Численные методы. Исследование функций вещественного переменного с применением программ для ЭВМ. Практикум

61

Рис. 17. Вывод значений промежуточных результатов вычислений

по формуле средних прямоугольников



62

Рис. 18. Вывод значений промежуточных результатов вычислений

по формуле прямоугольных трапеций



63

Рис. 19. Вывод значений промежуточных результатов вычислений

по формуле параболических трапеций (Симпсона)

64

4. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ПО ИССЛЕДОВАНИЮ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО

ПОРЯДКА

Название работы с указанием наименования программы и

соответствующего раздела высшей математики: приближенные

решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с использованием методов Эйлера, Рунге-Кутта второго, четвертого порядков точности и их сравнительный анализ (программа «Исследование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с применением численных методов», раздел «Дифференциальные уравнения»).

Цель работы: реализовать приближенные решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с использованием методов Эйлера, Рунге-Кутта второго и четвертого порядков точности для различных условий варьирования значений исходных данных с последующим проведением необходимых сравнительных анализов вычислительных процедур с применением программы для ЭВМ «Исследование обыкновенных

дифференциальных уравнений первого порядка с применением численных методов».

4.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АСПЕКТ

При решении обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, часто встречающихся при построении математических моделей различных явлений и процессов, нередка проблема невозможности или сложности решения данных уравнений.

В подобных ситуациях для решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка используют рассматриваемые в рамках данной лабораторной работы численные методы. Суть применяемых численных методов заключается в том, что для заданного обыкновенного дифференциального уравнения вида

( )( )

xy,xfy

=

′

или

65

(

)(

)

xy,xf

dx

dy

=

с начальными условиями, характеризующими

координаты точки

( )( )

0A0

A

x

y

,x

на некотором отрезке

]

x,

x

[

0

B0

A

,

необходимо рассчитать приближенное значение функции

(

)

0B

x

y

в

точке с координатами

(

)

( )

0

B0

B

xy

,x

. Осуществляется деление данного

отрезка на определенное количество равных меньших отрезков, или шагов, в зависимости от заданного значения количества шагов

α

s

или величины шага

α

h

, расчет приближенного значения функции со

значением абсциссы конечной точки на каждом из полученных отрезков, при этом приближенное значение функции

( )

0B

xy

в точке

с координатами

( )( )

0B0B

xy,x

определяется как значение функции со

значением абсциссы конечной точки последнего из полученных отрезков.

Рассмотрим логические основы реализации методов Эйлера, Рунге-Кутта второго и четвертого порядков точности для выполнения приближенных решений обыкновенных дифференциальных уравнений первого рода в зависимости от различных значений

0A

x

,

( )

0A

x

y

,

0B

x

,

α

s

или

α

h

, заложенных в

программу «Исследование обыкновенных дифференциальных

уравнений первого порядка с применением численных методов».

Метод Эйлера

Исходя из уравнения касательной, проходящей из точки с координатами

( )(

)

1N1N

xy,x

−−

к графику исходной функции

( )

xy

, то

есть

(

)

xx

()

x(y)x(

yx

y

1

N

N1N1N

N1

−

−−

−⋅

′

+=

, учитывая, что

( )(

)

NNN

xf,

xf)x(y =

′

или

( )(

)

1N1N1N

xf,xf)x(y

−−−

=

′

и

α

hxx

1NN

=−

−

,

получим соотношение:

( ) (

)

=

−=

−

)x(

yxyx

y

1NN1

N

∆

( )(

)

α

hx

y,

xf)x

x()

x(

y

1N1

N1

NN

1N

⋅=

−⋅

′

=

−−

.

Таким образом, в методе Эйлера вычисление приближенного значения координат точки исходной функции с координатами

(

)(

)

NN

x

y,x

, исходя из приближенных значений координат точки

( )(

)

1N1N

xy,x

−−

исходной функции, осуществляется согласно

следующим соотношениям:

66

(

)

( )

(

)

(

)

(

)(

)

α

∆

h

x

y

,

x

f

x

yx

y

xy

1

N

1

N

1

N

N1

N

⋅

+

=+

=

−

,

α

hx

x

1N

N

+

=

−

.

Полученные соотношения можно получить и другими

способами.

Например, используя формулировку вычисления

определенного интеграла для функции

( )( )

xy,xf

, учитывая, что

( )( )

NNN

xy

,

xf

)x

(

y =

′

или

(

)(

)

1

N1

N1N

x

y

,x

f)x(y

−

=

′

и

α

hxx

1NN

=−

−

,

можно получить следующее соотношение:

( ) ( ) ( )( )

.dxxy,xf)xx()x(y)x(yxyxy

N

1N

x

1N1N1NN1N1NNN

∫

−

−−−−−

=−⋅

′

=−=

∆

По формуле прямоугольников получим, что

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

α

∆

hxy,xfdxxy,xf)x(yxyxy

1N1N

x

1NNN

N

1N

−−−

==−=

∫

−

Тогда вычисление приближенных значений координат точки

исходной функции с координатами

( )( )

NN

xy,x

, исходя из

приближенных значений координат точки

( )( )

1N1N

xy,x

−−

, по методу

Эйлера осуществляется согласно следующим соотношениям:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

α

∆

hxy,xfxyxyxyxy

1N1N1NN1NN

⋅+=+=

−−−−

,

α

hxx

1NN

+=

−

.

