Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы. Исследование функций вещественного переменного с применением программ для ЭВМ. Практикум
.pdf
41
Рис. 12. Вывод значений промежуточных результатов вычислений
по комбинированному методу хорд и касательных (Ньютона)
42
Рис. 13. Вывод значений промежуточных результатов вычислений
по методу золотой пропорции
43
3. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ПО ИССЛЕДОВАНИЮ
ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИТЕГРАЛОВ
Название работы с указанием наименования программы и
соответствующего раздела высшей математики: приближенные
вычисления значений определенных интегралов по формулам
средних прямоугольников, прямоугольных трапеций,
параболических трапеций (Симпсона) и их сравнительный анализ
(программа «Исследование определенных интегралов с
применением численных методов», раздел «Интегральное
исчисление»).
Цель работы: реализовать приближенные вычисления
значений определенных интегралов по формулам средних
прямоугольников, прямоугольных трапеций, параболических
трапеций (формула Симпсона) для различных условий
варьирования значений исходных данных с последующим
проведением необходимых сравнительных анализов
вычислительных процедур с применением программы для ЭВМ
«Исследование определенных интегралов с применением
численных методов».
3.1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ АСПЕКТ
При вычислениях значений определенных интегралов нередко
встречаются следующие проблемы:
1. Невозможность или сложность выражения
первообразной функции через элементарные функции.
2. Аналитическое задание подинтегральной функции в виде
таблицы значений функции в зависимости от аргумента.
3. Графическое задание подинтегральной функции с
использованием соответствующего графика значений функции в
зависимости от аргумента.
В подобных ситуациях для вычисления приближенных
значений определенных интегралов используются численные
методы.
44
Согласно методу механических квадратур, подинтегральную
функцию
( )
xfy =
можно заменить интерполяционным
многочленом степени «S» в силу приближенных вычислений
значений функции
( )
xfy =
:
(
)
01
2
2
1
S
1S
S
S
S
axa
xa
...x
a
xa
xP
++
++
+
=
−
−
,
причем
( )
ii
S
y
x
P =
, где
N,...,1,0i =
.
Геометрическая интерпретация метода заключается в том, что
график исходной функции
( )
xfy =
заменяется «параболой степени
«S»», то есть
(
)
( )
01
2
2
1S
1
S
S
S
S
a
xaxa...xa
xa
xP
x
fy
+++++=
=
=
−
−
,
проходящей через «
1S
+
» точек графика данной функции.
В данной лабораторной работе интерполяционный многочлен
степени «S» представляется в следующем виде:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
.xx...xxa
...xxxxaxxaaxP
1n0S
102010S
−
−⋅⋅−⋅+
++−⋅−⋅+−⋅+=
Приближенное значение определенного интеграла от
подинтегральной функции
( )
xfy =
на заданном отрезке
[ ]
0B0A
x,x
равно значению определенного интеграла от интерполяционного
многочлена на заданном отрезке
[ ]
0B0A
x,x
, при этом осуществляется
деление данного отрезка на определенное количество равных
меньших отрезков, или шагов, в зависимости от заданного значения
количества шагов
α
s
или величины шага
α
h
, осуществляется расчет
приближенного значения определенного интеграла на каждом из
полученных отрезков с последующим нахождением приближенного
значения определенного интеграла на заданном отрезке
[ ]
0B0A
x,
x
как суммы найденных приближенных значений определенных
интегралов на каждом из равных меньших отрезков.
Таким образом, рассматриваемые в рамках данной
лабораторной работы численные методы используются для
приближенных вычислений определенных интегралов от
подинтегральных функций
)
x(f
на отрезке
[ ]
0
B0A
x,x
в зависимости
от заданного значения количества шагов
α
s
или величины шага
α
h
.
Рассмотрим логические основы реализации расчетов по
формулам средних прямоугольников, прямоугольных трапеций,
параболических трапеций (Симпсона) (замена подинтегральной
45
функции интерполяционными многочленами нулевой, первой и
второй степеней соответственно) для вычислений приближенных
значений определенных интегралов в зависимости от различных
значений
0
A
x
,
0
B
x
,
α
s
или
α
h
, заложенных в программу для ЭВМ
«Исследование определенных интегралов с применением
численных методов».
