Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы. Исследование функций вещественного переменного с применением программ для ЭВМ. Практикум
.pdf
21
значений исходных данных (рис. 3), итоговых результатов
вычислений (рис. 4), а также информации о значениях
промежуточных результатов вычислений по методам золотой
пропорции (рис. 4), Фибоначчи (рис. 6) и половинного деления
(дихотомии) (рис. 7). Необходимо отметить, что при использовании
метода Фибоначчи необходимо указать номер начального числа
данного ряда (в данном случае
13K
F
=
).
Рис. 2. Ввод значений исходных данных
22
Рис.3.Выводзначенийисходныхданных
23
Рис.4.Выводзначенийитоговыхрезультатов
24
Рис. 5. Вывод значений промежуточных результатов вычислений
по методу золотой пропорции
25
Рис. 6. Вывод значений промежуточных результатов вычислений
по методу Фибоначчи
26
Рис. 7. Вывод значений промежуточных результатов вычислений
по методу половинного деления (дихотомии)
27
2. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ПО ИССЛЕДОВАНИЮ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Название работы с указанием наименования программы и
соответствующего раздела высшей математики: приближенные
решения алгебраических уравнений с использованием метода
половинного деления (дихотомии), комбинированного метода хорд
и касательных (Ньютона), метода золотой пропорции и их
сравнительный анализ (программа «Исследование алгебраических
уравнений с применением численных методов», раздел
«Дифференциальное исчисление»).
Цель работы: реализовать нахождение приближенных
решений алгебраических уравнений с использованием метода
половинного деления (дихотомии), комбинированного метода хорд
и касательных (Ньютона), метода золотой пропорции для различных
условий варьирования значений исходных данных с последующим
проведением необходимых сравнительных анализов
вычислительных процедур с применением программы для ЭВМ
«Исследование алгебраических уравнений с применением
численных методов».
2.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АСПЕКТ
В силу сложности структуры символьной записи
алгебраических уравнений задача по нахождению точных решений
является весьма трудоемкой и подчас нереальной.
Процедура нахождения приближенных решений
алгебраических уравнений может быть реализована в два этапа:
1. Локализация корней – выделение отрезков, каждый из
которых содержит по одному корню, с использованием
аналитических или графических методов.
2. Уточнение корней – вычисление с использованием
численных методов приближенных значений действительных
корней уравнения на каждом из отрезков с необходимой
точностью, при этом каждый из корней в силу единственности на
рассматриваемом интервале, называемом интервалом изоляции
корня, является изолированным.
28
Предлагаемые в рамках данной лабораторной работы
численные методы используются для приближенных решений
алгебраических уравнений вида
0)x(f =
с целью определения
приближенного значения изолированного действительного корня
n
x
на отрезке
]x
,x
[
0B
0
A
с необходимой точностью ε.
Рассмотрим логические основы реализации метода
половинного деления (дихотомии), комбинированного метода хорд
и касательных (Ньютона), метода золотой пропорции для
выполнения приближенных решений алгебраических и
трансцендентных уравнений в зависимости от различных значений
0
A
x
,
0B
x
,
ε
, заложенных в программу «Исследование
алгебраических уравнений с применением численных методов».
Метод половинного деления (дихотомии)
Суть половинного деления или дихотомии состоит в
следующем: если разделить отрезок C на отрезки A и B таким
образом, что это будет отражать дихотомию, то C, деленное на A,
будет равно C, деленному на B, то есть A равно B:
2
B
С
A
C
==
, или
BA =
.
Таким образом, при наличии исходного отрезка
[ ]
0B0A
x,x
полученный в результате «N»-го деления отрезок
[ ]
BNAN
x,x
связан с
исходным соотношением
N
0
A0
B
ANBN
2
x
x
xx
−
=−
.
В данной лабораторной работе метод дихотомии имеет
следующую реализацию:
1. Итерация с индексом «0»:
1.1. На искомом отрезке
[
]
0
B0A
x,x
при соблюдении условий
0
B0A
xx <
и
(
) (
)
0x
fxf
0B0A
<⋅
выбирается точка
D
0C
x
, исходя из
неравенства
0B
D
0C0A
xxx <<
, в соответствии с принципами
дихотомии, согласно следующему соотношению:
2
xx
x
0B0A
D
0C
+
=
.
1.2. Если достигнута истинность выражения
ε
2xx
0A0B
<−
, то
итерации прекращаются, количество шагов итераций
0sD=
ε
и в
29
качестве приближенного значения действительного корня
уравнения
D
x
ε
выбирается
D
0C
D
xx
=
ε
в силу равенства
2
xx
x
0B0A
D
0C
+
=
.
1.3. Если
ε
2x
x
0
A
0B
≥−
, то осуществляется переход к
следующей итерации.
2. Итерация с индексом «N»
( )
1
N
≥
:
2.1. Если
( )
( )
( )
( )
0xfxf
D
1NA
D
1NC
<⋅
−−
и
(
)
(
)
( )
( )
0
xf
x
f
D
1
NB
D
1
NC
>
⋅
−
−
, то
( )
D
1NA
D
AN
xx−=
,
( )
D
1NC
D
BN
xx−=
,
( ) ( )
( ) ( )
2
xx
xxxx
D
1NA
D
1NB
D
1NA
D
1NC
D
AN
D
BN
−−
−−
−
=−=−
и получаем отрезок
[ ]
( ) ( )
[ ]
D
1NCD1NA
D
BN
D
AN
x,xx,x
−−
=
.
