Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Численные методы. В 2 частях. Ч.2. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

3. ОБУСЛОВЛЕННОСТЬ СЛАУ

Обусловленность СЛАУ показывает, насколько относительная погрешность численного решения чувствительна к относительной погрешности задания правой части.

Пусть правая часть в задаче (1) задана с погрешностью



чим через

решение возмущённой СЛАУ вида

. Обозна-

δf

откуда



1111





x=A f δfAfAδfxAδf

()

  



из (1)

, (35)

Ax = f δf



, или

xx=Aδf

Теперь можно оценить относительную погрешность решения СЛАУ



δxxxAδf

1

11 1

 

δx δf

A δfAδfAf

  

xx x x f

 

число

обусловленности

, (36)

δf

где

– относительная погрешность задания правой части СЛАУ;

δx

– относительная погрешность решения СЛАУ.

Из (36) число обусловленности СЛАУ



Af Af

(,)

 

(37)



1

показывает, во сколько раз может возрасти относительная погрешность решения СЛАУ по сравнению с погрешностью правой части, т. е.

δx δf

(,)

. (38)

11

Замечание. Так как

Определим величину



Af Af

    

(,) sup sup .

Af x A f A A A



Af Af

(,) Af



Af A f

через матричные нормы

 

, то из (37)

11 1

 

(,)1Af

Вывод. Число обусловленности СЛАУ ограничено сверху числом обусловленности матрицы (15).

Получаем универсальную оценку относительной погрешности решения СЛАУ

δx δf

Cond ( )

, (39)

Cond ( )AAA

где

Пример. Найти

– число обусловленности матрицы A.

1, 03 0,991





Cond ( )A

, если



0,991 0,943



Решение. Находим

(13), (18), (19) и вычислим:

Cond ( ) 2,021 187,2 378

Cond ( ) 1,978 183,3 363

Cond ( ) 2,021 187,2 378

AAA



87, 4 91,8











91,8 95,4











. Применим формулы

Погрешность решения СЛАУ с матрицей A будет чувствительной к погрешности правой части, если она составит порядка 1 %.

Пример. Рассмотрим СЛАУ с матрицей A из предыдущего примера:

1, 03 0,991 2,51,

  



0,991 0,943 2,41,



(40)

а также СЛАУ с возмущённой правой частью

f δf

где

( 0,005;0,005)δf

Вычислим по формуле (17) нормы

Из системы (40) находим

0,4629)

, откуда



1, 03 0,991 2,505,

  





0,991 0,943 2, 415.



f



δf



100 % 0,2 %





(1,981; 0,4735)x



(0,896, 0,9364) δxxx

(41)

2,51

, а из (41)

δx

100 % 47,3 %

. Из (38) получаем, что

δx δf

( , ) / 236,5 

Погрешность решения СЛАУ возросла более чем в 236 раз.

, тогда

0,005

δf





(2,877;x



0,9364

δx



4. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ

Прямые методы позволяют получить точное решение задачи (1) за конечное число действий. Рассмотрим классический метод Гаусса, который заключается в приведении матрицы СЛАУ к верхнему (или нижнему) треугольному виду на базе элементарных преобразований (перестановка, сложение строк и умножение на число) и шага исключения по строкам или столбцам.

Пример. Решить СЛАУ методом

21 3

 

12 3



Приведём матрицу к верхнему треугольному виду путём умножения первой строки на (–1/2) и сложения со второй строкой

21 2 1

   

 

чаем преобразованную СЛАУ

чения

ния

выбора ведущего элемента. Стратегия частичного выбора ведущего элемента заключается в поиске наибольшего по модулю элемента

в столбце ются. Стратегия полного выбора ведущего элемента – поиск наибольшего



12 01,5

(1, 1)x

Замечание. Обратите внимание, что

не сохраняют длину вектора.

Для уменьшения погрешности вычислений используют стратегию

aakin

ii ki

, правая часть также изменится

max , ,



Гаусса



x .

  



  

31,5

  

21 3

 

01,5 1,5



. Строки с номерами i и k переставля-



x , откуда путём исклю-

элементарные преобразова-

. Полу-

по модулю элемента в подматрице



Строки с номерами

i и k, а также столбцы с номерами i и m переставля-

max , , , ,

aakinmin

ii km



ются.

Замечание. Асимптотическая сложность классического метода Гаусса –

Пусть

()On

– матрица элементарного преобразования. Тогда матрицу

СЛАУ можно привести к верхнему треугольному виду

UP PPA , (42)

121n

где U – верхняя треугольная матрица.

Существует нижняя треугольная матрица L такая, что

()

121

n

LP PP A A . (43)

Получаем метод LU-факторизации (алгебраическая форма метода Гаусса)

где

 

11 1

LPP P

12 1



()Ax LU x f , (44)

Решение СЛАУ разбивается на два этапа. Сначала решаем СЛАУ с нижней треугольной матрицей

Lyf , (45)

затем получаем результат как решение СЛАУ с верхней треугольной матрицей

Ux

Замечание. Строить матрицу

. (46)

в явном виде не нужно. Предположим, что матрица U уже построена на первом шаге метода Гаусса. Разложение A = LU определим в виде

aa a uu u



11 12 1 11 12 1



au a l u u

21 22 2 21 22 2



ALU





... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...



aa a ll u

12 12

nn nn nn nn



... ... 1 0 ...

