Тема. Метод Зейделя.

Методические рекомендации

Методические рекомендации

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Численные методы. Учебно-методический комплекс.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2218 19 20 21 22 > Следующая >>>

№ 13	№ 14
1,16x1-0,28x2+2,16x3=1,60	2,16x1-2,83x2+1,15x3=2,32
0,65x1+0,76x2-1,18x3=0,28	1,71x1+2,17x2-0,83x3=1,25
0,53x1+1,07x2-0,63x3=1,27	0,35x1-0,72x2+1,03x3=0,82

Методом итераций решить систему линейных уравнений с точностью до 0,001.

x1x2x3x4

=0,32x1 −0,05x2 + 0,11x3 − 0,08x4 + 2,15;

=0,11x1 + 0,16x2 − 0,28x3 − 0,06x4 − 0,83;

=0,08x1 − 0,15x2 + 0,12x4 +1,16;

=−0,21x1 + 0,13x2 − 0,27x3 + 0,44.

Здесь C 1 = max{0,56;0,61;0,35;0,61}<1, значит итерационный процесс

сходится.

Вычисления располагаем в таблице:

k	x1	x2	x3	x4
0	2,15	-0,83	1,16	0,44
1	2,9719	-1,0775	1,5093	-0,4326
2	2,3555	-1,0721	1,5075	-0,7317
3	3,5017	-1,0106	1,5015	-0,8111
4	3,5511	-0,9277	1,4944	-0,8321
5	3,5637	-0,9563	1,4834	-0,8298
6	3,5678	-0,9566	1,4890	-0,8332
7	3,5700	-0,9575	1,4889	-0,8356
8	3,5709	-0,9573	1,4890	-0,8362
9	3,5712	-0,9571	1,4889	-0,8364
10	3,5713	-0,9570	1,4890	-0,8364

Сходимость в тысячных долях имеет место уже на 10-м шаге.

Ответ: х1 ≈ 3,571; х2 ≈ −0,957; х3 ≈1,489; х4 ≈ −0,836.

									Тема. Метод Зейделя.
Задание: Выполнить задание
№1										№2
3x		+ 2x			2	+ x		3	= 6	2x		+ x		2	= 3
	1				2			3			1			2
x1		+ 3x2 + x3 = 5								x1		+ 3x2 − x3 = 2
x		+ x	2	+ 4x			3	= 6		x		− x	2	+ 3x		3	= 6
1			2				3			1			2			3

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

x1 , x2 ,K, xi−1

№3

4x1 + x2 − x3 = 5x1 − 3x2 + x3 = −42x1 + x2 + 3x3 = 7

№5

3x1 + x2 − x3 = 3x1 + 2x2 − x3 = 3− 2x1 + x2 + 4x3 = 8

№7

№9

2x − x			= 2
	1	3
− x1 + 2x2 + x3 = 4
	x2 + 3x3 = 8
	x2 + 3x3 = 8

№11

3x1 + x2 + x3 = 5x1 + 2x2 = 3x1 + x2 + 2x3 = 4

№13

− 3x1 − x2 + 2x3 = −2x1 + 2x2 − x3 = 2x1 − x2 + 6x3 = 6

№4

2x1 − x3 = 3x1 + 2x2 + x3 = 5

x1 + 2x2 − 3x3 =1

№6

3x1 − x2 − x3 = 3x1 + 2x2 = 4x1 + 3x3 = 8

№8

5x1 + 2x2 − 3x3 = 6x1 + 3x2 + x3 = 8x1 − x2 + 4x3 =1

№10

2x1 + x3 = 5x1 + 3x2 − x3 = 4

x1 + 2x2 + 3x3 = 7

№12

4x1 + x2 − 3x3 = 3x1 + 2x2 + x3 = 6x1 − 2x2 + 3x3 = 0

№14

5x1 − x2 − x3 = −3x1 + 2x2 + x3 = −4x1 + x2 − 6x3 = 4

+ 3x2 + x3 = 5

x2 + 2x3 = 3

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода итерации, но при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже вычисленные ранее i f j :

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

x1k +1	= c11 x1k + c12 x2k +K+ c1n xnk + f1 ,
x2k +1	= c21 x1k +1 + c22 x2k +K+ c2n xnk + f2 ,
KKKKKKKKKKKKKKK
xnk +1	= cn1 x1k +1 + cn2 x2k +1 +K+ cn,n−1 xnk−+11 + cnn xnk + fn .

