Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы. В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие
.pdf
Решение 1. Применим метод простой итерации (МПИ). Перепи-
x
x
1,3218
0,2714
eye
x
y
yx
,
(1)
(1)
.
0
у
e
(0)
x
e
(1)
k
x
y
k
(1)
1
k
у
e
()
k
x
e
1
. Далее органи-
до тех пор, пока
не станет меньше точности ε или
(, )xyF0
(10) (10)
xy
и
F
. На итерации
,
(10 )
ye
(10 )
xe
шем задачу в форме (119):
(0)
Пусть
x
(0)
y
0
, тогда
0
зуем итерационный процесс МПИ
(1) () ()
величина
kk k
δ
xx x
22
не выполнится приближённое равенство
(10 )
получаем, что
0,0047
0,0100
.
x
(10 )
y
10k
(10 )
x
(10 )
y
Вычисляем норму
стигнута точность
ε 0,01
2
.
. Значит, за десять итераций будет до-
0,01F
Решение 2. Применим метод Ньютона. Сформируем матрицу
ff
11
xy
Якоби
1
()
F
F
ff
22
xy
y
e
1
xy
e
1
1
Применим формулу
()()k
x
y
k
. Пусть
(0)
x
(0)
y
x
1
e
1
и найдём к ней обратную матрицу
y
e
1
.
e
1
(1) () () ()
kk k k
x x Fx Fx
0
, тогда при
0
() (),
81
вычислим
1k
где
()k
x
(0) (0)
x
y
yx
(1) ( 0) ( 0)
xx e ye
(1) (0)
yy
(0) (0)
xy
e
1
1
1
11
(0) (0)
xy
exe
(0)
0
Далее организуем итерационный процесс метода Ньютона до тех
(1) () ()
пор, пока величина
kk k
δ
xx x
22
ε или не выполнится приближённое равенство
(5)
имеем
5k
2,3e 4
3,8e 7
x
(5)
y
, откуда получаем
ций будет достигнута точность
1, 3096
0,2697
, и
ε 0,01
2
не станет меньше точности
(, )xyF0
(5) (5)
(, )
xy
F
2,3e 4F
. Значит, за пять итера-
. На итерации
(5) (5)
yx
(5) (5)
xy
.
exp ( )
exp ( )
Замечание. Метод Ньютона является методом второго порядка
сходимости в отличие от МПИ, который имеет первый порядок сходимости. Поэтому в методе Ньютона требуется в два раза меньше итераций для достижения требуемой точности.
Решение 3. Применим метод спуска. Решение системы нелиней-
ных уравнений сводится к минимизации скалярной функции
()()()
22
exe Gx
y
.
.
В методе наискорейшего спуска поиск решения выполняется по ан-
тиградиенту минимизируемой функции. Найдём её градиент
G
Gx
()
(1) () ()
kk k
x
G
y
xx Gx
найти такой коэффициент
мума, т. е. решить уравнение
данного уравнения затруднено, то параметр
xx y
2( )2( )
eye xe
2( ) 2 ( )
k
xyy
ye exe
()
, при этом
, при котором
k
(1)
()0
Gx
k
. Тогда очередное решение
(1) ()
kk
()()
k
Gx Gx
(1)
k
()
Gx
достигает мини-
. Если на практике решение
подбирают эксперимен-
k
. Требуется
тально. Возможный сценарий показан в таблице.
82
k
x
x
y
x
y
0 0 0 0.37 -1.0000 1.0000 1.4142
1 -1.4800 0.0000 0.20 -0.2276 -0.4800 0.5312
2 -1.3087 0.2831 0.20 0.0129 0.0185 0.0225
3 -1.3147 0.2681 0.20 -0.0004 -0.0072 0.0072
()k
()k
y
k
ye
k
()()kx
xe
k
()()ky
F
2
Методы градиентного спуска являются глобально сходящимися, ме-
тоды Ньютона и простой итерации считаются локально сходящимися.
Локально сходящиеся методы чувствительны к начальному приближению. Глобально сходящиеся методы имеют тенденцию стагнировать
в окрестности точного решения.
Наилучшая стратегия при решении систем нелинейных уравнений
заключается в комбинировании этих подходов: выполнить несколько
итераций методом градиентного спуска
и уточнить решение методом
Ньютона [6].
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕМЕ
«РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ»
Изучить и реализовать алгоритмы Ньютона и градиентного спуска
для решения систем нелинейных уравнений.
Решить системы уравнений
1.
22
xy
(2) 1,
xy
В отчёте привести величину
2.
1,
22
22
xy
(3) 1,
xy
1,
22
()Fx
2
22
xy
(1) 1.
xy
1,
22
в зависимости от номера ите-
рации (на одном графике для метода Ньютона и градиентного спуска).
