Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы. Исследование функций вещественного переменного с применением программ для ЭВМ. Практикум
.pdf
В.В. Богун
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
ВЕЩЕСТВЕННОГО ПЕРЕМЕННОГО
С ПРИМЕНЕНИЕМ ПРОГРАММ
ДЛЯ ЭВМ
Практикум
2-е издание, стереотипное
Москва
Ай Пи Ар Медиа
2026
УДК 519.6
ББК 22.19
Б74
математического анализа и теории и методики обучения математике
Богун В.В. — канд. пед. наук, доц., доц. кафедры
Ярославского государственного педагогического университета
Асланов Р.М. — д-р пед. наук, проф. кафедры математического анализа
Московского педагогического государственного университета;
Бытев Д.О. — д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой прикладной математики
и вычислительной техники Ярославского государственного технического университета
Автор:
им. К.Д. Ушинского
Рецензенты:
Богун, Виталий Викторович.
Б74
Численные методы. Исследование функций вещественного
переменного с применением программ для ЭВМ : практикум /
В.В. Богун. — 2-е изд., стер. — Москва : Ай Пи Ар Медиа, 2026. — 84 с. —
Текст : электронный.
ISBN 978-5-4497-0405-4
В практикуме приведены лабораторные работы по использованию численных методов при исследовании функций вещественного переменного с применением авторских программ для ЭВМ в сопровождении необходимых методических и
дидактических аспектов. Каждая лабораторная работа включает теоретический аспект с описанием необходимых математических выкладок, методику проведения
занятий и разработанные автором программы на ЭВМ с указанием инструкций для
пользователя.
Подготовлен с учетом требований Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования.
Предназначен для студентов, изучающих применение численных методов
для исследования функций вещественного переменного в рамках дисциплин «Численные методы», «Математика», «Математический анализ» и ряде других.
Учебное электронное издание
ISBN 978-5-4497-0405-4 © Богун В.В., 2026
© ООО Компания «Ай Пи Ар Медиа», 2026
3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ….………………………………………………………………………………
4
1.
Лабораторная работа по исследованию пределов
числовых последовательностей
.………………………………………
8
1.1.
Теоретический аспект …………..……………………………………
8
1.2.
Методика проведения лабораторной работы ….…..…
18
1.3.
Описание программы с примером ……………………………
20
2
.
Лабораторная работа по исследованию алгебраических
уравнений
…………………………………………………………………………
2
7
2
.1.
Теоретический аспект
…………..…………………………………… 2
7
2.2.
Методика проведения лабораторной работы ….…..…
34
2.3.
Описание программы с примером …….……………………..
36
3.
Лабораторная работа по исследованию определенных
и
нтегралов ………………..………………………………………………………
4
3
3.1.
Теоретический аспект …………..……………………………………
43
3.2.
Методика проведения лабораторной работы…….……
55
3.3.
Описание программы с примером …….……………………..
57
4.
Лабораторная работа по исследованию
дифференц
иальных уравнений первого порядка …..…… ..
6
4
4.1.
Теоретический аспект …………..……………………………………
64
4.2.
Методика проведения лабораторной работы…….……
72
4.3.
Описание программы с примером …………………………..
74
Заключение …………………….……………………………………………………….
81
Список литературы ……………….…………………………………..…………….
82
4
ВВЕДЕНИЕ
По состоянию на настоящее время вопрос о корректном
использовании информационно-коммуникационных технологий в
образовательном процессе является актуальным. Внедрение
подобных инноваций в процесс обучения предоставляет широкие
возможности для повышения у учащихся интереса и мотивации к
учебной деятельности, а также эффективности решения учебных и
научно-исследовательских задач.
Реализация учебного процесса в вузах имеет четкую
тенденцию смещения образовательного вектора от получения
студентами теоретических знаний к приобретению учащимися
определенных практико-ориентированных умений и навыков,
необходимых для формирования и развития у студентов навыков
практического мышления с целью успешной реализации будущей
профессиональной деятельности. Практическое мышление
подразумевает решение конкретных теоретических или прикладных
практико-ориентированных задач, основанных на последовательном использовании известных законов и формул,
подразумевающих реализацию необходимых расчетных процедур,
основанных на интеграции различных арифметических и логических
операций. Поэтапное решение задачи осуществляется с целью
получения необходимых значений промежуточных результатов на
каждом этапе и итоговых результатов вычислений задачи в целом
на основании различных значений определенного количества
исходных данных.
Поскольку практическое мышление подразумевает пошаговое
решение задач с применением совокупности различных классов
алгоритмов (интеграция линейных, разветвляющихся и циклических
алгоритмов) и реализацию с последующей визуализацией
последовательных вычислительных операций, то для успешного
решения подобных задач необходимым условием является
применение различных средств информационнокоммункиационных технологий.
