Численные методы. Исследование функций вещественного переменного с применением программ для ЭВМ. Практикум

31

( )

( ) ( )

1NA1NB

1NAAN1NAAN2

xx

xfxf

xxxfxf

−−

−

⋅−+=

, получим

абсциссу точки пересечения хорды с осью абсцисс (

( )

0xf

AN

2

=

):

( ) ( )

)x(f)x(f

xx

)x(fxx

1NA1NB

1NA1NAAN

−−

−

⋅−=

.

В данной лабораторной работе комбинированный метод хорд

и касательных (Ньютона) имеет следующую реализацию:

1. Итерация с индексом «0»:

1.1. На искомом отрезке

[

]

0

B0

A

x

,

x

при соблюдении условий

0B0A

xx <

,

( ) ( )

0xfxf

0B0A

<⋅

,

( ) ( )

0xfxf

0A0A

>

′′

⋅

′

,

( ) ( )

0xfxf

0B0B

>

′′

⋅

′

выбирается точка с координатами

( )( )

CT

0C

CT

0C

xf,x

, из которой

проводится первая касательная к графику исходной функции

( )

xf

.

1.2. Если

( ) ( )

0xfxf

0A0A

>

′′

⋅

и

( ) ( )

0xfxf

0B0B

<

′′

⋅

, то

0A

CT

0C

xx =

.

1.3. Если

( ) ( )

0xfxf

0A0A

<

′′

⋅

и

( ) ( )

0xfxf

0B0B

>

′′

⋅

, то

0B

CT

0C

xx =

.

1.4. Если достигнута истинность выражения

ε

2xx

0A0B

<−

, то

итерации прекращаются, количество шагов итераций

0sCT=

ε

и в качестве приближенного значения действительного корня

уравнения

CT

x

ε

выбирается

2

xx

x

0B0A

CT

+

=

ε

.

1.5. Если

ε

2xx

0A0B

≥−

, то осуществляется переход к

следующей итерации.

2. Итерация с индексом «N»

( )

1N ≥

:

2.1. Если

0A

CT

0

C

xx =

, то на отрезке

( ) ( )

[ ]

CT

1NBCT1N

A

x,x

−−

выбираются

точки

CT AN

x

и

CT BN

x

с соблюдением условия

( ) ( )

CT

1NB

CT BN

CT

AN

CT

1NA

xxxx

−−

<<<

,

согласно следующим соотношениям:

( )

CT

1

NA

CT

1N

A

CT

1NA

CT AN

xf

x

f

x

−

′

−=

и

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

CT

1N

B

CT

1

NA

CT

1NB

CT

1NA

CT

1NB

CT

1NB

CT BN

x

fxf

xx

xfxx

−−

−

⋅−=

.

32

2.2. Если

0B

CT

0C

x

x =

, то на отрезке

( ) ( )

[ ]

CT

1NBCT1NA

x,x

−−

выбираются

точки

CT AN

x

и

CT BN

x

с соблюдением условия

( ) ( )

CT

1NB

CT

BN

CT AN

CT

1NA

xxxx

−−

<<<

,

согласно следующим соотношениям:

( )

CT

1NB

CT

1NB

CT

1NB

CT BN

xf

xx

−

′

−=

и

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

CT

1NA

CT

1NB

CT

1NA

CT

1NB

CT

1NA

CT

1NA

CT AN

xfxf

xx

xfxx

−−

−

⋅−=

.

2.3. Если достигнута истинность выражения

ε

2xx

CT AN

CT BN

<−

, то

итерации прекращаются, количество шагов итераций

NsCT=

ε

и в

качестве приближенного значения действительного корня

уравнения

CT

x

ε

выбирается

2

xx

x

CT

BN

CT AN

CT

+

=

ε

.

2.4. Если

ε

2

xx

CT AN

CT BN

≥−

, то осуществляется переход к

следующей итерации.

Метод золотой пропорции

Суть золотой пропорции состоит в следующем: если разделить отрезок С на отрезки А и В таким образом, что это будет отражать золотую пропорцию, то А, деленное на В, будет равно С, деленному на А.

Символьная запись:

618033989,1

2

51

B

A

C

≈

+

===

ϕ

.

