(10 ) |
|
539235 |
|
y3 |
= |
= 4,447 . |
|
( 9 ) |
121248 |
||
y3 |
|
|
Следовательно, среднее арифметическое полученных отношений приближенно можно принять за λ1 :
λ1 = 13( 4,462 + 4,456 + 4,447 ) = 4,455 ≈ 4,46 .
В качестве первого собственного вектора матрицы A можно взять:
4 038939 A10 y = y( 10 ) = 1862460 .
539235
Нормируя его по формуле || yy((1010 )) || , где || y( 10 ) ||= 
(y1( 10 ) )2 + (y2( 10 ) )2 + (y3( 10 ) )2 ,
0,90
окончательно получим: x( 1 ) = 0,42 .
0,12
Тема. Методы решения нелинейных уравнений.
Метод хорд.
Задание: Выполнить задания
1. |
2 |
x |
+5x = 30 |
2. arctgx + 3x3 = 0 |
3. |
0,5 |
x |
+1 = (x −2) |
2 |
4. |
2x |
3 |
−9x |
2 |
−60x +1 = 0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
(x −3) cos x =1, |
− 2π ≤ x ≤ 2π |
6. (log 2 x)(x + 2)=1 7. 5x |
−3x = 0 |
|
8. 2ex = 5x |
||||||||||||||||||
9. |
x4 − x −1 = 0 10. 2x4 − x2 −10 = 0 |
11. 5sin x = x |
12. x lg3 (x +1) =1 |
|||||||||||||||||||||
13. 3 |
x−1 |
+2 − x |
= 0 |
14. 2arctgx + |
1 |
= 0 |
15. x |
4 |
−18x |
2 |
+6 = 0 |
|
|
|
|
|||||||||
|
2x3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Методические рекомендации
Пример. Отделить корни уравнения
x3 − 0,2x2 + 0,5x +1,5 = 0.
аналитически и уточнить один из них методом хорд с точностью до 0,001.
Решение. Отделим корни аналитически. Находим
|
3 |
|
2 |
|
′ |
2 |
|
|
|
f (x)= x |
− 0,2x |
+ 0,5x +1,5; |
f (x)= 3x |
− 0,4x + 0,5; |
D = 0.16 − 6 p 0. |
||||
|
|
|
Составим таблицу знаков функции f(x):
x |
− ∞ |
−1 |
0 |
+ ∞ |
sign f(x) |
− |
− |
+ |
+ |
|
|
|
|
|
КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.
72
Уравнение имеет один дествительный корень, лежащий в
промежутке [–1,0]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Чтобы |
уточнить корень, |
|
находим |
|
вторую производную |
|||||||||||||||
f ′′(x)= 6x −0,4; в промежутке [–1,0] выполняется неравенство f ′′(x)p 0. |
||||||||||||||||||||
Для вычислений применяем формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
= a |
− |
|
|
|
f (a) |
|
(x |
|
− a), |
|
|
||
где a = −1; |
|
|
n+1 |
|
f |
(xn )− f (a) |
n |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x0 = 0; |
f (a)= f (−1)= −1 − 0,2 − 0,5 +1,5 = −0,2. |
|
|
||||||||||||||||
Вычисления располагаем в таблице: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
N |
|
xn |
f (xn ) |
|
f (xn )+ 0.2 |
|
xn − a |
|
|
|
f (a) |
|
(xn −a) |
|
|||||
|
|
|
f (xn )− f (a) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
0 |
1,5 |
|
|
1,7 |
|
|
|
1 |
|
|
|
-0,118 |
|
||||
|
1 |
|
-0,882 |
0,2162 |
|
0,4162 |
|
|
0,1176 |
|
-0,057 |
|
||||||||
|
2 |
|
-0,943 |
0,0105 |
|
0,2105 |
|
|
0,0565 |
|
-0,054 |
|
||||||||
|
3 |
|
-0,946 |
0,0005 |
|
0,2005 |
|
|
0,0537 |
|
-0,054 |
|
||||||||
|
4 |
|
-0,946 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: х ≈-0,946.
Метод Ньютона (касательных).
Задание: Выполнить задания 1.
1) x −sin x = 0,25 |
2) |
||||
2. |
1) |
x −cos(0,3x) = 0 |
2) |
||
3. |
1) |
tg(x +1) = x2 |
2) |
||
4. |
1) |
ctgx − |
x |
= 0 |
2) |
|
|||||
|
|
3 |
|
|
|
x3 + 0,1x2 + 0,4x −1,2 = 0 x3 − 6x −8 = 0
x3 + 3x2 −14x +1 = 0 x3 + 2x2 + 2 = 0
5.1)
6.1)
7.1)
8.1)
9.1)
10.1)
11.1)
12.1)
13.1)
14.1)
15.1)
x2 − 20sin x = 0 x2 + 4sin x = 0 2x −lg x −7 = 0 3x −cos x −1 = 0 x +lg x = 0,5
x 2x =1
x −cos x = 0 2 − x = ln x 5x −8ln x =8
2x + lg x = 0,5 lg(2 + x) +2x = 3
2)
2)
2)
2)
2)
2)
2)
2)
2)
2)
2)
x3 + 3x −1 = 0 x3 − 2x + 4 = 0 x3 + 3x −1 = 0
x3 + 3x2 +12x + 3 = 0 x3 − 3x2 + 6x − 5 = 0 x3 + 2x + 4 = 0
x3 + x − 3 = 0
x3 − 3x2 + 6x − 5 = 0 x3 − 3x2 +12x − 9 = 0 x3 + 3x +1 = 0
x3 − 3x2 + 9x + 2 = 0
КазНПУ 703-10-11 Учебно-методический комплекс дисциплины. Издание третье.
73