Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Численные методы. Учебно-методический комплекс.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2221 22 > Следующая >>>

Методические рекомендации
Пусть корень ξ	корень уравнения f ( x ) = 0 отделен на отрезке
[a,b], причем f ' ( x ) и	f " ( x ) непрерывны и сохраняют определенные
знаки при a≤ x≤ b.				(a≤ xn≤ b),
Найдя какое-нибудь приближенное значение корня xn =ξ
можем уточнить его по методу Ньютона. Положим				(1)
			ξ = xn + hn
где hn – малая величина. Отсюда, применяя формулу Тейлора,
получим:	0 = f ( xn + hn ) ≈ f ( xn ) + hn f ' ( xn ) .

Следовательно,	hn = −	f ( xn )	.

f ' ( xn )

Внеся эту поправку в формулу (1), найдем следующее приближение корня

xn+1 = xn −	f ( xn )	( n = 0,1,2,...) .
	f ' ( xn )

Тема. Численное интегрирование.

Формула трапеции

Задание: Вычислить погрешность результата. Построить график подынтегральной функции.

1.1)

0,6x +1.7dx

;

1,2

sin(1.5x + 0.3)dx

;

∫

;

2.3 + cos(0.4x

1.2 2.1x + 0.7x

0,4

2 , 4

0 , 4 x 2 + 1 . 5 dx ;

1,2

соs(x

+ 0.8)dx

; ;

∫

1.5 + sin(0.6 x

+ 0.5)

0 , 8

2 . 5

2 x

+ 0 ,8

0,4

2,8

0,4x2 +1.5dx

1,3

sin(0.7 x + 0.4)dx

∫

;

∫

;

1.4

1.3x

+ 0,5

2.2 + cos(0.3x

0.7)

1.2

0,5

2,4

1.1x2 + 0.9dx

;

1,4

соs(0,8x 2 + 1)dx

∫

;

1.6 +

0.8x

+1.4

1.4 + sin(0.3x

+ 0.5)

0.6

0,4

2,1

0,6x

+1.5dx

;

10)

sin(0.8x 2

+ 0.3)dx

∫

;

2x +

+ 3

0.7 + cos(1.2x

+ 0.3)

0,7

0,2

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

2,4

1.5x + 2.3dx

1.1

соs(0,3x

+ 0.5)dx

11)

∫

;

12)

∫

;

3 + 0.3x

1.8 + sin(x

+ 0.8)

0,8

0,3

13)

2,6

2x +1.7dx

1,1

sin(0.6 x 2 + 0.3)dx

∫

;

14) ∫

;

2.4 + 1.2x

0.6

2,4 + cos(x

+ 0.5)

0,9

0,3

Методические рекомендации

Для вычисления интеграла b∫ y dx

разделим промежуток интегри-

рования [a,b] на n равных частей, к каждому из них применим формулу трапеций. Полагая h = (b − a)/ n , находим

b	y	0		y	n
∫ y dx = h			+ y1 + y2 +K+ yn−2 + yn−1 +			.
	2
a				2

Это общая формула трапеций. Остаточный член формулы:

R = − (b − a)h2 y′′(ξ), где ξ [a,b].

Формула Симпсона.

Задание: Выполнить задание Вычислить погрешность результата. Построить график подын-

тегральной функции.

		1.6		dx		2)	2	lq(x + 2)
1.	1) ∫				;		∫								dx;
				2x 2
		0.8			+1	1.2					x
2.	1)	2.7		dx		2)	2.4			(x +1) sin xdx;
		∫			;		∫
		1.2		x 2 + 3.2			1.6
		2		dx			1		lq(x			2	)
3.	1) ∫				;	2)	∫							dx;
									2
		1	2x 2 +1.3				0.2			x	+1
4.	1)	1.2		dx		2)	1.4			cos x				dx;
		∫			;		∫
										x	+		1
		0.2		x 2 +1			0.6
5.	1)	1.4		dx		2)	1.2				x cos(x 2 )dx;
		∫			;		∫
		0.8		2x 2 +1			0.4
6.	1)	1.2		dx		2)	1.2			sin(2x)						dx;
		∫			;		∫
											x2
		0.4		2 + 0.5x 2			0.6

