Различают два типа формул Ньютона-Котеса:

1)формулы замкнутого типа, когда x0 = a , xn = b ;

2)формулы открытого типа, когда хотя бы один из узлов x0 или xn не совпадает с соответствующим концом отрезка [ a,b ] .

Рассмотрим только первый случай, когда k = 0,1,K,n ,

hn = b −a .

В случае равномерной сетки выражения для коэффициентов

Замечание. Формулы Ньютона-Котеса с n ≥10 редко используются из-за их численной неустойчивости, приводящей к резкому возрастанию вычислительной погрешности.

Вопросы

1.Численное интегрирование.

2. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Тема. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

1. Постановки задач для ОДУ. Обыкновенными дифференциальными уравнениями можно описать многие физические, химические, биологические задачи. Конкретная прикладная задача может приводить к дифференциальному уравнению любого порядка. Но известно, что обыкновенное дифференциальное уравнение n -гопорядка

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

39

y( n ) = f ( x, y, y′,K, y( n−1 ) )

при помощи замены y( k ) ≡ yk ( x ) можно свести к эквивалентной системе n уравнений первого порядка

yk ' ( x ) = yk +1 ( x ) , 0 ≤ k ≤ n −2 ,

y'n−1 = f ( x, y0 , y1 ,K, yn−1 ) ,

где y0 ≡ y( x ) . Аналогично, любую систему дифференциальных уравнений любого порядка можно заменить некоторой эквивалентной системой уравнений первого порядка. Поэтому в дальнейшем мы будем, как правило, рассматривать системы уравнений первого порядка, записывая их для краткости в векторной форме

y' ( x ) = f ( x, y( x )),

y = { y1 , y2 ,K, yn }, f = { f1 , f 2 ,K, f n } .

Различают три типа задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ): задачи Коши, краевые задачи и задачи на собственные значения. Ограничимся рассмотрением первых двух задач.

Задача Коши для дифференциального уравнения n -го порядка

y( n ) = f ( x, y, y′,K, y( n−1 ) )

заключается в отыскании функции y( x ) , удовлетворяющей этому уравнению и начальным условиям

где ξ - начальная точка отрезка [ξ, X ] , условие (2) – начальное условие.

Справедливы следующие утверждения.

Утверждение 1. Если правая часть f ( x, y( x )) непрерывна и ограничена в некоторой окрестности начальной точки ( ξ,η ) на плоскости, то задача Коши(1), (2) имеетрешение (вообщеговоря, неединственное).

Утверждение 2. Если, кроме того, правая часть удовлетворяет условию Липшица по переменной y с положительной константой L :

задачи Коши единственно и непрерывно зависит от координат начальной точки. То есть задача корректно поставлена.

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

40

Утверждение 3. Если вдобавок правая часть имеет непрерывные

выбранной сетке значений аргумента xn . Решение получается в виде таблицы.

Замечание 1. Численные методы не позволяют найти общее решение уравнения (1); они могут дать только какое-то частное решение, например, решение задачи Коши (1), (2). Это основной недостаток численных методов. Зато эти методы применимы к очень широким классам уравнений и всем типам задач для них.

Замечание 2. Численные методы можно применять, если задача хорошо обусловлена, т.е. малые изменения начальных условий приводят к достаточно малому изменению интегральных кривых.

Пример (плохой обусловленности). Рассмотрим задачу

условии (4) имеем y( 0;C ) =1+C =1. Тогда C = 0 , так что y(100 ) =101 . Внесем небольшое изменение в начальное условие

y( 0 ) =1,000001,

тогда слегка меняется постоянная C =10−6 . Но тогда решение задачи (3), (4) имеет вид

y( x ) =1+ x +10−6 e x

и

y(100 ) =101+10−6 e100 ≈ 2,7 1037 ,

т.е. решение изменилось очень сильно.

3. Метод Эйлера. Усовершенствованный метод ломаных. Это простейший численный метод. Он употребляется очень редко из-за невысокой точности. Но на его примере удобно пояснять способы построения и исследования численных методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

41