Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Численные методы. В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Н. Б. ИТКИНА, С. И. МАРКОВ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

ЧАСТЬ 2

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2022

УДК 519.6(075.8) И 927

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук В. Ф. Рапута

канд. физ.-мат. наук М. Ю. Баландин

Работа подготовлена на кафедре вычислительных технологий

Иткина Н. Б.

И 927 Численные методы: учебное пособие / Н. Б. Иткина,

С. И. Марков. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2022.

ISBN 978-5-7782-4662-1 Ч. 2: – 88 с. ISBN 978-5-7782-4664-5

Рассмотрены алгоритмы численного решения систем линейных и нелинейных уравнений, вычисления собственных значений и построения сингулярного разложения матриц. Может быть рекомендовано для студентов направления 02.03.03 – Математическое обеспечение и администрирование информационных систем.

УДК 519.6(075.8)

ISBN 978-5-7782-4664-5 (Ч. 2) © Иткина Н. Б., Марков С. И., 2022 ISBN 978-5-7782-4662-1 © Новосибирский государственный

технический университет, 2022

1. СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Пусть

RR

– линейный оператор. Если данный линейный

оператор может быть задан матрицей A, то задача восстановления про-

образа

по образу

Rx

найти такой вектор

nnR

где

A

– вектор неизвестных.

– квадратная матрица; f – ненулевой вектор правой части;

Rx

, что

может быть сформулирована в виде:

Rf

Ax f

, (1)

Равенство (1) будем называть системой линейных алгебраических

уравнений (СЛАУ). Если матрица

является обратимой, то СЛАУ

разрешима и решение задачи (1) имеет вид

1

где рице

A

nnR

A

1 nn



В пространстве

,nRxy

Если

xAf

– обратная матрица к невырожденной квадратной мат-

определим скалярное произведение векторов

(, )

– сопряжённый оператор, то над полем действительных чи-

, (2)





. (3)



сел

. (4)

AA

Скалярное А-произведение векторов

,nRxy

введём как

(, ) ( , ) (, ) (, ) 

Через скалярные произведения (3) и (5) выражаются

A-норма вектора

Rx

2 2

xxx

(,)xxx

(,)

. (5)

-норма и



, (6)

. (7)

Симметричные и положительно определённые матрицы будем назы-

вать SPD-матрицами (Symmetric and Positively Defined).

Замечание. A-норма является нормой, если A – SPD-матрица. Линейный оператор

разованием в пространстве

RR

на некоторый ненулевой вектор

также называют линейным преоб-

. Если действие данного преобразования

приводит к его масштабирова-

Rx

нию, то такой вектор называется собственным вектором линейного преобразования

где

– собственный вектор;

Rx

λAx x

, (8)



– собственное значение.

Множество всех собственных значений образует спектр линейного

оператора A, обозначается как

. Максимум модулей точек спектра

()



называют радиусом спектра линейного оператора A:

() maxλ

rA

. (9)

Локализацию собственных значений матрицы A можно оценить с

помощью кругов Гершгорина

где

– центр круга Гершгорина.



ii ij



jji



или



ii ij





iij

, (10)

Замечание. Собственные значения SPD-матриц всегда веще-

ственные и положительные.

Пример. Рассмотрим матрицу

Гершгорина:

2 λ 1, 2 λ 1. Очевидно, что данные круги лежат на

положительной полуоси Re(λ). Значит,









. Имеем два круга

А – SPD-матрица, так как поло-

жительно определена и симметрична. Аналитически можно убедиться, что

1, 3. 

Собственные значения позволяют вычислить важную характери-

стику симметричной матрицы – число обусловленности

– собственные значения симметричной матрицы A.

где

Из (11) следует, что

Cond( ) max λ /minλ

Cond( ) A

A , (11)

при

λ 0 , т. е. матрица А яв-

min

ляется плохо обусловленной и обратный оператор с матрицей

1 nn



A

может быть неограниченным. В нормированных простран-

ствах понятия ограниченности и непрерывности эквивалентны.

Норма оператора имеет вид

supA

Ax . (12)

Если норма матрицы A может быть введена как норма соответствующего оператора A, то она является подчинённой векторной норме. Для квадратных матриц можно ввести спектральную (евклидову) норму матрицы

λ ()AA

где

max

λ ()AAA

– наибольшее собственное значение матрицы

max

, (13)

AA.

Поскольку наибольшее собственное значение обратной мат-

1

A и наименьшее собственное значение матрицы A взаимно об-

рицы ратны, то можно записать



1/ λ ()

AAA

min

, (14)

λ ()AA

где

min

– наименьшее собственное значение матрицы

Определители матриц A и

чения также совпадают, поэтому

CondAAA



равны, значит, их собственные зна-

. (15)

Заметим, что в конечномерном линейном пространстве нормы являются эквивалентными, но величина

Cond( )A

зависит от вы-

все

бранной матричной нормы. Нижняя оценка числа обусловленности – число Тодда – вычисляется в матричной норме (13).

