Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Численные методы. Учебно-методический комплекс.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 226 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

	0	0	0		a		0	0
A1				,		11	a22
A1	= a21	0	0	,	D =	0	a22	0	.
		a32	0			0	0
	a31	a32	0			0	0	a33

В случае симметричной положительно определенной матрицы A метод сходится при 0 <ω < 2 .

Для получения расчетных формул перепишем (4) в виде

( E +ω D−1 A1 )xn+1 =((1 −ω )E −ω D−1 A2 )xn +ω D−1 f ,

где

			0	a	a
				12	13
		A2 =	0 0		a23	.
			0	0	0
В покомпонентной записи получим						∑ aij		xnj +ω fi ,
xin+1 +ω∑ aij		xnj +1 =(1 −ω )xin −ω				∑ aij		xnj +ω fi ,
i−1						m
j=1	aii					j=i+1	aii		aii

i =1,2,K,m .

Отсюда последовательно, начиная с i =1, находим все xin+1 :

m a1 j

xn+1

=(1 −ω )xn −ω ∑

+ω

j=2 a11

a11

a2 j

xn+1

= −ω

xn+1

+(1 −ω )xn −ω ∑

xn +ω

j=2 a22

a22

a11

и т.д.

7. Метод прогонки. Метод применим в случае, когда матрица A трехдиагональная. Общая постановка задачи имеет следующий вид.

Дана СЛАУ с трехдиагональной матрицей A . Развернутая запись этой системы имеет вид

										,	(1)
αi xi−1 − βi xi + γi xi+1 = δi , α1 = γn = 0, i =1,n
которому соответствует расширенная матрица
		− β	1	γ	1	0	0 K 0	0	δ
		α2				γ2	0 K 0	0	1
				− β2					δ2
A1 =		0		α3		− β3	γ3 K 0	0
									δ3 .
		K		K		K	K K K	K	K
		0		0		K K K αn		− βn
									δn
Знак «-» при коэффициенте βi взят для более удобного
представления расчетных формул метода.								системы			(1) методом
Требуется найти	решение					x* =( x1,K,xn )T

исключения Гаусса. Если к системе применить алгоритм прямого

хода метода Гаусса, то вместо получится ~ :

A1 A1

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

		1		− P	0	0	K Q
			0	1	− P2	0	1
~			0	1	− P2	0	K Q2
~	=		0	0	1	− P3
A1	=		0	0	1	− P3	K Q3 .
		K		K	K	K	K K
			0	0	0	1	K Q
							n

Учитывая, что последний столбец в этой матрице соответствует правой части, и переходя к системе, включающей неизвестные, получаем рекуррентную формулу:

		.	(2)
xi = Pi xi+1 + Qi , i =1,n −1

Соотношение (2) есть формула обратного хода, а формулы для коэффициентов Pi , Qi , которые называются прогоночными, опреде-

ляются по формулам:

Pi =

γi

, Qi =

αiQi−1 −δi

, i =1,n −1.

(3)

−α

i−1

Определение прогоночных коэффициентов по формулам (3) соответствует прямому ходу прогонки.

Обратный ход метода прогонки начинается с вычисления xn по формуле:

xn =	αnQn−1 −δn					, т.е. xn = Qn .	(4)
	β	n	−α	n	P
		n		n	n−1
Остальные значения неизвестных находятся							рекуррентно по

формуле (2).

Замечания. 1. Алгоритм метода прогонки называется корректным, если для всех i =1,n βi −αi Pi−1 ≠ 0 , и устойчивым, если | Pi |<1, i =1,n −1.

2. Достаточным условием корректности и устойчивости прогонки является условие преобладания диагональных элементов в

матрице A , в которой αi ≠ 0 и γi ≠ 0 ( i = 2,n −1) :

|βi |≥|αi |+|γi |

(5)

и в (5) имеет место строгое неравенство хотя бы при одном i . 3. Алгоритм метода прогонки является очень экономичным и

требует для своей реализации количество операций, пропорциональное n .

Вопросы

1.Методы решения СЛУ.

