Пусть
|
ϕ |
( λ ) = λn−1 |
+ q |
λn−2 |
+K+ q |
n |
−1,i |
, |
|
|
|||||
|
i |
|
|
|
|
1i |
|
|
|
|
|
|
|
||
( i =1,2,K,n ) - произвольная |
|
система |
|
|
полиномов. |
Составляя |
|||||||||
линейную комбинацию векторов |
y( n−1 ) , y( n−2 ) ,K, y( 0 ) |
с коэффициентами |
|||||||||||||
1,q1i ,K,qn−1,i , в силу соотношений (8), (9) находим: |
|
|
|
||||||||||||
|
y( n−1 ) + q |
y( n−2 ) +K+ q |
n |
−1,i |
y( 0 ) = |
|
|
||||||||
|
|
|
|
1i |
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
||
|
= с1ϕi ( λ1 )x(1 ) + c2ϕi ( λ2 )x( 2 ) |
+ |
|
|
|||||||||||
|
+ c ϕ |
( λ )x( 3 ) +K+ c ϕ |
( λ |
n |
)x( n ) . |
|
|
||||||||
|
|
3 i |
3 |
|
|
|
n i |
|
|
|
|
|
|||
Если положить ϕi ( λ ) = |
D( λ ) |
|
( i =1,2,K,n ) , то, очевидно, что |
|
|||||||||||
λ − λ |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
ϕi ( λj ) = 0 при i ≠ j |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ϕi ( λi ) = D' ( λi ) ≠ 0. |
|
|
|
|
|
||||||
Формула (10) при этом принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
сiϕi ( λi )x( i ) = y( n−1 ) + q1i y( n−2 ) +K+ qn−1,i y( 0 ) ( i =1,2,K,n ) . |
|
||||||||||||||
Таким образом, если ci ≠ 0 , то полученная линейная комбинация |
|||||||||||||||
векторов y( n−1 ) , y( n−2 ) ,K, y( 0 ) дает собственный вектор |
x( i ) с точностью до |
||||||||||||||
числового множителя. Коэффициенты q j ,i |
|
( j =1,2,K,n −1) |
могут быть |
||||||||||||
легко определены по схеме Горнера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
q0i =1, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q ji = λi q j−1,i + p j . |
|
|
|
|
|
|
|||||
Вопросы
1.Численные методы решения задач на собственные значения.
2.Метод Данилиевского.
3.Метод Крылова
Тема. Методы решения нелинейных уравнений.
Отделение корней. Метод деления отрезка пополам. Пусть дано уравнение
f ( x ) = 0 , |
(1) |
|
где функция f ( x ) определена |
и непрерывна |
в некотором |
конечном или бесконечном интервале a < x < b . |
|
|
Определение 1. Всякое значение |
x = ξ , такое что |
f (ξ ) = 0 назы- |
вается корнем уравнения (1) или нулем функции f ( x ) . |
|
|
КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.
29
Будем предполагать, что уравнение (1) имеет лишь изолированные корни, т.е. для каждого корня уравнения (1) существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.
Определение 2. Два уравнения называются равносильными если они имеют одни и те же корни.
Определение 3. Уравнение называется алгебраическим, если входящая в него функция f ( x ) является алгебраической (рациональной или иррациональной).
Определение 4. Уравнение (1) называется трансцендентным, если функция f ( x ) не является алгебраической.
В некоторых случаях решение трансцендентных уравнений сводится к алгебраическим уравнениям, вообще же трансцендентные уравнения могут быть решены только приближенно. В большинстве же случаев приходится решать уравнения вида (1) численными методами. Хотя иногда, даже при наличии аналитического решения, имеющего сложный вид, бывает проще провести численное решение по известному алгоритму, чем программировать громоздкую аналитическую формулу.
Численное решение уравнения (1) состоит из двух этапов:
1)отделение корней, т.е. установление тесных промежутков [α,β ] , в которых содержится только один корень уравнения (1).
2)уточнение приближенных корней, т.е. доведение их до заданной степени точности.
Эффективным способом отделения корней является метод биекции (метод деления отрезка пополам).
1. Метод хорд. Укажем более быстрый способ, чем метод биекции, нахождения корня ξ уравнения f ( x ) = 0 , лежащего на задан-
ном отрезке [ a,b ] таком, что f ( a ) f ( b ) > 0 , f ( x ) > 0 . Тогда кривая y = f ( x ) |
|||
|
|
|
′′ |
будет выпукла вниз. Возможны два случая: |
|||
а) |
f ( a ) > 0 , тогда конец a неподвижен. Метод хорд в этом случае |
||
заключается в построении последовательных приближений |
|||
|
|
f ( xk ) |
|
|
xk +1 = xk − |
|
( xk − a ) , x0 = b ( k = 0,1,K). |
|
f ( xk ) − f ( a ) |
||
б) |
f ( b ) > 0 , тогда конец b неподвижен. Метод хорд в этом случае |
||
заключается в построении последовательных приближений
xk +1 = xk − |
f ( xk ) |
( b − xk ) , x0 |
= a ( k = 0,1,K). |
f ( b ) − f ( xk ) |
КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.