В отчёте привести таблицы значений
3.
()k
и
()k
в зависимости от
номера итерации (отдельно для метода Ньютона и градиентного
спуска). Там, где существует единственное решение, привести норму
относительной ошибки на каждой итерации.
Выполнить пункты 2 и 3 для разных приближений
4.
(0)
и
(0)
.
83
ПОСЛЕСЛОВИЕ
Многообразие существующих методов исследования систем линей-
ных и нелинейных уравнений приводит к фундаментальному выводу
о том, что для многих задач в рамках вычислительной математики необходимо разрабатывать и реализовывать индивидуальные алгоритмы решения и программное обеспечение.
Успех специалиста нередко зависит не только от умения пользо-
ваться готовыми средствами
разработки, но и от теоретических знаний,
необходимых на этапе формальной постановки и анализа решаемой задачи в любой предметной области.
84
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. 2nd edition with correc-
1.
tions. – SIAM, 2003. – 528 p. – ISBN-13 978-0-898715-34-7. ISBN-10 0-89871534-2.
2.
Баландин М.Ю. Методы решения СЛАУ большой размерности /
М.Ю. Баландин, Э.П. Шурина. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000. – 70 с.
3.
Воеводин В.В. Матрицы и вычисления / В.В. Воеводин, Ю.А. Кузнецов. –
М.: Наука, 1984. – 320 с.
4.
Голуб Дж. Матричные вычисления / Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. – М. Мир,
1999. – 548 с.
5.
Уоткинс Д.С. Основы матричных вычислений / Д.С. Уоткинс. – М.: БИ-
НОМ. Лаборатория знаний, 2006. – 664 с.
6.
Фаддеев Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры / Д.К. Фад-
деев, В.Н. Фаддеева. – М.: Физматгиз, 1963. – 658 с.
85
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Сведения из линейной алгебры ....................................................................... 3
2. Ортогональные преобразования ..................................................................... 8
Вращение Гивенса ................................................................................................ 9
Преобразование Хаусхолдера ............................................................................ 11
Ортогонализация Грама–Шмидта ..................................................................... 13
3. Обусловленность СЛАУ ................................................................................. 21
4. Прямые методы решения СЛАУ .................................................................. 24
Практическое задание по теме «Прямые методы решения СЛАУ
с квадратной невырожденной матрицей» ......................................................... 29
5. Итерационные методы решения СЛАУ ...................................................... 30
Метод простой итерации .................................................................................... 31
Метод Якоби........................................................................................................ 31
Метод Гаусса–Зейделя ....................................................................................... 32
Метод релаксации ............................................................................................... 33
Практическое задание по теме «Итерационные методы решения СЛАУ
с квадратной невырожденной матрицей» ......................................................... 38
6. Проекционные методы ................................................................................... 40
Два варианта оптимальности ............................................................................. 44
Методы на подпространствах Крылова ............................................................ 44
Предобусловливание .......................................................................................... 45
Метод наискорейшего спуска ............................................................................ 47
Метод сопряжённых градиентов (CG) .............................................................. 52
Метод бисопряжённых градиентов (BiCG) ...................................................... 56
86
Практическое задание по теме «Проекционные методы
на подпространствах Крылова для решения СЛАУ с квадратной
невырожденной матрицей» ................................................................................ 61
7. Проблема собственных значений .................................................................. 63
Степенной метод: прямые итерации ................................................................. 64
Степенной метод: обратные итерации .............................................................. 65
Стратегия сдвига с обращением ........................................................................ 66
Унитарные преобразования подобия ................................................................ 67
8. Сингулярное разложение матриц (SVD) ..................................................... 70
Алгоритм на базе ортогональных преобразований.......................................... 71
Алгоритм с
Геометрическая интерпретация SVD ................................................................ 73
Практическое задание по теме «Собственные значения и SVD» ................... 76
9. Решение систем нелинейных уравнений ..................................................... 78
Практическое задание по теме «Решение нелинейных систем уравнений» .. 83
Послесловие ........................................................................................................... 84
Библиографический список .................................................................................. 85
исчерпыванием ............................................................................... 72
87
Иткина Наталья Борисовна
Марков Сергей Игоревич
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Учебное пособие
Редактор И.Л. Кескевич
Выпускающий редактор И.П. Брованова
Дизайн обложки А.В. Ладыжская
Компьютерная верстка Л.А. Веселовская
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции
Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)
__________________________________________________________________________
Подписано в печать 27.05.2022. Формат 60 × 84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 50 экз.
Уч.-изд. л. 5,11. Печ. л. 5,5. Изд. № 51. Заказ №
__________________________________________________________________________
Отпечатано в типографии
Новосибирского государственного технического университета
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
ЧАСТЬ 2
188. Цена договорная
88
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]