В данном практикуме представлен лабораторный практикум
по использованию численных методов при исследовании функций
5
вещественного переменного для студентов вузов [1-14],
1. Ра
счет значений минимальных номеров приближения к
пределу числовых последовательностей вида
01
2
2
01
2
2
n
bnbnb
anana
x
++
++
=
включающий описание четырех лабораторных работ с
рассмотрением соответствующих авторских программ для
персонального компьютера под управлением операционной
системы Windows [15-17] и методики их использования.
При реализации студентами рассматриваемых в издании
лабораторных работ осуществляется научно-исследовательская
деятельность, направленная на повышение у учащихся мотивации к
учебной деятельности и формирование у обучаемых необходимого
уровня практического мышления и включающая выполнение
сравнительного анализа применяемых численных методов решения
представленной задачи и зависимостей между варьируемыми
значениями исходных данных и получаемых значений необходимых
результатов с использованием программ на ЭВМ.
Основная цель лабораторного практикума состоит в
использовании персонального компьютера как средства интеграции
математических и информационных знаний при выполнении
численных алгоритмов, суть которых заключается в построении и
визуализации итерационных процессов, сходящихся к искомому
решению [1, 2, 7, 9, 12, 14, 18-20].
Основной целью использования авторских программ для
ЭВМ в обучении математике является исследование сложных
явлений и процессов в рамках реализации межпредметных связей
через призму построения различных концептуальных,
математических и информационных моделей в сочетании с
наглядностью, удобством использования и возможностями
непосредственного сравнительного анализа как различных методов
решения, так и значений промежуточных и итоговых результатов
при условии варьирования значений исходных данных.
Названия лабораторных работ с указанием наименований
программ и соответствующих разделов высшей математики:
6
(для
0>
ε
,
0a2≠, 0b
2
≠
,
ε
<−
2
2
n
b
a
x
) с использованием методов
золотой пропорции, Фибоначчи, половинного деления (дихотомии)
и их сравнительный анализ (программа «Исследование числовых
последовательностей с применением численных методов»,
раздел «Пределы и непрерывность»).
2. Приближенные решения алгебраических и
трансцендентных уравнений с использованием метода
половинного деления (дихотомии), комбинированного метода
хорд и касательных (Ньютона), метода золотой пропорции и их
сравнительный анализ (программа «Исследование алгебраических
уравнений с применением численных методов», раздел
«Дифференциальное исчисление»).
3. Приближенные вычисления значений определенных
интегралов по формулам средних прямоугольников, прямогольных
трапеций, параболических трапеций (Симпсона) и их
сравнительный анализ (программа «Исследование определенных
интегралов с применением численных методов», раздел
«Интегральное исчисление»).
4. Приближенные решения обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка с использованием
методов Эйлера, Рунге-Кутта второго, четвертого порядков
точности и их сравнительный анализ (программа «Исследование
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с
применением численных методов», раздел «Дифференциальные
уравнения»).
С
одержание и структура лабораторных работ:
1. Название работы с указанием наименования программы
для ЭВМ и соответствующего раздела высшей математики.
2. Цель работы.
3. Теоретический аспект.
4. Методика проведения лабораторной работы.
5. Описание программы с примером.
7
Методика проведения лабораторных работ:
1. Актуализация знаний и контроль теоретических аспектов и
практических навыков по использованию программ для ЭВМ.
2. Формулировка названия, цели и методики проведения
лабораторной работы.
3. Рассмотрение решения исследуемой математической
задачи на показательном примере.
4. Распределение студентов на малые группы с целью
задания для каждой из групп различных вариантов исходных
данных.
5. Наглядное моделирование и решение предлагаемой
математической задачи с применением трех численных методов на
основе интеграции математических и информационных знаний с
использованием авторской программы для ЭВМ.
6. Проведение сравнительного анализа полученных
результатов с целью формулирования выводов.
7. Оформление лабораторной работы с последующим
представлением преподавателю.
Основные особенности представленных в лабораторных
работах авторских программ для ЭВМ:
1. Возможности изменения различных значений исходных
данных в диалоговом окне приложения.
2. Возможности выбора применяемых численных методов с
указанием значений необходимых параметров.
3. Реализация принципа сохранения значений исходных
данных, промежуточных и итоговых результатов расчетов в рамках
автоматически генерируемой статической Интернет-страницы.
8
1. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ПО ИССЛЕДОВАНИЮ
ПРЕДЕЛОВ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Название работы с указанием наименования программы и
соответствующего раздела высшей математики: расчет значений
минимальных номеров приближения к пределу числовых
последовательностей вида
01
2
2
0
1
2
2
n
bnbnb
a
na
na
x
++
++
=
(для
0>
ε
,
0a
2
≠
,
0b2≠
,
ε
<
−
2
2
n
b
a
x
) с использованием методов золотой пропорции,
Фибоначчи, половинного деления (дихотомии) и их сравнительный
анализ (программа «Исследование числовых последовательностей
с применением численных методов», раздел «Пределы и
непрерывность»).