30
Замечание. Случай |
f |
( x ) < 0 сводится к рассмотренному выше, |
|
|
′′ |
если записать уравнение f ( x ) = 0 в виде − f ( x ) = 0 .
Если задана погрешность ε , с которой требуется найти корень ξ , то, в случае выполнения неравенства на n -ом шаге, вычисления останавливают и полагают ξ ≈ xn .
2. Метод Ньютона (метод касательных). Пусть корень ξ уравнения
f ( x ) = 0
отделен на отрезке [ a,b ] , причем f ′( x ) и f ′′( x ) непрерывны и сохраняют определенные знаки при a ≤ x ≤ b . И пусть начальное приближение к
корню x0 к корню ξ известно. |
|
|
|
|
Вообще, если итерация xk |
известна, то следующее приближение |
|||
xk +1 в методе Ньютона определяется по правилу |
|
|||
xk+1 |
= xk − |
f ( xk ) |
( k = 0,1,K) . |
(1) |
′ |
||||
|
|
f ( xk ) |
|
|
Замечание За начальное приближение x0 выбирается тот конец интервала ( a,b ) , которому отвечает ордината того же знака, что и знак
f ( x ) . То есть для точки начального приближения должно выпол- |
|||||||||
′′ |
|
|
|
( x0 ) > 0 . |
|
|
|
|
|
няться неравенство f ( x0 ) f |
|
|
|
|
|
||||
Если производная |
|
′′ |
мало изменяется на отрезке |
[ a,b ] , то в |
|||||
f |
( x ) |
||||||||
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
формуле (1) можно положить: |
|
|
|
|
|||||
Отсюда для |
корня |
|
|
f ( xn ) ≈ f ( x0 ) . |
|
||||
|
ξ |
уравнения f ( x ) = 0 получаем последова- |
|||||||
тельные приближения по модифицированному методу Ньютона |
|||||||||
|
|
|
|
|
xk +1 = xk − |
f ( xk |
) |
( k = 0,1,K) . |
(1) |
|
|
|
|
|
′ |
) |
|||
Если f ( x ) , |
f ( x ) |
сохраняют |
f ( x0 |
|
[ a,b ] , то |
||||
постоянный знак на |
|||||||||
′ |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
последовательные приближения (1) дают сходящийся процесс. Эффективным методом уточнения корней является метод
итерации. |
|
3. Метод итерации. Пусть задана функция f ( x ) C[ a,b ] |
действи- |
тельного переменного. Требуется найти корни уравнения |
|
f ( x ) = 0 . |
(1) |
Метод простой итерации состоит в том, что уравнение (1) |
|
заменяется эквивалентным уравнением |
(2) |
x =ϕ( x ) |
|
и итерации образуются по правилу
КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.
31
xn =ϕ( xn−1 ) |
( n =1,2,K) , |
(3) |
Причем начальное приближение x0 задано. |
|
|
Если эта последовательность |
сходящаяся, т.е. |
существует |
предел lim xn = ξ , то, переходя к пределу в равенстве (3) и предполагая |
|
n→∞ |
|
функцию ϕ( x ) непрерывной, найдем: |
|
lim xn =ϕ lim xn−1 |
|
n→∞ |
n→∞ |
или
ξ =ϕ(ξ ) .
Таким образом, предел ξ является корнем уравнения (2) и может быть вычислен по формуле (3) с любой степенью точности.
Для практического применения метода итерации нужно выяснить достаточные условия сходимости итерационного процесса.
Теорема. Пусть функция ϕ( x ) определена и дифференцируема на отрезке [ a,b ] , причем все ее значения ϕ( x ) [ a,b ] .
Тогда, если существует правильная дробь q такая, что
|ϕ ( x )|≤ q <1 |
(4) |
′ |
|
при a < x < b , то: 1) процесс итерации (3) сходится независимо от |
|
вы начального значения x0 [ a,b ] ; 20 предельное значение |
lim xn =ξ |
n→∞
является единственным корнем уравнения (2) на отрезке [ a,b ] . Замечание 1. Теорема верна, если ϕ( x ) C1 ( −∞,+∞) .
Замечание 2. В условиях теоремы справедлива следующая оценка приближения
|ξ − xn |≤ |
q n |
| x1 − x0 | . |
(5) |
|
1−q |
||||
|
|
|
Из (5) следует, что сходимость процесса итерации будет тем быстрее, чем меньше число q .
Замечание 3. Заданное уравнение (1) можно представить в виде (2), выбирая различными способами функцию ϕ( x ) . Для метода итерации выгодно то представление (2), при котором выполнено неравенство (4). Если положить в уравнении (2)
ϕ( x ) = x − f ( x ) , M 1
где M 1 = max | f ′( x )| , то получим условие сходимости (4) метода
x [ a ,b ]
итерации.
КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.
32