2.2. Если
( )
(
)
(
)
(
)
0x
fx
f
D
1
N
B
D
1
NC
>
⋅
−
−
и
( )
(
)
( )
( )
0
x
fx
f
D
1N
B
D
1NC
<⋅
−−
, то
( )
D
1NC
D
AN
xx
−
=
,
( )
D
1NB
D
BN
xx
−
=
,
( ) ( )
( ) ( )
2
xx
xxxx
D
1NA
D
1NB
D
1NC
D
1NB
D
AN
D
BN
−−
−−
−
=−=−
и получаем отрезок
[ ]
( ) ( )
[ ]
D
1NBD1NC
D
BN
D
AN
x,xx,x
−−
=
.
2.3. На отрезке
[ ]
D
BN
D
AN
x,x
при соблюдении условий
D
BN
D
AN
xx <
и
( ) ( )
0xfxf
D
BN
D
AN
<⋅
выбирается точка
D
CN
x
, исходя из неравенства
D
BN
D
CN
D
AN
xxx <<
, в соответствии с принципами дихотомии, согласно
следующему соотношению:
2
xx
x
D
BN
D
AN
D
CN
+
=
.
2.4. Если достигнута истинность выражения
ε
2xx
D
AN
D
BN
<−
, то
итерации прекращаются, количество шагов итераций
NsD=
ε
и в
качестве приближенного значения действительного корня
уравнения
D
x
ε
выбирается
D
CN
D
xx
=
ε
в силу равенства
2
xx
x
D
BN
D
AN
D
CN
+
=
.
2.5. Если
ε
2xx
D
AN
D
BN
≥−
, то осуществляется переход к
следующей итерации.
Комбинированный метод хорд и касательных (Ньютона)
Комбинированный метод хорд и касательных (Ньютона)
применяется только в случаях, когда функция
( )
xf
на искомом
30
отрезке
[
]
0
B0
A
x
,
x
монотонна и не имеет точек перегиба, то есть
(
)
x
f
′
и
( )
xf
′′
не изменяют знака на отрезке
[ ]
0B0A
x,x
.
Суть метода заключается в сжатии искомого отрезка
[ ]
0
B
0
A
x
,
x
в
силу проведения из противоположных концов хорды и касательной,
согласно следующим правилам:
1. Для случая
( ) ( )
0xfxf
0A0A
>
′′
⋅
и
( ) ( )
0xfxf
0B0B
<
′′
⋅
отрезок
[ ]
BN
AN
x,x
образуется из отрезка
( ) ( )
[ ]
1NB1NA
x,x
−−
согласно следующим
правилам:
1.1. Исходя из уравнения касательной, проходящей из точки с
координатами
( ) ( )
( )( )
1NA1NA
xf,x
−−
к графику исходной функции
( )
xf
,
то есть
( )
( ) ( ) ( )
)xx()x(f)x(fxf
1NAAN1NA1NAAN1 −−−
−⋅
′
+=
, получим
абсциссу точки пересечения касательной с осью абсцисс
(
( )
0xf
AN1
=
):
( )
( )
( )
( )
( )
1NA
1NA
1NAAN
xf
xf
xx
−
−
−
′
−=
.
1.2. Исходя из уравнения хорды, проходящей через точки с
координатами
( ) ( )
( )( )
1NA1NA
xf,x
−−
и
( ) ( )
( )( )
1NX1NX
bf,b
−−
, то есть
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( ) ( )
1N
B1NA
1N
B1N
A
1NB
BN1NB
BN2
xx
xfx
f
xx
xfxf
−−
−
−
−−
−
−
⋅−+=
, получим
абсциссу точки пересечения хорды с осью абсцисс (
( )
0xf
BN2
=
):
(
) (
)
(
)
( )
(
) (
)
)
x(f
)
x(
f
x
x
)x
(
fx
x
1N
B1N
A
1
N
B
1N
A
1
N
B
1N
BBN
−
−
−
−
−
−
−
−
⋅−
=
.
2. Для случая
( )
(
)
0xfxf
0A0A
<
′′
⋅
и
( ) (
)
0
xfxf
0B0B
>
′′
⋅
отрезок
[ ]
BNAN
x,x
образуется из отрезка
(
)
( )
[ ]
1
N
B1
N
A
x
,x
−
−
согласно следующим
правилам:
2.1. Исходя из уравнения касательной, проходящей из точки с
координатами
( ) ( )
( )( )
1NB1NB
xf,x
−−
к графику исходной функции
( )
xf
,
то есть
( )
( ) ( ) ( )
)xx()x(f)x(fxf
1NBBN1NB1NBBN1 −−−
−⋅
′
+=
, получим
абсциссу точки пересечения касательной с осью абсцисс
(
( )
0xf
BN1
=
):
( )
( )
( )
( )
( )
1N
B
1N
B
1NBBN
xf
xf
xx
−
−
−
′
−
=
.
2.2. Исходя из уравнения хорды, проходящей через точки с
координатами
(
) ( )
( )(
)
1NA1NA
xf,x
−−
и
( ) (
)
( )( )
1NB1NB
xf,
x
−−
, то есть
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]