2.Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса с выбором главного элемента.

3.Прямые методы

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

4.Итерационные методы решения СЛУ.

5.Итерационный метод Зейделя. Условия сходимости.

Тема. Численные методы решения задач на собственные значения.

Постановка задачи. При решении теоретических и практических задач часто возникает необходимость определить собственные значения данной матрицы A , т.е. вычислить корни ее векового (харак-

теристического) уравнения

det( A − λE ) = 0,

(1)

а также найти соответствующие собственные векторы матрицы A . Вторая задача является более простой, так как если корни характеристического уравнения известны, то нахождение собственных векторов сводится к отысканию ненулевых решений некоторых однородных линейных систем. Поэтому в первую очередь рассмотрим первую задачу – вычисление корней характеристического уравнения (1).

Здесь в основном применяется два приема: 1) развертывание векового определителя в полином n -ой степени

D( λ ) = det( A − λE )

с последующим решением уравнения D( λ ) = 0 одним из известных приближенных способов и 2) приближенное определение корней характеристического уравнения (чаще всего наибольших по модулю) методом итерации, без предварительного развертывания векового определителя.

Перейдем к изложению основных методов решения поставленной

задачи, причем начнемсразвертываниявековых определителей.
1. Развертывание вековых определителей.
Определение. Вековым определителем				матрицы A = [ aij ]		назы-
вается определитель вида	a11 − λ	a12		a1n
			K

D( λ ) = det( A − λE ) =	a21	a22 − λ	K	a2n	.	(1)
	K	K	K	K
	an1	an2	L ann − λ

Приравнивая этот определитель нулю, получаем характеристи-

ческое уравнение

D( λ ) = 0 .

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

Если требуется найти все корни характеристического уравнения, то целесообразно предварительно вычислить определитель (1).

Развертывая определитель (1), получаем полином n -ой степени

D( λ ) = ( −1)n [ λn −σ1λn−1 +σ2λn−2 −K+( −1)n σn ],				(2)
где		n
		n
	σ1 = ∑aαα
		α=1
есть сумма всех диагональных миноров первого порядка
матрицы A .		aαα	aαβ
σ2	= ∑	aαα	aαβ
	α<β	aβα	aββ

есть сумма всех диагональных миноров второго порядка матрицы A и т.д. Наконец,

	σn = det A.
Легко убедиться, что число диагональных миноров k -го порядка
матрицы A равно
Cnk =	n( n −1)K( n − k +1)	( k =1,2,3,...,n ).
	k!

Отсюда следует, что непосредственное вычисление коэффициентов характеристического полинома (2) эквивалентно вычислению

Cn1 + Cn2 + Cn3 +K+ Cnn = 2n −1

определителей различных порядков. Последняя задача, вообще говоря, технически трудноосуществима для сколько-нибудь больших значений n . Поэтому созданы специальные методы развертывания вековых определителей (методы А. Н. Крылова, А. М. Данилевского, Леверрье, метод неопределенных коэффициентов и др.). В дальнейшем мы изложим некоторые из этих методов.

2. Метод А. М. Данилевского. Сущность метода А. М.

Данилевского заключается в приведении векового определителя к так называемому нормальному виду Фробениуса

	p1 − λ p2		p3	K pn
	p1 − λ p2		p3	K pn
	1	− λ	0	K	0	.	(1)
D( λ ) =	0	1	− λ	K	0	.	(1)
	K	K	K	K	0
	0	0	0	K − λ
Если нам удалось записать вековой определитель в форме (1),
то, разлагая его по элементам первой строки, будем иметь:
D( λ ) =( p1 − λ )( −λ )n−1 − p2 ( −λ )n−2 + p3 ( −λ )n−3 −K+( −1)n−1 pn ] или							(2)
D( λ ) = ( −1)n ( λn		− p1λn−1 − p2 λn−2			− p3λn−3 −K− pn ).		(2)

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

Таким образом, развертывание векового определителя, записанного в нормальной форме (1), не представляет затруднений.