Формула средних прямоугольников
1. Замена подинтегральной функции интерполяционным
многочленом нулевой степени на отрезке
]h
x,
x
[]x,x[
0
0
10
α
+
=
.
Имеем одно заданное значение подинтегральной функции
( )
2121
xfy =
при
21
xx =
.
Тогда
( )
( )
0210
axfxP ==
и
( ) ( )
( )
210
xfxPxfy =≈=
.
В данном случае график подинтегральной функции
( )
xfy =
на отрезке
]hx
,x[]
x,x
[
00
10
α
+=
заменяется горизонтальной
прямой, проходящей через точку с координатами
( )
( )
++
=
2
h
x
f,
2
h
xx
f,x
002
121
α
α
.
2. Вычисление приближенного значения определенного
интеграла на отрезке
]hx,x[]x,x[
0010
α
+=
.
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
.xfh
2
h
x
2
h
xxf
dxxfdx
xPdxxfdxx
f
21212121
2
h
x
2
h
x
21
2
h
x
2
h
x
0
2
h
x
2
h
x
x
x
21
21
21
2
1
21
21
1
0
⋅=
+−
+⋅=
==≈=
∫∫∫∫
+
−
+
−
+
−
α
αα
α
α
α
α
α
α
Таким образом, приближенное значение определенного
интеграла на отрезке
]
hx,
x[]
x,
x[
001
0
α
+
=
равно площади
прямоугольника со значениями стороны
( )
2
1
xf
и высоты
α
h
.
3. Вычисление приближенного значения определенного
интеграла по формуле средних прямоугольников на отрезке
]b,a[
0
0
.
46
(
)
( )
.x
f
hdx
x
f
21
x
x
1
0
⋅≈
∫
α
(
) ( ) (
)
(
)
(
)
( )
( )
( )
.
x
fxfh
xf
h
xf
hdx
x
fdxxfdxxf
2
3
21
2
32
1
x
x
x
x
x
x
2
1
1
0
2
0
+⋅=
=⋅
+
⋅≈
+=
∫
∫∫
α
α
α
(
)
( )
( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
( )
(
)
(
)
.
xf
x
fxfh
xf
h
xf
hx
f
h
dxxfdxxfdxx
fdx
x
f
25
2
321
25
2
32
1
x
x
x
x
x
x
x
x
3
2
2
1
1
0
3
0
++⋅=
=⋅+
⋅
+⋅≈
≈
++=
∫∫
∫∫
α
α
αα
…………………………………………………………………
( ) ( )
( )
( )( )
.xfhdxxfdxxf
N
1J
21J2
N
1J
x
x
x
x
J
1J
N
0
∑∑
∫∫
=
−
=
⋅≈
=
−
α
Тогда приближенное значение определенного интеграла на
отрезке
]x,x[
0B0A
определяется согласно следующему
соотношению:
(
) (
) (
)
(
)
( )
( )
.x
fhdx
x
fdx
xfdx
xf
S
1J
2
1
J2
S
1J
x
x
x
x
x
x
J
1J
S
0
0B
0A
∑∑
∫∫
∫
=
−
=
⋅≈
==
−
α
В данной лабораторной работе использование формулы
средних прямоугольников имеет следующую реализацию (итерация
с индексом «N»
( )
1
N
≥
):
1. На отрезке
[ ]
0B0A
x,x
при соблюдении условия
0B0A
xx <
,
исходя из вводимого или рассчитанного значения величины шага
MR
h
α
(при вводимом значении количества шагов
MR
s
α
по формуле
MR
0A0B
MR
s
xx
h
α
α
−
=
) выбирается абсцисса точки подинтегральной
функции с координатами
( )( )
MR
N
MR
N
xf,x
, то есть
MR
N
x
, согласно
следующему соотношению:
MRMR
1N
MR
N
hxx
α
+=
−
.
