Методические рекомендации

Изложим метод, позволяющий вычислять наибольшее по модулю собственное значение матрицы и соответствующий собственный вектор при помощи вычисления последовательности итераций произвольного вектора. Излагаемый метод называется степенным и является простейшим итерационным процессом для решения частичной проблемы собственных значений.

Пусть имеем характеристическое уравнение

det( A −λE ) = 0.

Корни этого уравнения λ1 , λ2 ,…,λn являются собственными значениями матрицы A . Пусть им соответствуют линейно независимые собственные векторы x(1 ) , x( 2 ) ,…, x( n ) . Укажем некоторые итерационные методы вычисления наибольшего по модулю собственного значения матрицы A , не требующие раскрытия ее векового определителя.

Пусть среди собственных значений матрицы A есть одно, наибольшее по модулю. Для определенности предположим, что

так что наибольшим по модулю является первое собственное значение. Очевидно, что для действительной матрицы наибольшее по модулю собственное значение λ1 действительно. Заметим, что такой случай имеет место, если матрица A - действительная и элементы ее положительны.

Возьмем произвольный вектор y

где yi( m ) - i -я координата вектора y( m ) = Am y .

То есть, взяв достаточно большой номер итерации m, мы сможем с любой степенью точности определить по формуле (2) наибольший по модулю корень λ1 характеристического уравнения матрицы A . Для нахождения этого корня может быть использована любая координата вектора y( m ) . В частности, можно взять среднее арифметическое соответствующих отношений.

Теперь рассмотрим задачу определения собственного вектора, соответствующего только что найденному собственному значению λ1 .

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

70

Заметим, что вектор y( m ) = Am y приближенно представляет собой собственный вектор матрицы A , соответствующий собственному значению λ1 . При достаточно большом m с любой степенью точности будем иметь:

Am y ≈ c1λ1m x( 1 ) ,

т.е. вектор Am y = y( m ) лишь числовым множителем отличается от собственного вектора x(1 ) и, следовательно, также является собственным вектором, соответствующим тому же самому собственному значению λ1 .

Пример. Найти наибольшее собственное значение матрицы

и соответствующий ему собственный вектор.

1

Решение. Выбираем начальный вектор y = 1 .

1

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

71