Обозначим через

	a				a	K	a
		11			12		1n
	a21				a22	K a2n
A =								.
		K			K K K
					an2
	an1				an2	L ann
данную матрицу, а через
p			p	2	K	p	n−1	p
	1			2			n−1	n
	1		0		K	0		0
P =	0		1		K	0		0
								0
K K K						K		0
	0		0		K	1		0
	0		0		K	1		0

подобную ей матрицу Фробениуса, т.е.

P = S −1 AS ,

где S - неособенная матрица.

Так как подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими полиномами, то имеем:

det( A − λE ) = det( P − λE ).

(3)

Поэтому для обоснования метода достаточно показать, каким

образом, исходя из матрицы A ,

строится матрица P . Согласно методу

А. М. Данилевского, переход от матрицы A к подобной ей матрице P

осуществляется с помощью

n −1 преобразований подобия, последо-

вательно преобразующих строки матрицы A ,

начиная с последней, в

соответствующие строки матрицы P .

На первом этапе находят:

n−1

mn−1,1 mn−1,2 K

mn−1,n−1

mn−1,n

где mn−1,n−1

, mn−1, j = −

an, j

;

an,n−1

1,n−1

b21

b22

K b2,n−1

b2n

B =

n−1

K K K K K

bn−1,1 bn−1,2

K bn−1,n−1 bn−1,n

bij = aij + ai ,n−1mn−1, j (1 ≤ i ≤ n; j ≠ n −1);

где b

= a

i ,n−1

n−1,n−1

(1 ≤ i ≤ n );

i ,n−1

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

M n−−11 = K

an10

C = M n−−11 B = M n−−11 AM n−1 (матрица C приведенную строку);

0	K	0	0
1		0	0
1	K	0	0
K	K	K	K	;

an2	K an,n−1		ann
0	K	0	1
0	K	0	1

подобна матрице A и имеет одну

	c	c	K	c	c
	11	12		1,n−1	1n
	c21	c22	K c2,n−1		c2n
C =	K	K	K	K	K	,

cn−1,1		cn−1,2	K cn−1,n−1		cn−1,n
	0	0	K	1	0
	0	0	K	1	0

где cij = bij ( i =1,2,3,...,n ) ,	cn−1, j = ∑ank bkj	( j =1,2,3,...,n ) . Этим	заканчивается
	n
первый этап процесса.	k =1
первый этап процесса.
Далее, если cn−1,n−2 ≠ 0 ,	то над матрицей C можно повторить анало-
гичные операции, взяв за основную		n − 2 -ю ее строку.	В результате
получим матрицу

D= M n−−12CM n−2

сдвумя приведенными строками. Над последней матрицей

проделываем те же операции. Продолжая этот процесс, мы, наконец, получим матрицу Фробениуса

P = M1−1 KM n−−12 M n−−11 AM n−1M n−2 KM1 ,

если, конечно, все n −1 промежуточных преобразований возможны.

Метод А. М. Данилевского дает возможность определять собственные векторы данной матрицы A , если известны ее собственные

значения.	Пусть				λi ( i =1,2,K) - собственные значения матрицы A , а,
следовательно,				и собственные значения матрицы Фробениуса P . Это
вытекает	из	соотношения (3). Тогда собственные векторы							i по
вытекает	из	соотношения (3). Тогда собственные векторы						X	i по
методу А. М. Данилевского определяют из соотношения
							i = M n−1M n−2 KM1Yi ,
						X	i = M n−1M n−2 KM1Yi ,
		λn−1
		i
		λn−2
где		i			( i =1,2,K) - собственные векторы, соответствующие

	Yi =	K
		λ	i
			i
		1

собственным значениям λi матрицы Фробениуса P .

Каждое умножение в правой части этого равенства, начиная с M1Yi , позволяет определить одну из координат вектора X i .

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 226 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

7. Метод прогонки. Метод применим в случае, когда матрица A трехдиагональная. Общая постановка задачи имеет следующий вид.

Вопросы

1. Развертывание вековых определителей.

2. Метод А. М. Данилевского. Сущность метода А. М.