2. Осуществляется вычисление площади элементарного
прямоугольника
MR
N
q
, значение высоты которого
47
MR
0
MR
1
MR
1N
MR
N
MR
xx
xxh −
=−=
−
α
, согласно следующему соотношению:
( )
( )
MR
21N2
MRMR
N
xfhq
−
⋅=
α
.
3. Осуществляется вычисление приближенного значения
определенного интеграла на отрезке
[ ]
MR
N0A
x,x
согласно
следующему соотношению:
( )
MR
N
MR
1N
MR
N
qII +=
−
αα
.
4. Если достигнута истинность выражения
0B
MR
N
x
x ≥
, то
итерации прекращаются, количество шагов итераций
Ns
MR
=
α
,
тогда приближенное значение определенного интеграла
MR
N
MR
IIαα=
.
5. Если
0B
MR
N
xx <
, то осуществляется переход к следующей
итерации.
Формула прямоугольных трапеций
1. Замена подинтегральной функции интерполяционным
многочленом первой степени на отрезке
]h
x,x[]
x,x
[
00
10
α
+
=
.
Имеем два заданных значения подинтегральной функции:
( )
00
xfy =
при
0
xx =
и
( )
α
hxfy
01
+=
при
α
hxx
x
01
+=
=
.
Тогда
( ) (
) ( ) ( )
( )
( )
α
α
h
xfx
f
ahax
fxxaax
fxP
01
1100110
11
−
=⇒⋅+=−⋅+=
=
и
( )
( )
( )
( ) (
)
( )
0
01
01
x
x
h
x
fxf
xf
xPxf
y −
⋅
−
+
=≈=
α
.
В данном случае график подинтегральной функции
( )
x
fy =
на отрезке
]hx,x[]x,x[
0010
α
+=
заменяется наклонной прямой,
проходящей через точки
( )( )
212
1
xf,x
и
( )(
) ( )( )
αα
hx
f,hxxf,x
0011
++=
.
2. Вычисление приближенного значения определенного
интеграла на отрезке
]hx,x[]x,x[
0010
α
+=
.
48
(
)
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
.
dx
x
x
h
x
fx
f
x
f
dx
x
P
dx
x
f
dxx
f
hx
x
0
0
1
0
hx
x
1
h
x
x
x
x
0
0
0
0
0
0
1
0
∫
∫
∫∫
+
+
+
−
⋅
−
+=
=
≈
=
α
α
α
α
Выполним замену переменной:
α
h
xx
t
0
−
=
,
α
h
tx
x
0
⋅+
=
,
dt
h
dx
α
=
.
0t
xx
0
=
⇒=
,
1t
h
xx
x
01
=⇒
+
==
α
.
Тогда
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( )( )
=⋅−+=
=
−⋅
−
+
∫
∫
+
1
0
010
hx
x
0
01
0
dttxfxfxfh
dxxx
h
xfxf
xf
0
0
α
α
α
( )
( ) ( ) ( ) ( )
.
2
xfxf
h
2
xfxf
xfh
1001
0
+
⋅=
−
+⋅=
αα
В итоге имеем:
( )
( ) ( )
.
2
x
fx
f
h
dxxf
10
x
x
1
0
+
⋅≈
∫
α
Таким образом, приближенное значение определенного
интеграла на отрезке
]h
x,
x[
]x,x[
00
10
α
+=
равно площади
прямоугольной трапеции со значениями оснований
( )
0
xf
,
( )
1
x
f
и
высотой
α
h
.
3. Вычисление приближенного значения определенного
интеграла по формуле прямоугольных трапеций на отрезке
]x,x[
0B0A
.
( )
( ) ( )
.