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

2.1

1.6

lq(x

+1)

7. 1) ∫

;

∫

dx;

1.4

3x 2 −1

0.8

2.4

1.2

cos x

8. 1) ∫

;

∫

dx;

+ 2

1.2

0.5 + x 2

0.4

1.2

9. 1) ∫

;

∫

(2x + 0.5) sin xdx;

0.4

3 + x 2

0.4

10. 1)

1.5

0.8

lq(x

+ 0.5)

dx;

∫

;

∫

0.6

1 + 2x 2

0.4

1 + 2x 2

11. 1)

3.5

0.98

sin x

dx;

∫

;

∫

x 2 −1

0.18

12. 1)

1.3

1.8

x +1 cos(x 2 )dx;

∫

;

∫

0.5

x 2 + 2

0.2

13. 1)

2.6

x 2lqxdx;

∫

;

∫

1.2

x 2 + 0.6

1.4

14. 1)

2.2

lq(x

+ 2)

dx;

∫

;

∫

1.4

3x 2 +1

1.4

x +1

Методические рекомендации

Пусть n=2m есть четное число и yi

= f ( xi )

- значения функции для

равноотстоящих точек a = x0 ,x1 ,...,xn = b

с шагом h =

b − a

Тогда общая

формула Симпсона имеет следующий вид:

y dx =

[(y

+ y

)+ 4(y + y

+K+ y

)+ 2(y

+ y

+K+ y

)].

∫

2m−1

2m−2

Остаточный член формулы Симпсона определяется по формуле:

R = −( b − a )h4

y IV (ε), a ≤ ε ≤ b.

180

Тема. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

Метод Эйлера-Коши.

Задание:

№1.	y' = x2 + y2 ,	№2.	y' = xy + y2 ,	№3.	y' = y − x,	№4.	y' = ex cos y,
	y(0) = 0.		y(0) = 0,1.		y(0) =1,5.		y(0) = 2.

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

№5.	y' = xy / 2,	№6.	y' =1 − sin x, №7.		y' = x + y2 ,
	y(0) =1.		y(0) =1.		y(0) = 0.
№8.	y' =1 + 0,2ysin x − y2 , №9.			y' = x2 + y, №10. y' = cos(x + y) + 0,5(x − y),
	y(0) = 0.			y(0) =1.	y(0) = 0.

№11.	y' = 2x − 0,1y2	№12.	y' = cos x /(x +1) − 0,5y2		№13.	y' = x2 + y2 ,
	y(0) =1		y(0) = 0			y(0) = 0,1.
№14.	y' = (1 − y2 )cos x + 0,6y, №15.			y' = x2 − xy,	№16. y' =1 + 0,4ysin x −1,5y2 ,
	y(0) = 0.			y(0) = 0,1.		y(0) = 0.

Методические рекомендации

Метод Эйлера-Коши состоит в том, что сначала определяют «грубое приближение»

затем вычисляют ~i+1 =

~yi+1 = yi + hfi ,

f ( xi+1	, yi+1 ) и приближенно полагают
	~
		~
	yi+1 = yi + h	fi + fi+1	.
	yi+1 = yi + h	2	.
		2

Метод Рунге-Кутта.

Задание:


№1. y' = cos(2x + y) +1,5(x − y),				y(0) = 0.
№2. y' =1			−0,1y /(x + 2) −sin(2x + y),	y(0) = 0.
№3. y' = cos y /(1,25 + x) − 0,1y2 ,				y(0) = 0.
№4. y' =1			+ 0,8ysin x − 2y2 ,	y(0) = 0.
№5. y' = cos(1,5x + y) +1,5(x − y),				y(0) = 0.
№6.	y' =1		−sin(2x + y) + 0,3y /(x + 2),	y(0) = 0.
№7.	y' = cos y /(1,75 + x) − 0,5y2 ,			y (0)= 0.
№8.	y' =1		+ (1− x)sin y − (2 + x)y,	y (0)= 0.
№9.	y' = (0,8 − y2 ) cos x + 0,3y,			y (0)= 0.
№10. y' =			1+ 2,2sin x +1,5y2 ,	y (0)= 0.
№11.		y' = cos(x + y) + 0,75(x − y),		y (0)= 0.
№12.		y' =	1−sin(1,25 + y) + 0,5y /(x + 2),	y (0)= 0.
№13.		y' = cos y /(x + 2) − 0,3y2 ,		y (0)= 0.
№14.		y' =	1−sin(1,75x + y) + 0,1y /(x + 2),	y (0)= 0.

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

Методические рекомендации

Расчетные формулы метода Рунге-Кутта имеют вид

yi+1	= yi +	1	( k1( i ) + 2k2( i )			+ 2k3( i ) + k4( i ) ) ( i = 0,1,2 ) ,
где		6
где				k1( i ) = hf ( xi , yi ) ,
				k1( i ) = hf ( xi , yi ) ,
			( i )				h		( i )
			( i )				h		k1	,
		k2		= hf xi	+			, yi +
		k2		= hf xi	+	2		, yi +	2
						2			2
			( i )				h		( i )
			( i )				h		k2	,
		k3		= hf xi	+			, yi +
		k3		= hf xi	+	2		, yi +	2
						2			2

k4( i ) = hf (xi + h, yi + k3( i ) ).

5.Задания для самопроверки и подготовки к экзамену,

втом числе тесты

1.К точным методам решения СЛАУ относятся:

A)метод Гаусса, метод итерации, метод релаксации

B)метод Зейделя, метод скорейшего спуска, метод прогонки

C)метод главных элементов, метод квадратных корней, метод

Крамера

D)метод итерации, метод релаксации, метод Зейделя

E)метод сопряженных градиентов, поперечно-треугольный

метод

2.Отрезок интегрирования [1,2; 1,8] разбит на 10 частей. Найдите шаг h.

A)h=0,06

B)h=0,5555

C)h=0,05

D)h=0,4

E)нет верного ответа

3.Вычислить сферическую норму || x ||3 вектора х = (1,0,0,4)

A) 17

B) 15

C) 5

D) 8

E)нет верного ответа.

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

4. Вычислить первую норму матрицы A по формуле							n
4. Вычислить первую норму матрицы A по формуле					A	1	= max ∑	aij
5		− 4	0	2			i j=1
5		− 4	0	2
	−1	1	1	−1
	−1	1	1	−1
A =	2	3	1	− 6
	2	3	1	− 6
	1	0	2	−1
	1	0	2	−1

A)11

B)12

C)0

D)-5

E)4

5. Метод касательных применяется для

A) отделения корней алгебраического уравнения B) нахождения определителя матрицы

C) нахождения чисел обусловленности матрицы D) вычисления произведения матриц

E) нет верного ответа

6. Дано нелинейное уравнение. Отделить интервал [a,b], содержащий корень данного уравнения: 3x3 −9x +1 = 0 .

A) [-2,-1]

B) [0,1]

C) [2,3

D) [1,2]

E) нет верного ответа.

7. [xi , xi +1,...xi +n ]= [xi +1,...xi +n ]−−[xi ,...xi +n−1]. Это

xi +n xi

A)конечные разности n-го порядка

B)разделенные разности n-го порядка

C)разделенные разности i+n-го порядка

D)погрешность интерполяции

E)приращение функции

8.К итерационным методам решения СЛАУ относятся:

A)метод Гаусса, метод итерации, метод релаксации

B)метод Зейделя, метод скорейшего спуска, метод прогонки

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

C)метод главных элементов, метод квадратных корней, метод

Крамера

D)метод итерации, метод релаксации, метод Зейделя

E)метод сопряженных градиентов, метод Крамера

9. Погрешность метода Эйлера на каждом шаге имеет порядок

A) h B) h2 C) h3 D) h4 E) h5

10. При делении отрезка [a,b] на n равных частей с шагом h , точки xi получают по формуле:

A) xi =b+ih B) xi =ih C) xi = a+ih D) xi =a+bh

E) нет верного ответа.

