значений x0 , x1 ,K, xn и известны для функции y = f ( x ) соответствующие значения:
f ( x0 ) = y0 , f ( x1 ) = y1 ,…, f ( xn ) = yn .
Введем понятие разделенных разностей.
Определение 1. Разделенными разностями первого порядка
называются отношения
f ( xi ,x j ) = |
f ( x j ) − f ( xi ) |
, i ≠ j , ( i, j = 0,1,...,n ) . |
(1) |
|
|||
|
x j − xi |
|
|
Будем рассматривать разделенные разности (1), составленные по соседним узлам, т.е. выражения f ( x0 , x1 ) , f ( x1 , x2 ) ,…, f ( xn−1 , xn ) . По этим разделенным разностям можно построить разделенные разности второго, третьего порядка и т.д. Формула разделенных разностей i -го порядка имеет вид:
f ( x0 , x1 ,..., xi ) = |
f ( x1 , x2 ,..., xi ) − f ( x0 , x1 ,..., xi−1 ) |
, ( i =1,...,n ) . |
(2) |
|
|||
|
xi − x0 |
|
|
Учитывая (2) запишем интерполяционную формулу Ньютона для неравноотстоящих значений аргумента:
Pn ( x ) = f ( x0 ) +( x − x0 ) f ( x0 ,x1 ) +( x − x0 )( x − x1 ) f ( x0 ,x1 ,x2 ) + +K+( x − x0 )( x − x1 )K( x − xn−1 ) f ( x0 ,x1 ,x2 K,xn ).
Вопросы
1.Интерполирования функции.
2. Многочлен Лагранжа
3.Первая формула Ньютона.
4. Вторая формула Ньютона
Тема. Методы решения СЛАУ.
1. Нормы векторов и матриц.
Определение 1. Нормой вектора X называется сопоставляемое
этому |
вектору число || X || , удовлетворяющее следующим требо- |
ваниям: |
|
1) |
|| X ||> 0 при X ≠ 0 и || 0 ||= 0 , |
2) |
|| cX ||=| c | || X || для любого числа c, |
3) |
|| X +Y ||≤|| X || +|| Y || . |
В дальнейшем будем пользоваться следующими нормами
вектора X = ( x1 ,x2 ,K,xn )T :
КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.
13
1. Первая норма (кубическая).
|| X ||I = max | xi | ,
i
2. Вторая норма (октаэдрическая).
II= ∑n | xi |,
i=1
3.Третья норма (сферическая).|| X ||
|| X ||III =| X |= 
| x1 |2 +K+| xn |2 .
Определение 2. Нормой квадратной матрицы А называется неотрицательное число || A || , удовлетворяющее следующим требованиям:
1) |
|| A ||> 0 при A ≠ 0 и || 0 ||= 0 , |
2) |
|| cA ||=| c | || A || для любого числа c, |
3) |
|| A + B ||≤|| A || + || B || , |
4) |
|| A B ||≤|| A || || B || . |
В большинстве задач, которые будем рассматривать, участвуют как матрицы, так и вектора. Поэтому целесообразно вводить норму матрицы, согласованную с данной нормой вектора.
Определение 3. Норма матрицы согласована с данной нормой вектора, если для любой матрицы А и любого вектора X выполняется
неравенство || A X ||≤|| A || || X || .
Приведем выражения норм матриц, согласованных с введенными выше нормами векторов:
1. |
если || X ||I = max | xi | , то || A ||I = max ∑| aij |, |
|
|||
|
|
|
|
n |
|
2. |
i |
|, то |
|
i j =1 |
|
если || X ||II = ∑| xi |
|| A ||II = max ∑| aij | , |
|
|||
|
n |
|
|
n |
|
|
i=1 |
|
j |
i =1 |
|
3. |
если || X ||III =| X |= |
| x1 |2 |
+K+| xn |2 |
|
2 |
, то || A ||III = ∑ | aij | . |
|||||
|
|
|
|
n |
|
i , j =1
2. Обусловленность системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Пусть дана система линейных уравнений, записанная в матричном виде
AX = F , |
(1) |
Будем предполагать, что матрица системы A задана и является невырожденной. Известно, что в этом случае решение системы существует, единственно и устойчиво по входным данным.
Так же как и другие задачи, задача вычисления решения системы (1) может быть как хорошо обусловленной, так и плохо обусловленной.
КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.