Тогда для второй строки можно записать

где

ua . Аналогично для 31l . Запишем общую рекуррентную фор-

11 11

lu a ,

21 11 21

21 21 11

/lau ,

мулу [1, 2]





. (47)







la luu



ij ij ik kj jj



Замечание. LU-факторизация не изменяет вектор правой части. Таким образом, если требуется решить ряд СЛАУ с разными правыми частями, но с одной матрицей, то метод LU-разложения будет эффективнее, чем метод Гаусса.

Замечание. Разложение гда, когда отличны от нуля главные миноры матрицы

существует тогда и только то-

ALU

Пример. Выполнить LU-факторизацию матрицы

221



 

10 2

 

012





Решение. Приведём данную матрицу к верхнему треугольному виду путём элементарных преобразований: умножим первую строку на

1/2 и сложим её со второй строкой, далее сложим вторую и третью строки

(0,5)



Значит, матрица

221 22 1 22 1

    

     

10 2 0 12,5 0 12,5.

     

012 01 2 00 0,5

  

11 11 11

/1lau,

()1lalu



22 22 21 12

33 33 31 13 32 23









22 1

 

 



012,5

 

00 0,5



21 21 11

/0,5lau,





. По формуле (47) вычисляем:



1lalulu

/0lau,

31 31 11

()1lalu



32 32 31 12

100



Получаем



0,5 1 0



 

011





. Проверьте, что LU = A.

Кроме LU-разложения существуют другие специальные типы разложений. Например, для матриц семейства SPD применяется разложение по методу Холесского (метод квадратного корня). Для симметричной

UL

матрицы

, тогда рекуррентные формулы примут вид [1, 2]





, j < i. (48)





la l



ii ii ik





lall



ij ij ik jk







Используется также разложение

ALDU

, где D – диагональная матрица; L – нижняя треугольная матрица с единичной диагональю; U – верхняя треугольная матрица с единичной диагональю. Для SPD-мат-

риц можно построить

LDL -разложение.

Рассмотрим QR-разложение для решения СЛАУ (1)

()Ax QR x f

. (49)

Решение задачи требуется разбить на два этапа. Сначала решается

СЛАУ с ортогональной матрицей Q

Qyf

1 T

yQfQf

(50)

затем получаем результат как решение СЛАУ с верхней треугольной матрицей

. (51)

Rx

Замечание. Вычислительно QR-разложение является более

устойчивым алгоритмом, чем LU-разложение.

Пример. Решить систему линейных алгебраических уравнений ме-

тодами на базе LU- и QR-факторизации матрицы

221 5

 

 

10 2 1

 

012 3





Решение. Воспользуемся ранее полученным LU-разложением

221 1 00 22 1

  

  

для матрицы

  

10 2 0,5100 12,5

     

012 0 1100 0,5

  

  





Применим формулы (45) и (46):



     

Ly y

13,5

  

     

30,5

  

Ux x



   

3, 5 1

  

   



0,5 1

 

Воспользуемся ранее полученным QR-разложением для матрицы



2/ 5 2/3 5 1/3 5 4/ 5 0

221



 

1 0 2 1/ 5 4/3 5 2/3 0 3/ 5 4 5/3

 

012 0 0 1/3



 



  



05/32/3







Применим формулы (50) и (51):

 

2/ 5 2/3 5 1/3 9/ 5



 

1/ 5 4/3 5 2/3 1 1 29/3 5

   

 

05/32/3

 







54/5 0 9/5



0 3/ 5 4 5/3 29/3 5 1

 

00 1/3 1/3 1

 





   

yyQ

   

331/3

 





 

  

Замечание. Решать СЛАУ с треугольной матрицей можно любым из методов прямой или обратной подстановки по столбцам или строкам.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ ПО ТЕМЕ

«ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ

С КВАДРАТНОЙ НЕВЫРОЖДЕННОЙ МАТРИЦЕЙ»

Изучить, реализовать и верифицировать методы Гаусса с ведущим элементом, LU-разложения, QR-разложения для СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей.

Разработать алгоритмы, реализующие методы Гаусса с ведущим

элементом, LU-разложения, QR-разложения для СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей.

Выполнить верификацию разработанной программы, в отчёте

привести относительную погрешность численного решения в виде

δ

где x – численное решение;

Для размера системы n = 100, 200, 300, 400, 500 выполнить замер

x – точное решение.

времени решения СЛАУ (с учётом разложения для LU- и QR-методов), в отчёте привести графики зависимости времени от размера системы.

Сгенерировать СЛАУ с матрицей Гильберта, элементы которой

вычисляются по формуле

вычислить величину





. Для размера системы n = 2, 5, 10

5. ИТЕРАЦИОННЫЕ

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений

Ax f

, (52)

nnR

A ,

где

Обозначим приближённое решение задачи (52) как

f ,

x .



. Тогда вектор

ошибки решения СЛАУ



exx

, (53)

вектор невязки

 r f Ax Ae



. (54)

Основная идея итерационных методов основана на минимизации нормы вектора ошибки в некотором банаховом пространстве. Необхо-



димо найти такой вектор

, который за k < n действий доставлял бы

минимум нормы вектора ошибки с заранее заданной точностью ε. Тогда существует предел

()k



xx

. (55)

k

Для задачи (52) общая формула всех итерационных методов имеет вид

(1) ()kk

BE A

где щепления;

xBxb

1

– матрица итерационного перехода;  – матрица рас-

1

bf

– вектор правой части.

, (56)

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]