11. Метод прогонки ai xi −1 −bi xi + ci xi +1 = −di устойчив, если

c1 = cn = 0

A) bi ≥ ai + ci ;

B) bi ≤ ai + сi ; C) bi >= ai +ci ;

D) bi <= ai + ci ;

E) нет верного ответа.

12. Формула квадратичной интерполяции получается из I интерполяционной формулы Ньютона при

A)n=1

B)n=2

C)n=3

D)n=4

E)нет верного ответа.

13. Процесс итераций для системы x = Ax +b сходится, если:

A) \|\| A \|\|=	n n	;
A) \|\| A \|\|=	∑ ∑\|aij \|2 >1	;
	i =1 j =1

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

B) \|\| A \|\|=	n	n	;
	∑ ∑\|aij \|> 2
	i =1 j =1
C) \|\| A \|\|=		n n
		∑ ∑\|aij \|2 <1;
		i =1 j =1
	n	n	;
D) \|\| A \|\|= ∑ ∑\|aij \|< 2
	i =1 j =1

E) нет верного ответа.

14.Метод Эйлера применяется для

A)Численного решения СЛАУ

B)Отделения корней алгебраического уравнения

C)Решения дифференциальных уравнений

D)Вычисления произведения матриц

E)нет верного ответа.

15. Вычислить определенный интеграл 1∫ x2 dx по формуле правых

прямоугольников на отрезке (0; 1) с шагом 0,5 .

A)5/8

B)0,3333

C)1/4

D)1/8

E)0

16. Погрешность метода Эйлера-Коши имеет порядок

A)h

B)h2

C)h3

D)h4

E)h5

17. При делении отрезка [a,b] на n равных частей шаг h вычисляется по формуле

А) h=(a+b)/2

B)h=(b-a)/2

C)h=(b-a)/n

D)h=(a-b)/n

E)нет верного ответа.

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

18.При применении метода последовательных приближений система линейных уравнений записывается в виде

A)X=BX+F

B)X=B+F

C)AX=F

D)X= AF

E)нет верного ответа.

19.Метод наискорейшего спуска применяется для

A)Решения квадратного уравнения

B)Отделения корней алгебраического уравнения

C)Численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений

D)Численного решения СЛАУ

E)нет верного ответа.

20.Метод Зейделя является модификацией метода:

А) простой итерации В) релаксации

С) минимальной невязки; D) градиентного спуска; Е) наискорейшего спуска;

Перечень основной и дополнительной литературы,

втом числе на электронных носителях

1.Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М. Наука. 1966 г.

2.Бахвалов Н.С. и др. Численные методы. М. Наука. 1987 г.

3.Калиткин Н.Н. Численные методы. М. Наука. 1987 г.

4.СамарскийА.А., ГулинА.В. Численныеметоды. М. Наука. 1989г.

5.Д.К.Фаддеев, В.Н.Фаддеева. Вычислительные методы линейной алгебры, Санкт-Петербург, 2002.

6.В.И. Киреев, А.В. Пантелеев. Численные методы в примерах и задачах, Москва, «Высшая школа», 2004.

7.Н.В. Копчёнова, И.А. Марон. Вычислительная математика в примерах и задачах, Москва, «Наука», 1972.

8.Г.И.Марчук. Методывычислительнойматематики. Москва, 1980.

КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2221 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

A) \|\| A \|\|=	n n	;
A) \|\| A \|\|=	∑ ∑\|aij \|2 >1	;
	i =1 j =1

B) \|\| A \|\|=	n	n	;
	∑ ∑\|aij \|> 2
	i =1 j =1
C) \|\| A \|\|=		n n
		∑ ∑\|aij \|2 <1;
		i =1 j =1
	n	n	;
D) \|\| A \|\|= ∑ ∑\|aij \|< 2
	i =1 j =1