14
Введем абсолютную и относительную погрешности вектора с помощью формул:
|
|
( X*) =|| X − X* || , δ( X*) = |
|
( X*) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|| X || |
|
||
где |
X - решение |
системы (1), X * |
- решение |
возмущенной |
|||
системы A* X* = F * . |
|
|
|
|
|
|
|
Абсолютная и относительная погрешности матрицы вводятся |
|||||||
аналогично погрешностям вектора с помощью формул: |
|
||||||
|
|
( A*) =|| A − A* || , δ( A*) = |
|
( A*) |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|| A || |
|
|||
Теорема (Об оценке погрешности решения по погрешностям |
|||||||
входных данных). Пусть |
X - решение системы AX = F , |
а X * решение |
|||||
системы A* X* = F * , тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
δ( X*) ≤ cond( A ) (δ( F*) +δ( A*)) , |
|
|||||
где |
cond( A ) =|| A || || A−1 || |
- относительное число обусловленности |
|||||
системы (1).
Если число обусловленности больше 10, то система является плохо обусловленной, так как возможен сильный рост погрешности результата.
3. Метод итерации решения систем линейных алгебраи-
ческих уравнений. При большом числе неизвестных линейной системы схема метода Гаусса, дающая точное решение, становится весьма сложной. В этих условиях для нахождения корней системы иногда удобнее пользоваться приближенными численными методами. Изложим здесь один из методов – метод итерации.
Пусть дана система линейных уравнений, записанная в матричном виде
где |
|
|
|
|
|
|
Ax = b , |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
K |
a |
|
b |
|
|||
11 |
|
12 |
|
1n |
|
|
1 |
|
|
A = a21 |
a22 |
K a2n |
|
- матрица из коэффициентов системы (1), b = b2 |
- |
||||
K |
K |
K |
K |
|
M |
|
|||
a |
a |
n2 |
K a |
nn |
|
b |
|
||
n1 |
|
|
|
|
|
n |
|
||
x |
|
1 |
|
столбец ее свободных членов, x = x2 |
- столбец из неизвестных |
M |
|
|
|
xn |
|
(искомый вектор). |
|
КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.
15
Предполагая, |
что диагональные |
коэффициенты aii ≠ 0 |
( i =1,2,K,n ) |
||||||
разрешим первое уравнение системы (1) |
|
относительно x1 , |
второе – |
||||||
относительно x2 и т.д. Тогда получим эквивалентную систему |
|||||||||
|
|
|
x = β +αx , |
|
|
|
(2) |
||
где α |
- |
матрица с элементами αij = − |
|
aij |
при i ≠ j и αij = 0 |
при i = j |
|||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ii |
|
|
( i, j =1,2,K,n ) ; β |
- вектор с координатами βi = |
bi |
|
( i =1,2,K,n ) . |
|
||||
a |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ii |
|
|
|
|
Систему |
(2) |
будем решать |
методом последовательных |
||||||
приближений. За нулевое приближение примем, например, столбец
свободных членов x( 0 ) = β . Тогда |
любое |
(k+1)-е |
приближение |
вычисляют по формуле |
( k = 0,1,K) . |
(3) |
|
x( k +1 ) = β +αx( k ) |
|||
Если последовательность приближений |
x( 0 ) , x( 1 ) ,…, x( k ) ,… имеет |
||
предел x = lim x( k ) , то этот предел является решением системы (2).
k →∞
Метод последовательных приближений, определяемый формулой (3) носит название метода итерации.
Приведем достаточные условия сходимости процесса итерации. Теорема. Если для приведенной системы (2) какая-либо норма матрицы α меньше единицы, т.е. || α ||<1 , то процесс итерации (3) сходится к единственному решению этой системы, независимо от
выбора начального приближения. |
( i =1,2,K,n ) |
метол |
итерации |
|
Следствие. |
Для системы ∑aij xj = bi |
|||
|
n |
|
|
|
|
j =1 |
| aii |> ∑| aij | |
( i =1,2,K,n ) , |
т.е. если |
сходится, если выполнены неравенства |
||||
|
|
n |
|
|
j ≠i
модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы больше суммы модулей всех остальных коэффициентов (не считая свободных членов).
Теорема сходимости накладывает жесткие ограничения на коэффициенты системы (1). Однако, если det A ≠ 0 , то с помощью линейного комбинирования уравнений системы (1) последнюю всегда можно заменить эквивалентной системой (2).
4. Метод Зейделя решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода итерации. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi учитываются уже все вычисленные уже все вычисленные ранее (k+1)-е приближения неизвестных x1 , x2 ,…, xi −1 .
КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.
16