приближенного числа. Если положительное приближенное число а имеет n верных десятичных знаков, то относительная погрешность d не превосходит (1/10)n-1 , деленную на первую значащую цифру данного числа.

Вопросы

1.Источникипогрешностей результат численного решениязадач.

2.Классификация погрешностей результат численного решения

задач.

3.Абсолютная и относительная погрешности

Тема. Интерполирование функций.

1. Постановка задачи. Простейшая задача интерполирования заключается в следующем. На отрезке [ a,b ] заданы n +1 точки x0 , x1 ,K, xn , которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f ( x ) в этих точках

Требуется построить функцию F( x ) (интерполирующая функция), принадлежащую известному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f ( x ) , т.е. такую, что

В такой общей постановке задача может иметь бесчисленное множество решений или совсем не иметь решений. Однако эта задача становится однозначной, если вместо произвольной функции искать полином Pn ( x ) степени не выше n , удовлетворяющий условиям (2), т.е. такой, что

Pn ( x0 ) = y0 , Pn ( x1 ) = y1 ,…, Pn ( xn ) = yn .

Полученную интерполяционную формулу y = F( x ) обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции для значений аргумента x , отличных от узлов интерполирования. Такая операция называется интерполированием функции f ( x ) . При этом различают интерполирование в узком смысле,

когда x [ x0 , xn ] , т.е. значение x является промежуточным между x0 и xn , и экстраполирование, когда x [ x0 , xn ] . В дальнейшем под термином интерполирование будем понимать как первую, так и вторую операцию.

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

11

2. Интерполяционная формула Лагранжа. Для произвольно заданных узлов интерполирования пользуются так называемой

интерполяционной формулой Лагранжа.

Пусть на отрезке [ a,b ] заданы n +1 различных значений x0 , x1 ,K, xn и известны для функции y = f ( x ) соответствующие значения:

f ( x0 ) = y0 , f ( x1 ) = y1 ,…, f ( xn ) = yn .

Требуется построить полином Ln ( x ) степени не выше n ,

шагов, необходимых для достижения точки x , исходя из точки x0 . Формулу (1) выгодно использовать для интерполирования

функции y = f ( x ) в окрестности начального значения x0 , где q мало по абсолютной величине.

Далее, первая интерполяционная формула Ньютона неудобна для интерполирования вблизи конца таблицы. В этом случае применяется вторая интерполяционная формула Ньютона:

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

12