В данной лабораторной работе метод золотой пропорции имеет следующую реализацию:

1. Итерация с индексом «0»:

1.1. На искомом отрезке

[ ]

0B0A

x,x

при соблюдении условий

0B0

A

xx <

и

( ) (

)

0xf

xf

0B

0A

<⋅

выбираются точки с абсциссами

GP

0C

x

и

GP

0D

x

, исходя из неравенства

0B

GP

0D

GP

0C0A

xxxx <<<

, в соответствии с

принципами золотой пропорции, согласно следующим соотношениям:

33

ϕ

0

A0

B

0B

2

0

A0

B

0

A

GP

0

C

xx

x

xx

−

−=

−

+=

,

2

0A0B

0B

0

A

0B

0A

GP

0

D

xx

x

xx

ϕϕ

−

=

−

+=

.

1.2. Если достигнута истинность выражения

ε

2xx

0A0B

<−

, то

итерации прекращаются, количество шагов итераций

0

s

GP

=

ε

и в

качестве приближенного значения действительного корня

уравнения

GP

x

ε

выбирается абсцисса

2

xx

x

0B0A

GP

+

=

ε

.

1.3. Если

ε

2xx

0A0B

≥−

, то осуществляется переход к

следующей итерации.

2. Итерация с индексом «N»

( )

1N ≥

:

2.1. Если

( )

(

)

0xf

xf

GP

1NC

GP

1NA

<⋅

−−

, то

( )

GP

1NA

GP AN

xx−=

,

( )

GP

1NC

GP BN

xx−=

,

( ) ( )

GP

1NA

GP

1NC

GP AN

GP BN

xxxx

−−

−=−

и получаем отрезок

[ ]

( ) ( )

[ ]

GP

1NCGP1NA

GP

BN

GP AN

x,xx,x

−−

=

.

2.2. Если

(

)

( )

(

)

0x

fx

f

GP

1N

D

GP

1

N

C

<⋅

−−

, то

( )

GP

1NC

GP AN

xx−=

,

( )

GP

1ND

GP BN

xx

−

=

,

(

) (

)

GP

1N

C

GP

1

N

D

GP AN

GP BN

xx

−

=−

и получаем отрезок

[ ]

( ) (

)

[ ]

GP

1ND

GP

1NC

GP

BN

GP AN

x

,xx,x

−−

=

.

2.3. Если

( )

(

)

0x

fxf

GP

1

NB

GP

1N

D

<⋅

−

, то

( )

GP

1

ND

GP AN

xx

−

=

,

( )

GP

1NB

GP BN

xx−=

,

(

) (

)

GP

1

N

D

GP

1N

B

GP AN

GP BN

x

xxx

−

=−

и получаем отрезок

[ ]

( ) ( )

[ ]

GP

1NBGP1ND

GP

BN

GP AN

x,xx,

x

−−

=

.

2.4. На искомом отрезке

[

]

GP

BN

GP AN

x,x

при соблюдении условий

GP BN

GP AN

xx <

и

( ) ( )

0xfxf

GP BN

GP AN

<⋅

выбираются точки с абсциссами

GP

CN

x

и

GP DN

x

, исходя из неравенства

GP BN

GP

DN

GP CN

GP AN

x

xxx

<<<

, в соответствии с

принципами золотой пропорции, согласно следующим соотношениям:

ϕϕ

GP AN

GP

BN

GP BN

2

GP AN

GP

BN

GP AN

GP

CN

xx

x

xx

−

−=

−

+=

,

34

2

GP AN

GP BN

GP

BN

GP AN

GP BN

GP AN

GP DN

xx

x

xx

ϕϕ

−

−=

−

+=

.

2.5. Если достигнута истинность выражения

ε

2xx

GP AN

GP BN

<−

, то

итерации прекращаются, количество шагов итераций

N

s

GP

=

ε

и в

качестве приближенного значения действительного корня

уравнения

GP

x

ε

выбирается абсцисса

2

xx

x

GP

BN

GP AN

GP N

+

=

.

2.6. Если

ε

2xx

GP AN

GP BN

≥−

, то осуществляется переход к

следующей итерации.

2.2. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ

Лабораторная работа по реализации приближенных решений алгебраических уравнений согласно методам половинного деления (дихотомии), комбинированного метода хорд и касательных (Ньютона), метода золотой пропорции для различных условий варьирования значений исходных данных с последующим проведением необходимых сравнительных анализов вычислительных процедур с использованием программы для ЭВМ

«Исследование алгебраических уравнений с применением численных методов» может быть разделена на два этапа.