2
xfxf
hdxxf
10
x
x
1
0
+
⋅≈
∫
α
49
( ) ( )
(
)
( ) ( )
( )
( )
( ) (
)
( )
.
xf
2
xfxf
h
2
xf
xf
h
2
xfxf
h
dxx
fdx
x
fdxxf
1
20
2
1
10
x
x
x
x
x
x
2
1
1
0
2
0
+
+
⋅=
=
+
⋅
+
+
⋅=
≈
+=
∫
∫∫
α
αα
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
(
) ( )
( ) (
)
( )
( )
(
) ( )
.xfx
f
2
x
fx
f
h
2
x
fxf
h
2
xfx
f
h
2
x
fx
f
h
dxx
fdxxfdxxf
dxx
f
21
3
0
3
2
21
1
0
x
x
x
x
x
x
x
x
3
2
2
1
1
0
3
0
++
+
⋅=
=
+
⋅+
+
⋅+
+
⋅≈
≈
++=
∫∫∫∫
α
αα
α
….………………………………………………………………
( ) (
)
( ) ( )
( )
.xf
2
xfxf
hdxxfdxxf
1N
1J
J
N0
N
1
J
x
x
x
x
J
1J
N
0
+
+
⋅
≈
=
∑∑
∫∫
−
==
−
α
Тогда приближенное значение определенного интеграла на
отрезке
]x,x[
0B0
A
определяется согласно следующему
соотношению:
(
) (
) (
)
( )
( )
(
)
(
) ( )
( )
+
+
⋅=
=
+
+
⋅≈
≈
==
∑
∑
∑
∫
∫
∫
−
=
−
=
=
−
1S
1J
J
0B
0A
1
S
1
J
J
S
0
S
1
J
x
x
x
x
x
x
xf
2
xfx
f
h
xf
2
xf
x
f
h
dxx
fdx
xf
dx
xf
J
1J
S
0
0
B
0
A
α
α
В данной лабораторной работе использование формулы
прямоугольных трапеций имеет следующую реализацию (итерация
с индексом «N»
( )
1N
≥
):
1. На искомом отрезке
[ ]
0
B0A
x,x
при соблюдении условия
0B0A
xx <
, исходя из вводимого или рассчитанного значения
величины шага
TR
h
α
(при вводимом значении количества шагов
TR
s
α
50
по формуле
T
0A0B
TR
s
xx
h
α
α
−
=
), выбирается абсцисса точки
подинтегральной функции с координатами
( )( )
TR
N
TR
N
xf,x
, то есть
TR
N
x
,
согласно следующему соотношению:
TRTR
1N
TR
N
hxx
α
+=
−
.
2. Осуществляется расчет площади элементарной
прямоугольной трапеции
TR
N
q
, значение высоты которой
TR
0
TR
1
TR
1
N
TR
N
TR
x
x
xx
h −
=
−=
−
α
, согласно следующему соотношению:
(
)
( )
2
x
fx
f
hq
TR
N
TR
1
N
TRTR
N
+
⋅
=
−
α
.
3. Осуществляется расчет приближенного значения
определенного интеграла на отрезке
[ ]
TR
N0A
x,x
согласно
следующему соотношению:
(
)
TR
N
TR
1
N
TR
N
q
II
+
=
−
αα
.
4. Если достигнута истинность выражения
0B
TR
N
xx ≥
, то
итерации прекращаются, количество шагов итераций
NsTR=
α
, тогда
приближенное значение определенного интеграла
TR
N
TR
IIαα=
.
5. Если
0B
TR
N
xx <
, то осуществляется переход к следующей
итерации.
Формула параболических трапеций (Симпсона)
1. Замена подинтегральной функции интерполяционным
многочленом второй степени на отрезке
]h
x
,x
[
]
x,x
[
0
010
α
+
=
.
Имеем три заданных значения подинтегральной функции:
( )
00
xfy
=
при
0
xx =
,
( )
2h
xf
y
021
α
+=
при
2hxxx
021
α
+==
и
(
)
α
hx
fy
0
1
+=
при
α
h
xxx
01
+=
=
.
Тогда
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
.xf
2
h
hah
2h
xfxf
xf
xxxxaxxaaxP
12
021
0
21101201102
=+⋅
−
+=
=−⋅−⋅+−⋅+=
α
αα
α
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]