Цель работы: реализовать расчет значений минимальных
номеров приближения к пределу числовых последовательностей
вида
01
2
2
0
1
2
2
n
bnbnb
anana
x
++
++
=
(для
0>
ε
,
0a2≠, 0b2≠
,
ε
<−
2
2
n
b
a
x
) на
основе расчетов значений минимальных номеров с использованием
методов золотой пропорции, Фибоначчи, половинного деления
(дихотомии) для различных условий варьирования значений
исходных данных с последующим проведением необходимых
сравнительных анализов вычислительных процедур с применением
программы для ЭВМ «Исследование числовых
последовательностей с применением численных методов».
1.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АСПЕКТ
Число A называется пределом числовой последовательности
{
}
n
x
, если для любого
0>
ε
существует натуральное число
ε
n
, такое,
что для любого
ε
nn >
верно неравенство:
ε
<
− Ax
n
.
Рассмотрим числовые последовательности вида:
01
2
2
01
2
2
n
bnbn
b
ana
na
x
+
+
++
=
,
9
где
0
a
,
1
a
,
2
a
,
0
b
,
1
b
,
2
b
– целые числа, причем
0
a
2
≠
и
0b2≠
.
Пределом числовых последовательностей является
отношение:
2
2
n
n
b
a
xlimA ==
∞→
.
Необходимо реализовать расчет значений минимальных
номеров
ε
n
числовых последовательностей
{ }
n
x
по заданным
0>
ε
,
таких, что для всех членов числовых последовательностей со
значениями номеров
ε
n
n
>
выполняется неравенство
ε
<− Ax
n
в
соответствии с различными условиями варьирования значений
исходных данных, при этом для удобства реализации вычислений и
отображений результатов введем функцию
( )
Axnfy
n
−==
.
Рассмотрим логические основы реализации методов золотой
пропорции, Фибоначчи, половинного деления (дихотомии) для
выполнения приближенных вычислений значений минимальных
номеров
ε
n
для числовых последовательностей вида
01
2
2
01
2
2
n
bnbnb
anana
x
++
++
=
(при
0>
ε
,
0a2≠, 0b2≠
,
ε
<−
2
2
n
b
a
x
или
( )
ε
<−
==
2
2
n
b
a
xnf
y
) в зависимости от различных значений ε,
0A
n
и
0B
n
, заложенных в программу для ЭВМ «Исследование числовых
последовательностей с применением численных методов».
Метод золотой пропорции
Суть золотой пропорции, изображенной на рис. 1, состоит в
следующем: если разделить отрезок С на отрезки А и В таким
образом, что это будет отражать золотую пропорцию, то А,
деленное на В, будет равно С, деленному на А.
Символьная запись:
618033989,1
2
51
B
A
A
C
≈
+
===
ϕ
.
10
Рис. 1. Золотая пропорция
Действительно, пусть
X
B
A
A
C
=
=
.
Так как
CB
A
=+
, то есть
A
C
A
B
A
A
=+
, то получим квадратное
уравнение:
01XXX
X
1
1
2
=−−⇒=+
.
Положительный действительный корень квадратного
уравнения:
618033989,1
2
51
X ≈
+
==
ϕ
.
По аналогии с пропорцией назовем число
ϕ
золотым.
Отметим некоторые алгебраические свойства золотого числа:
1. Золотое число, возведенное в степень с натуральным
показателем, равно сумме двух золотых чисел, возведенных в
степени с последовательно предшествующими искомому
показателями:
2N1NN −−
+=
ϕϕϕ
.
Действительно, так как
012=−−
ϕϕ
, то
12+=
ϕϕ
, то есть
2N2N22N −−−
+⋅=⋅
ϕϕϕϕϕ
, откуда
2N1NN −−
+=
ϕϕϕ
.
Поскольку
2N1NN −−
+=
ϕϕϕ
, то
1N2NN ++
−=
ϕϕϕ
, откуда можно
получить следующие соотношения:
1
1
−=
ϕ
ϕ
и
ϕ
ϕϕ
−=
−= 2
1
1
1
2
,
32
1
22
1
111
22
3
−=
−=−=−=
ϕ
ϕϕϕϕϕ
.
2. Если каждый член геометрической прогрессии
N
X
( )
0q
,0X
1
≠≠
равен сумме двух предыдущих, то ее знаменатель q
равен золотому числу, то есть
ϕ
:
N1N2N
XXX
+=
++
⇒
2
N1N2N
XXX
ϕϕ
⋅=⋅=
++
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]