Условие сходимости можно определить так же, как и в методе простой итерации.

Пример. Методом Зейделя решить с точностью 0,001 систему линейных уравнений.

x1 = 0,24x1 − 0,05x2 − 0,24x3 +x2 = −0,22x1 + 0,09x2 − 0,44x3x3 = 0,13x1 − 0,02x2 + 0,42x3 −

Решение. Выпишем матрицу системы.С =

0,19; + 0,97; 0,14.

	0,24 − 0,05	− 0,24
	− 0,22 0,09 − 0,44
	− 0,22 0,09 − 0,44
	0,13 − 0,02	0,42
	0,13 − 0,02	0,42

Здесь С1 = max{ 0,53;0,77;0,57 } = 0,77 <1; значит метод Зейделя сходится.

	0,19
ПримемX 0 =		0,97	, вычисления располагаем в таблице:
		−0,14
		−0,14

	k		x1		x2	x3
	0		0,1900		0,9700	-0,1400

	1		0,2207		1,0703	-0,1915

	2		0,2354		1,0988	-0,2118
	3		0,2424		1,1088	-0,2196
	4		0,2454		1,1124	-0,2226
	5		0,2467		1,1138	-0,2237

	6		0,2472		1,1143	-0,2241

	7		0,2474		1,1145	-0,2242
	8		0,2475		1,1145	-0,2243
Ответ: x1 ≈ 0,248; x2			≈1,115; x3	≈ −0,224.

Тема. Частичная проблема собственных значений. Метод итерации.

Задание: Наити собственные значения и собственные вектора матрицы.

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

№ 1				− 0,11				№ 2
	1,00	0,47				0,55		0,15			0,23	0,12		0,44
	0,42	1,00		0,35		0,17					0,35	0,21	− 0,72
							− 0,52
	− 0,25	0,67		1,00		0,36		0,35			0,42	0,38	− 0,63

	0,54	− 0,32		− 0,74		1,00		0,74			− 0,25	− 0,37		0,55

№ 3								№ 4
	0,75	0,16		0,27		0,83				1,5	2,7	−1,3	5,2
	0,55	0,22		− 0,12		0,32				2,7	− 3,4	1,8	2,2

	1,00	0,42		0,35		0,18			−1,3		0,16	0,82
													1,05
	− 0,37	0,23		0,15		0.28				5,2	2,2	1,05	3,4

№ 5								№ 6
	1,17	2,13	0,32		0,56					1,2	3,2	−1,5	2,7
	2,13	0,82	−	0,72	1,10					− 5,3	4,1	3,8	1,7

	0,32	0,25	−	0,42	0,16					0,3	1,5	−1,6	4,2

	0,56	1,10	−							1,6	4,5
				0,25 − 0,44								6,3 −1,2
№ 7				− 0,43		− 0,23		№ 8
	0,62	0,73						1,13			2,15	0,83	0,77
	0,73	1,00		0,25		0,64		0,64			− 0,43	0,62	− 0,32

	− 0,41	0,62		0,21		0,44		2,32			1,15	1,84	0,68

	0,84	0,32		0,18		− 0,47		− 0,72			0,53	0,64	− 0,57

№ 9						− 0,22		№ 10					− 0,32
	0,42	0,26		0,33				0,75			0,18	0,63
	0,74	− 0,55		0,28		− 0,65		0,92			0,38	− 0,14		0,56

	0,88	0,42		− 0,33		0,75		0,63			− 0,42	0,18		0,37

	0,92	0,82		− 0,62		0,75					0,52	0,47	0,27
							− 0,65
№ 11								№ 12
− 2,41		7,55		0,82		0,33	−1,09				7,56	3,45		0,78
	0,28	− 3,44		0,75		0,23			3,33		4,45	− 0,21		3,44

	0,17	0,28		0,05		3,48			2,33		− 4,45 0,17
														2,21
	−1,00	0,23		2,00		7,00			4,03		1,00	3,05		0,11

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 2218 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]