Также соотношения метода Эйлера можно получить как

частный случай методов Рунге-Кутта.

В методах Рунге-Кутта определенный интеграл определяется в виде интерполяционного многочлена согласно следующему соотношению:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

,hKpxy

dxxy,xfxyxyxyxy

S

1J

JJ1N

x

1N1N1NN1NN

N

1N

∑

∫

=

−

−−−−

⋅+=

=+=+=

−

α

∆

где

J

p

– коэффициенты, зависящие от S;

( )

α

hK

J

– функции,

зависящие от вида подинтегральной функции

( )( )

1N1N

xy,xf

−−

и

значения фиксированного шага

α

h

.

67

В общем случае значения

J

p

и

(

)

α

h

K

J

определяются согласно

следующим соотношениям:

(

) ( )

( )

1N1N

1

xy,xf

hh

K

−−

⋅=

α

,

(

) ( )

(

)( )

ααα

α

βα

h

Kx

y,hxf

hh

K

121

1N

21N2

⋅+

⋅+⋅=

−

,

( ) ( ) ( ) ( )( )

ααααα

ββα

hKhKxy,hxfhhK

2321311N31N3

⋅+⋅+⋅+⋅=

−−

,

…………………………………………………………………

( )

(

) (

)

( )

.

hK

...

hK

xy

,

hx

fhh

K

1S

1S,S

1

S1

NS1N

S



 





 



⋅

+

+⋅

+

⋅+

⋅=

−

α

αα

β

α

Значения

J

p

,

S

α

и

1S,S −

β

получают из соображений высокой

точности вычислений.

Если

1p1=

и

( ) ( )( )

1N1N1

xy,xfhhK

−−

⋅=

αα

, то получим

соотношение:

( )

(

) ( )

( )

.xy

,x

f

hxy

hK

pxy

dx

x

y,x

fx

y

xy

xyx

y

1N1

N1

N11

1

N

x

1N1

N1

NN

1N

N

1

N

−

−−

−

−−

−

⋅+=

⋅

+=

=+

=+=

∫

−

αα

∆

Таким образом, метод Эйлера является методом Рунге-Кутта

первого порядка точности.

В данной лабораторной работе метод Эйлера имеет

следующую реализацию (итерация с индексом «N»

( )

1N ≥

):

1. На искомом отрезке

[ ]

0B

0A

x

,x

при соблюдении условия

0

B0A

xx <

, исходя из вводимого или рассчитанного значения

величины шага

E

h

α

(при вводимом значении количества шагов

E

s

α

по формуле

E

0A0B

E

s

xx

h

α

−

=

), выбирается абсцисса точки графика

исходной функции с координатами

( )( )

E

N

E

N

xy,x

, то есть

E

N

x

, согласно

следующему соотношению:

EE

1N

E

N

hx

x

α

+=

−

.

2. Осуществляется вычисление приближенного значения

ординаты точки исходной функции с координатами

( )( )

E

N

E

N

xy

,x

, то

есть

( )

E

N

xy

, согласно следующим соотношениям:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

E

1N

E

1N

EE

1N

E N

E

1N

E

N

xy,xfhxyxyxyxy

−−−−

⋅+=+=

α

∆

,

EE

1N

E

N

hxx

α

+=

−

.

68

3. Если достигнута истинность выражения

0B

E

N

xx ≥

, то

итерации прекращаются, количество шагов итераций

N

s

E

=

α

, тогда

приближенное значение исходной функции

(

)

0

B

x

y

в точке с

координатами

(

)(

)

0

B0

B

x

y

,x

определятся согласно соотношению

( ) ( )

E

N

E

0B

xyxy =

.

4. Если

0B

E

N

xx <

, то осуществляется переход к следующей

итерации.

Метод Рунге-Кутта второго порядка точности

В методе Рунге-Кутта второго порядка точности имеем следующие соотношения:

Если

0p1=

, то

( ) ( )( )

1N1N1

xy,xfhhK

−−

⋅=

αα

.