Замечание. Гёльдеровы нормы

вектора

вычисляются по формулам

Rx















max

x



1/1p

. (17)

(при

, (16)



) и





-норма

Замечание. Подчинённые векторным матричные нормы вычисляются по формулам

max



max





, (18)







. (19)



Замечание. Число Тодда показывает, насколько неравномерно линейное преобразование растягивает пространство по своим главным направлениям.

Пример. Оператор растяжения в

задан матрицей









при a, b > 1. Оператор горизонтального отражения имеет матрицу







 

Замечание. Определитель матрицы показывает, во сколько раз линейное преобразование, задаваемое этой матрицей, изменяет меру (площадь в 2D или объём в 3D) некоторого множества.

Пример. Рассмотрим треугольник с точками (0, 0), (1, 0) и (0, 1). Его площадь равна 0,5. Если применить к этому треугольнику преобразова-





ние растяжения

скольку

201 2



оси Ox и его площадь составит 1. Заметьте, что





 



 

 

, то точка (1, 0) перейдёт в точку (2, 0), по-

. Таким образом, треугольник вытянется вдоль

det 2









Замечание. Ранг матрицы показывает мерность пространства образа, в которое переводится подмножество из пространства прообраза.

Пример. Треугольник с точками (0, 0), (1, 0) и (0, 1) переводится

преобразованием

det 0Α

. Матрицы неполного ранга являются необратимыми.









в отрезок. Заметьте, что

rang 1Α

2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Линейные преобразования :

RR , сохраняющие скалярное

произведение (и норму), называются унитарными,

,:(,)(,)

R x y Ax Ay x y

. (20)

Над вещественным полем чисел унитарное преобразование называется ортогональным. Этот термин означает, что столбцы матрицы оператора образуют ортогональную систему векторов. Матрица ортого-

нального оператора ортогональна, т. е.

AA E, где E – единичная

матрица.

Матрицы ортогональных операторов обладают свойствами.

det 1A .

*1

AA.

λ 1

 , i = 1, …, n.

Если

Произведение ортогональных матриц – ортогональная матрица. Строки и столбцы ортогональной матрицы являются ортонорми-

– ортогональная матрица, то

1

– ортогональная.

рованными наборами векторов.

Пример. Оператор горизонтального отражения имеет матрицу







Α , которая является ортогональной. Её столбцы образуют ор-





тонормированный базис, определитель



ния

λ 1 и 2λ 1 ,



AA .





 

det 1A

, собственные значе-

ВРАЩЕНИЕ ГИВЕНСА

Рассмотрим линейный оператор поворота на угол θ : вектора

x на вектор

ным и при n = 2 может быть задан матрицей



xGx

Матрица

задаёт поворот в плоскости координат x и y. Аналогич-



x . Такой оператор является ортогональ-



cos sin





G , тогда



sin cos





GR R



 



ными рассуждениями можно показать, что в n-мерном пространстве по-

ворот вектора в плоскости координат

можно выполнить при ис-

пользовании матрицы Гивенса [1]:









 



 



 

0 0





cos sin



 

ii ij



sin cos

 

 





ji jj

где E – блоки с единицами на главной диагонали.

Пример. Рассмотрим вектор нулить компоненту

. Рассуждаем следующим образом: пусть поворот

происходит в плоскости координат

(1, 3, 4 )x

, в котором требуется об-

, тогда матрица вращений

Гивенса имеет вид



10 0



0cos sin







 

0sin cos





(,,0)

(1, 3, 4 )x

22 23

 

32 33

. Умножение третьей строки мат-

осуществляется по формуле

По условию

рицы

на вектор

3sin 4cos 0 



xGx



, (21)





Дополним это уравнение основным тригонометрическим тожде-

ством и получим систему уравнений

3sin 4cos 0,

 



 

sin cos 1,

 





откуда

sin 4 / 5

Имеем результат преобразования



тор

должен иметь ту же норму, что и вектор x. Проверка устанавли-

вает равенство норм

Алгоритм вращений Гивенса в плоскости координат xi и xj

Вычислить

cos 3 / 5

sin /



xGx



xx

xx 

jij

cos /



xGx

(1, 5, 0 )

xx 

iij

. Новый век-

Если поворот выполняется в плоскости координат с номерами i и j,

i – номер строки; j – номер столбца матрицы, то применение алго-

где ритма вращений Гивенса использует формулы

sin /

cos /

Формулы (22) и (23) позволяют обнулить компоненту

ной матрице X как произведение

Замечание. Матрицу преобразований



умножения

sin 

cos 

xGx

[2].

реализуют с учётом хранения только значений

xx 

ij ij jj

xx  . (23)

jj ij jj



XGX

, (22)

в исход-

не хранят. Процедуру

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]