) в виде |
|||
суммы интегралов по частичным отрезкам: |
(3) |
||||
|
|
b |
N |
xi |
|
|
|
∫ f ( x )dx = ∑ |
∫ f ( x )dx . |
||
|
|
a |
i=1 xi −1 |
|
|
Для построения формулы численного интегрирования на всем |
|||||
отрезке [ a,b ] достаточно построить |
квадратурную формулу |
для |
|||
интеграла |
|
|
xi |
|
(4) |
|
|
|
|
||
|
|
|
∫ f ( x )dx |
||
|
|
|
xi−1 |
|
|
на частичном отрезке [ xi−1 , xi ] |
и воспользоваться свойством (3). |
||||
2. Формула средних прямоугольников. Заменим интеграл (4) |
|||||
пункта 1 выражением |
f ( xi−1 2 )h , |
где |
xi−1 2 = xi −0,5h . Геометрически |
это |
|
означает, что площадь криволинейной трапеции заменяется площадью прямоугольника.
Тогда получим формулу
xi |
f ( x )dx ≈ f ( xi−1 2 |
)h , |
(1) |
∫ |
|||
xi −1 |
|
|
|
которая называется формулой средних прямоугольников на частичном отрезке [ xi−1 , xi ] .
Погрешность метода (1) определяется величиной
x
Ri = ∫i f ( x )dx − f ( xi−1
2 )h .
xi −1
Для погрешности формулы прямоугольников на частичном отрезке справедлива оценка
|
| Ri |≤ |
h3 |
M 2,i , |
|
|
||
где M 2 |
24 |
|
|
,i = max | f " ( x )| . То есть формула имеет погрешность O( h3 ) при |
|||
|
x [ xi−1 ,xi ] |
|
|
h → ∞ .
КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.
36
Суммируя равенство (1) по i от 1 до N, получим составную формулу средних прямоугольников
b |
N |
)h . |
(2) |
∫ f ( x )dx ≈ ∑ f ( xi−1 2 |
|||
a |
i=1 |
|
|
Погрешность формулы (2)
b |
N |
|
RN = ∫ f ( x )dx − ∑ f ( xi−1 2 |
)h |
|
a |
i=1 |
|
равна сумме погрешностей по всем частичным отрезкам RN = ∑ Ri . |
||||||
|
|
|
|
|
|
N |
Отсюда, обозначая M 2 |
|
|
|
|
|
i=1 |
= max | f " ( x )| , получим |
||||||
|
x [ a ,b ] |
|
|
|
|
|
|
| RN |≤ |
Nh3 |
M 2 |
= |
h 2 ( b −a ) |
M 2 , |
|
|
|
||||
|
24 |
|
24 |
|
||
Т.е. погрешность формулы прямоугольников на всем отрезке есть величина O( h 2 ) . В этом случае говорят, что квадратурная формула имеет второй порядок точности.
3. Формула трапеций. Введем на [ a,b ] равномерную сетку с шагом h , т.е. множество точек xi = a +ih , i = 0,1,..., N , hN = b −a , и представим интеграл b∫ f ( x )dx в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:
a |
|
|
b |
N xi |
f ( x )dx . |
∫ f ( x )dx = ∑ ∫ |
||
a |
i=1 xi −1 |
|
На частичном отрезке формула трапеций имеет вид
∫ f ( x )dx ≈ f ( xi−1 ) + f ( xi ) h |
||
xi |
|
|
xi −1 |
2 |
|
и получается путем замены |
подынтегральной функции f ( x ) |
|
интерполяционным многочленом Лагранжа первой степени, построенным по узлам xi−1 , xi , т.е. функцией
L1,i ( x ) = 1h (( x − xi−1 ) f ( xi ) −( x − xi ) f ( xi−1 )) .
Это соответствует замене кривой y = f ( x ) на секущую. А площадь криволинейной трапеции заменяется площадью прямоугольной трапеции с основаниями f ( xi−1 ) , f ( xi ) и высотой h .
Формула трапеций имеет, так же как и формула прямоугольников, второй порядок точности, RN = O( h 2 ) , но ее погрешность оценивается величиной в два раза большей.
4. Формула Симпсона. При аппроксимации интеграла
x∫i f ( x )dx
xi−1
на частичном отрезке заменим функцию f ( x ) параболой, проходящей
через точки ( xi−1 , f ( xi−1 )) , ( xi−1 2 , f ( xi−1 2 )) , ( xi , f ( xi )) , т.е. представим прибли- |
женно f ( x ) в виде |
КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.
37
f ( x ) − L2,i ( x ) , x [ xi−1 , xi ] ,
где L2,i ( x ) - интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени,
L2,i ( x ) = h22 {( x − xi−1 2 )( x − xi ) fi−1 −
−2( x − xi−1 )( x − xi ) fi−1 2 +( x − xi−1 )( x − xi−1 2 ) fi }.
Проводя интегрирование, получим
|
|
|
xi |
|
|
|
|
h |
( fi−1 + 4 fi−1 2 + fi ) , h = xi − xi−1 . |
||||
|
|
|
∫ L2,i ( x )dx = |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
xi −1 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|||
Таким образом, приходим к приближенному равенству |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x∫i |
f ( x )dx ≈ |
h |
( fi−1 + 4 fi−1 2 + fi ) , |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
xi −1 |
6 |
|
||||||
которое называется формулой Симпсона или формулой парабол. |
|||||||||||||
На всем отрезке [ a,b ] |
формула Симпсона имеет вид |
||||||||||||
b |
|
|
N |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ f ( x )dx ≈ ∑ |
|
( fi−1 + 4 fi−1 2 + fi ) = |
|||||||||||
6 |
|||||||||||||
a |
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
h |
[ f0 + f N + 2( |
f1 + f 2 +K+ f N −1 ) + 4( f1 2 + f3 2 +K+ f N −1 2 )]. |
||||||||||
|
|||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Чтобы не использовать дробных индексов, можно обозначить |
|||||||||||||
xi = a +0,5hi , fi = f ( xi ) , |
i = 0,1,K, N , hN = b −a и записать формулу Симпсона в |
||||||||||||
виде |
|
|
|
|
|
b −a |
|
|
|
|
|||
|
|
|
b |
|
|
[ f 0 + f 2N + 2( f 2 + f 4 +K+ f 2 N −2 ) + |
|||||||
|
|
|
∫ f ( x )dx ≈ |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
6N |
||||||
+ 4( f1 + f3 +K+ f 2N −1 )].
Погрешность составной формулы Симпсона оценивается так:
| RN |≤ |
h4 ( b −a ) |
M 4 , hN = b −a , M 4 = |
sup | f IV ( x )|. |
|
|||
2880 |
|
x [ a ,b ] |
|
Отсюда видно, что формула Симпсона существенно точнее, чем формулы прямоугольников и трапеций. На частичном отрезке она имеет точность O( h5 ) , а на всем отрезке - O( h 4 ) .
5. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
Если не разбивать отрезок [ a,b ] на частичные отрезки, а рассматривать квадратурные формулы путем замены f ( x ) интерполяционным многочленом сразу на всем [ a,b ] , то полученные таким образом формулы называются квадратурными формулами интерполяционного типа.
Определение 1. Формулами Ньютона-Котеса называются квад-
ратурные формулы интерполяционного типа, построенные на равномерной сетке, когда xk − xk −1 = h , k =1,K,n .
КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.
38