Если

1p2=

, то

2

1

2

=

α

,

2

1

21

=

β

и

(

)

(

)

( )

(

)

( )(

)

.xy,

xf

2

h

x

y,

2

h

x

fh

hK

2

1

x

y,

2

h

x

f

hh

K

1N1N

1

N1N

11

N1

N

2

 



 



⋅

++⋅

=

 



 



⋅

++⋅

=

−

−−−

−

α

αα

В итоге получим соотношение:

(

)

( ) ( )

( )

( )(

)

( ) (

) (

) ( )

(

) ( ) (

)

=

 



 



++

⋅+=

=⋅

+⋅+=

⋅+

=

+=+

=

−−

−

=

−

−−−

∑

∫

−

α

αα

∆

h

K

2

1

x

y,

2

h

xfh

xy

hK

p

hKpx

yh

Kpx

y

dxxy,xf

xyxy

xy

x

y

11

N1N

1N

22

111N

2

1J

JJ1N

x

1N1N

1N

N1NN

N

1

N

Тогда вычисление приближенных значений координат точки графика исходной функции с координатами

( )( )

NN

xy,x

, исходя из

приближенных значений координат точки

( )( )

1N1N

xy,x

−−

, по методу

69

Рунге-Кутта второго порядка точности осуществляется согласно следующим соотношениям:

( )

2

h

xx

1N21N2

α

+=

−−

,

( )

( )( )

1N1N1N21N2

xy,xf

2

h

xyxy

−−−−

⋅+=

α

,

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( )

21N221N21NN1NN

xy,xfhxyxyxyxy

−−−−

⋅+=+=

α

∆

,

α

h

xx

1

NN

+

=

−

.

В данной лабораторной работе метод Рунге-Кутта второго порядка точности имеет следующую реализацию (итерация с индексом «N»

( )

1N ≥

):

1. На искомом отрезке

[ ]

0B0A

x,x

при соблюдении условия

0B0A

xx <

, исходя из вводимого или рассчитанного значения

величины шага

2RK

h

α

(при вводимом значении количества шагов

2RK

s

α

по формуле

2RK

0

A

0B

2RK

s

xx

h

α

−

=

), выбирается абсцисса точки

графика исходной функции с координатами

( )( )

2RK

N

2RK

N

xy,x

, то есть

2RK

N

x

, согласно следующему соотношению:

2RK2RK

1N

2RK

N

hxx

α

+=

−

.

2. Осуществляется вычисление приближенного значения

ординаты точки исходной функции с координатами

( )( )

2RK

N

2RK

N

xy,x

,

то есть

( )

2RK

N

xy

, согласно следующим соотношениям:

( )

2

h

xx

2RK

1N

2RK

21N2

α

+=

−−

,

( )

,y,xf

2

h

yxyxyxy

2RK

1N

2RK

1N

2RK

1N

2RK

21N2

2RK

1N

2RK

21N2 −−−−−−

⋅+=+=

α

∆

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

,y,xfhyxyxyxy

2RK

21N2

2RK

21N2

2RK2RK

1N

2RK

N

2RK

1N

2RK

N −−−−

⋅+=+=

α

∆

2

RK2RK

1N

2RK

N

hxx

α

+=

−

.

3. Если достигнута истинность выражения

0B

2RK

N

xx ≥

, то

итерации прекращаются, количество шагов итераций

Ns

2RK

=

α

,

тогда приближенное значение исходной функции

( )( )

xy,xf

y =

′

в

70

точке с координатами

( )( )

xy,xf

1N

определятся согласно

соотношению

( ) ( )

2RK

N

2RK

0B

xyxy =

.

4. Если

0B

2

RK

N

xx

<

, то осуществляется переход к следующей

итерации.

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности

В методе Рунге-Кутта четвертого порядка точности имеем

следующие соотношения:

Если

6

1

p1=

, то

( ) ( )( )

1N1N1

xy,xfhhK

−−

⋅=

αα

.

Если

3

1

p

2

=

, то

2

1

2

=

α

,

2

1

21

=

β

и

(

) (

)

(

) (

)(

)

.x

y,

x

f

2

h

x

y

,

2

h

x

f

h

K

2

1

x

y,

2

h

xf

h

hK

1N1

N1

N

1N

11

N1

N

2

 



 



⋅+

+⋅

=

 



 



⋅

++

⋅=

−−

−

α

αα

Если

3

1

p

3

=

, то

2

1

3

=

α

,

031=

β

,

2

1

32

=

β

и

( ) ( ) ( )

 



 



⋅++⋅=

−−

α

αα

hK

2

1

xy,

2

h

xfhhK

21N1N3

.

Если

6

1

p

4

=

, то

1

4

=

α

,

041=

β

,

0

42

=

β

,

143=

β

и

(

) (

) ( )( )

ααα

α

hK

xy

,hxf

hh

K

3

1

N1N4

++⋅

=

−−

.

В итоге получим соотношение:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

(

) ( ) ( ) ( )( )

.hKhK2hK2hK

6

h

xy

hKph

KphKphKpxy

hKpxy

dxxy,

xfxyxyxyxy

43211N

443322111

N

4

1J

JJ1

N

x

1N1N1NN1NN

N

1N

αα

α

αα

α

∆

++++=

=⋅

+⋅+⋅+⋅+=

=⋅+=

=+=+=

−

=

−

−−

∑

∫

−