I этап

−

«Приближенные решения алгебраических уравнений с использованием метода половинного деления (дихотомии), комбинированного метода хорд и касательных (Ньютона), метода золотой пропорции в зависимости от различных значений

0>

ε

с применением программы для ЭВМ «Исследование

алгебраических уравнений с применением численных методов»»

На данном этапе преподаватель для каждой из малых групп студентов, сформированных на первом этапе, предлагает различные значения коэффициентов

a

, b, c, d исходного уравнения вида

0dcxbxax

23

=+++

, значений

0A

x

,

0B

x

, а также несколько значений

ε

в рамках одной малой группы.

Студенты предварительно проводят анализ функции

( )

xf

на

предмет выявления количества действительных изолированных корней уравнения

( )

0xf =

и определения интервалов изоляции

35

для действительных корней, а также по предлагаемым значениям концов одного из отрезков изоляции

0

A

x

и

0

B

x

реализуют итерации

с индексами «0», «1» и «2» согласно методу половинного деления (дихотомии), комбинированному методу хорд и касательных (Ньютона) и методу золотой пропорции.

После этого студенты проведут соответствующие необходимые

расчеты с применением программы для ЭВМ «Исследование

алгебраических уравнений с применением численных методов».

II этап

−

«Сравнительный анализ методов половинного деления (дихотомии), комбинированного метода хорд и касательных (Ньютона), метода золотой пропорции в результате реализации приближенных решений алгебраических уравнений в зависимости от различных значений

ε

»

На данном этапе преподаватель для каждой из малых групп, сформированных на первом этапе, предлагает провести сравнительный анализ реализованных на втором этапе приближенных решений алгебраических уравнений в зависимости от различных значений

ε

.

Для этого, согласно результатам расчетов, необходимо заполнить совокупную таблицу 2 полученных значений в зависимости, во-первых, от численного метода вычислений, а вовторых, от значений

ε

, на основе которой формируются итоговые выводы по работе, заполняется отчет с последующей сдачей преподавателю и предлагается ответить на вопросы проверочного тестирования.

36

Таблица 2

Совокупная таблица для лабораторной работы по исследованию

алгебраических уравнений

Название

метода

Метод половинного деления

(дихотомии)

Комбинированный метод

хорд и касательных

(Ньютона)

Значение

ε

D

s

ε

D

x

ε

R

D

xx −

ε

( )

D

xf

ε

CT

s

ε

CT

x

ε

R

CT

x

−

ε

(

)

CT

x

f

ε

1

ε

…

X

ε

Название

метода

Метод золотой пропорции

Значение

ε

GP

s

ε

GP

x

ε

R

GP

xx −

ε

( )

GP

xf

ε

1

ε

…

X

ε

2.3. ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ С ПРИМЕРОМ

Рассмотрим схему работы программы «Исследование

алгебраических уравнений с применением численных методов»,

реализующей задачу нахождения приближенных значений действительных корней

ε

x

алгебраических уравнений вида

0dcxbxax

23

=+++

по заданным значениям коэффициентов

уравнения

a

, b, c, d, а также значениям

0A

x

,

0B

x

и ε.

Описание программы «Исследование алгебраических

уравнений с применением численных методов» приведем на примере приближенного решения уравнения

0dcxbxax

23

=+++

или

07x9x8x4

23

=+−−

с заданными значениями

03,0=

ε

,

9x

0

A

−=

и

1x

0B

−=

в сопровождении скриншотов программы для

ЭВМ.

37

По вводимым значениям исходных данных через единую визуальную форму (рис. 8) осуществляется вывод в виде автоматически создаваемой статической Интернет-страницы значений исходных данных (рис. 9), итоговых результатов вычислений (рис. 10), а также информации о значениях промежуточных результатов вычислений по методу половинного деления (дихотомии) (рис. 11), комбинированному методу хорд и касательных (Ньютона) (рис. 12) и методу золотой пропорции (рис. 13).

Рис. 8. Ввод значений исходных данных

38



Рис.9.Выводзначенийисходныхданных

39



Рис.10.Выводзначенийитоговыхрезультатов

40

Рис. 11. Вывод значений промежуточных результатов вычислений

по методу половинного деления (дихотомии)

