Вопросы

∂u

∂

∂u

+ f0 (x,t),

(1)

cρ

∂t

=

k

∂x

∂x

где u = u(x, t) -температура

в

точке

x стержня в момент

t, c -

только от x и t , но и от температуры

u = u(x, t)

(квазилинейное

уравнение

теплопроводности)

и

даже

от

∂u / ∂х

(нелинейное

уравнение). Если k,c, ρ постоянны, то (1) можно записать в виде

∂u

= a2 ∂2u + f ,

f

=

f0

,

(2)

∂t

где

∂x2

cρ

a2 = k (cρ)- коэффициент

температуропроводности. Без

ограничения общности можно считать a =1,

l =1.

в самом деле, вводя переменные

x1 =

x

,

t1 =

a2t

,

f1 =

l 2

f , получим

l 2

∂2u

l

a2

∂u

=

+ f

,

0 < x

<1.

∂t

∂x2

1

1

1

1

Мы будем рассматривать первую краевую задачу (иногда

говорят: начально-краевую задачу)

в области

= {0 ≤ x ≤1, 0 ≤ t ≤ T}.

D

Требуется найти непрерывное в

решение u = u(x, t) задачи

D

∂u

= ∂2u + f (x, t),

0 < x <1,

0 < t ≤ T ,

∂t

∂x2

(3)

u(x,

0)= u0 (x),

0 ≤ x ≤1,

u(0, t)= u1 (t),

u(1, t)= u2 (t),

0 ≤ t ≤ T.

u(x, t)

T

max

u0 (x)

,

max

u1

(t)

,

max

u2

(t)

max

f (x,t)

dt. (4)

≤ max max

+

0≤x≤1, 0≤t≤T

0≤x≤1

0≤t≤T

0≤t≥T

∫0≤x≤1

0

Рассмотрим однородное уравнение с однородными краевыми

условиями:

∂u

∂2u

=

,

0 < x <1,

0 < t < T ,

∂t

∂x2

(5)

u(0,t) = u(1,t) = 0, 0 ≤ t ≤ T ,

u(x,0) = u0 (x),

0 ≤ x ≤1.

Решение этой задачи находится методом разделения

переменных в виде

∞

(6)

u(x,t) = ∑cR e−λRt X R (x),

где λR и

R=1

X R (x)

- собственные значения и ортонормированные

собственные функции задачи

X ′′+ λX = 0,

0 < x <1,

X (0) = X (1) = 0,

Равные

(7)

Причем

λR = k 2π 2 ,

X R (x) =

2 sin kπx,

(X R , X m )= ∫1 X R (x)X m (x)dx = δRm ,

0

δRm

1,

k = m,

=

0,

k ≠ m,

∞

(8)

u(x, 0) = u0 (x) = ∑cR X R (x)

находятся коэффициенты cR

R=1

= (u0 , X R ).

Из (6) и (8) следует

2 = (u(x, t), u(x t))=

u(t)

∞

∞

= ∑cR2 e−2λRt

X R

2

≤ e−2λ1t ∑cR2 = e−2

λ1t

u0

2 ,

R=1

R=1

так как

∞

u0

2

= ∑cR2 ,

λR > λR−1 >K> λ1 = π 2 .

u(t)

≤ e−λ1t

u0

, λ1 = π 2 ,

(9)

Выражающая свойство асимптотической (при

t → ∞ ) устойчи-

hτ = {(xi t j ): xi = ih,

t j = jτ,

i = 0, 1, K, N, h =1/ N,

ω

j = 0, 1, K, L,

τ = T /L}

с шагами: h по x и τ

по t . Заменяя производную по x разност-

ным выражением

∂2u

ui+1 − 2ui + ui−1

2

~

2

= uxx,i = Λui ,

∂x

h

i

dυi

= Λυi + fi ,

i =1, 2, K,

dt

с краевыми и начальными условиями

υi (0) = u0 (xi ).

υ0 (t) = u1 (t),

υN (t),

Для численного решения этой задачи, по аналогии с гл.

V , заме-

ним производную по t разностным отношением

dυ

i

υi (t j+1) −υi (t j )

υ j+1 −υ j

~

=

i

i

= (υt )ij ,

dt

τ

τ

правую часть возьмем в виде линейной комбинации значений

при t = t j (на j -м слое) и t = t j+1 (на ( j +1) -м слое):

yij+1 − yij

= σ Λyij+1

+ (1−σ)Λyij +ϕij ,

(10)

τ

где σ

-параметр, а ϕij -некоторая правая часть, например,

ϕij = fi

j , ϕij = fi

j+1/ 2

и т.д. Сюда надо присоединить дополнитель-

ные условия

(11)

y0j

= u1 (t j ),

yNj = u2 (t j ),

yi0 = u0 (xi ),

(xi−1 , t j+1 )

(xi , t j+1 )

(xi+1 , t j+1 )

×

×

×

×

×

×

(xi−1 ,t j

)

(xi ,t j

)

(xi+1 ,t j

)

yij+1 − yij

=

yij−1 − 2yij + yij+1

+ϕij .

(12)

τ

h2

В случае σ =1 получаем полностью неявную схему-схему с

опережением на шаблоне

××××

:

yij+1 − yij

=

yij−+11 − 2yij+1 + yij++11

+ϕij .

(13)

τ

h2

Для определения yij+1

из (13) получаем краевую задачу

τ

j+1

2τ

j+1

τ

j+1

j

y

− 1

+

y

+

y

= −F

,

0 < i

< N,

h2

h2

h2

i−1

i

i−1

i

F j

= y j

+τϕ j

,

y j+1 = u (t

j+1

),

y j+1

= u

2

(t

j+1

),

i

i

i

0

1

N

которая решается методом прогонки.

Часто используется симметричная неявная схема (иногда ее

называют схемой Кранка-Николсона) с σ =1/ 2

и шаблоном ××××××

:

yi+1 − y j 1 y j+1 − 2 y j+1 + y j+1

+

y j

− 2y j + y j

+ϕi

.

(14)

i

i

−1

2

i+1

i−1

2

i+1

j

τ

2

h

h

Значения yij+1

на новом слое и в этом случае находятся методом

прогонки для краевой задачи:

τ

j+1

τ

j+1

τ

j+1

j

yi−1

− 1+

yi

+

yi−1

= −Fi

,

0 < i < N,

(15)

y j

+1

h2

= u

(t

),

y j+1 = u

(t

),

2h2

2h2

0

1

j+1

N

2

j+1

j

τ

j

τ

j

j

j

Fi

= 1

−

yi

+

(yi−1

+ yi+1 )+τϕi

.

h2

2h2

В общем случае (при любом σ ) схема (10) называется схемой с

весами. При σ ≠ 0

она неявная и yij+1

определяется методом прогонки

как решение задачи

σ τ Λy j+1 − y j+1

= −F j ,

0 < i < N,

i

i

i

y0j+1 = u1 (t j+1 ),

yNj+1 = u2 (t j+1 ),

j = 0, 1, K

(16)