Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
МИНИCTEPCTBO ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
П. К. Корнеев, Е. О. Тарасенко, А. В. Гладков
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Часть I
Направление подготовки
02.03.01 Математика и компьютерные науки
Бакалавриат
Ставрополь
2017
УДК 519.6 (075.8)
ББК 11.193 я73
К 66
КорнеевП.К.,ТарасенкоЕ.О.,ГладковА.В.
К 66 Численныеметоды: учебное пособие. Часть 1. – Ставрополь: Изд-во
СКФУ, 2017. – 145 с.
Пособие подготовлено в соответствии с Федеральным государственным
образовательным стандартом высшего образования, раскрывает методы численного решения основных задач алгебры и математического анализа на ЭВМ.
Пособие предназначено для организации и проведения лекционных занятий по дисциплине «Численные методы» для направления подготовки
02.03.01 «Математика и компьютерные науки».
редакционно-издательского совета
Печатается по решению
Северо-Кавказского
федерального университета
УДК 519.6 (075.8)
ББК 11.193 я73
Авторы:
канд. физ.-мат. наук, доцент П.К.Корнеев,
канд. физ.-мат. наук, доцент Е.О.Тарасенко,
ст. преподаватель А.В.Гладков
Рецензенты:
д-р техн. наук, профессор И.А.Калмыков,
канд. экон. наук, доцент Т.В.Таточенко
(Ставропольский филиал ООО «Газпром проектирование»)
© ФГАОУ ВО «Северо-Кавказский
федеральный университет», 2017
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ..................................................................................................................4
1. Введение в численные методы ..............................................................6
2. Введение в элементарную теорию погрешностей ..........................15
3. Интерполирование функций по неравноотстоящим узлам .......26
4. Интерполирование функций по равноотстоящим узлам ............41
5. Минимизация погрешности метода интерполирования.
Многочлены Чебышёва и их свойства .............................................54
6. Интерполирование сплайнами ...........................................................61
7. Аппроксимация функций по методу наименьших
квадратов (Дискретный вариант) ......................................................73
8. Метод наименьших квадратов в случае промежутка
(Интегральный метод) ..........................................................................82
9. Численное дифференцирование ........................................................96
10. Численное интегрирование ............................................................... 109
Рекомендованная литература .............................................................................. 143
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие (курс лекций) по дисциплине «Численные методы» подготовлено в соответствии с Федеральным государственным
образовательным стандартом высшего образования.
Дисциплина имеет целью формирование профессиональных ком-
петенций (ОПК-1, ОПК-4) будущего бакалавра по направлению подготовки 02.03.01 – Математика и компьютерные науки.
При изучении дисциплины рассматриваются наиболее часто используемые в практике прикладных и научно-технических расчётов
методы: теории приближения функций (интерполяционные формулы
Лагранжа и Ньютона, интерполирование сплайнами, наилучшие равномерные приближения, метод наименьших квадратов); численное
дифференцирование и интегрирование.
Изучение дисциплины способствует пониманию студентами сущности численного решения задач алгебры, математического анализа,
дифференциальных уравнений и оценки точности полученных результатов.
Курс относится к вариативной части обязательных дисциплин
Б1.В.ОД.1. и логически связан с профилем «Математические методы
в экономике и финансах» учебного плана направления 02.03.01 – Математика и компьютерные науки.
В ходе изучения дисциплины формируются навыки использования ЭВМ, работы со многими программными продуктами, создания
программ для численного решения различных прикладных задач.
Важную роль при этом играют смежные дисциплины предметной
подготовки, в первую очередь «Математический анализ», «Алгебра»,
«Дифференциальные уравнения», «Функциональный анализ» и др.
Знания и практические навыки, полученные в ходе изучения курса, используются далее при освоении таких дисциплин, как «Теория
игр и исследование операций», «Методы оптимизации», «Теория систем массового обслуживания», «Случайные процессы и их приложения», а также при прохождении производственной практики, выполнения курсовых и выпускных квалификационных работ.
- 4 -
Предисловие
Освоение дисциплины позволит будущему бакалавру полноценно
осуществлять свою профессиональную деятельность, в частности,
обладать общепрофессианальными компетенциями.
Общепрофессиональные компетенции (ОПК):
– готовность использовать фундаментальные знания в области
математического анализа, комплексного и функционального
анализа, алгебры, аналитической геометрии, дифференциальной геометрии и топологии, дифференциальных уравнений,
дискретной математики и математической логики, теории вероятностей, математической статистики и случайных процессов, численных методов, теоретической механики в будущей
профессиональной деятельности (ОПК-1).
– способность находить, анализировать, реализовывать про-
граммно и использовать на практике математические алгоритмы, в том числе с применением современных вычислительных систем(ОПК-4).
- 5 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
= ()
yR∈∈
12
RR
12
()
12
()
xR∈∈
12
1. ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
План
1.1. Предметвычислительнойматематики.
1.2. Методвычислительнойматематики.
1.3. Классификациячисленныхметодов.
1.4. Корректностьиустойчивость.
1.5. ТехнологиярешениязадачинаЭВМ.
1.1. Предмет вычислительной математики
Вычислительная математика – это область математики, которая
призвана разрабатывать методы доведения до числового результата
решений основных задач математического анализа, алгебры, геометрии, дифференциальных уравнений и пути использования для этой
цели современных ЭВМ.
1.2. Метод вычислительной математики
Многие задачи в вычислительной математике могут быть записаны в виде:
yAx
xR
где
,
заданный оператор. Задача состоит либо в отыскании у по заданному х,
либо в отыскании х по заданному у.
Основным методом, при помощи которого в вычислительной математике решают поставленные выше задачи, является замена пространств
ми
R
и
1
R
R
,
и оператором А, более удобными для вычислительных
1
2
целей. Иногда бывает достаточно произвести замену хотя бы одного
из 3-х элементов
Замена должна быть сделана так, чтобы решение новой задачи
,
(
R
2
–заданные пространства) и
и оператора А некоторыми другими пространства-
AR R,,
.
Ax
– некоторый
yAx=
xR
,
,
,
было в каком-то смысле близким к точному решению исходной задачи и его, возможно, было бы практически отыскать со сравнительно
небольшими трудностями.
- 6 -
Лекция1
fx()
fx()
()
fx()
fx()
fx()
()
xy=
,)=
≤+
zR
∈
Например, пусть необходимо вычислить интеграл
b
yfxdx
где
=∫()
a
– непрерывная функция, причём неопределённый интеграл
,
не берётся в элементарных функциях.
В вычислительной математике выбирают такой путь: заменяют
функцию
алгебраическим многочленом
ближающим функцию
на отрезке
[,]ab
Рx
, равномерно при-
с необходимой степенью
точности.
Вместо интеграла
b
yfxdx
=∫()
a
находят интеграл
b
yРxdx
=∫()
a
,
вычисление которого не составляет труда.
Здесь мы, не меняя функционала
b
Af fxdx
() ()=
∫
a
заменяем пространство С, которому принадлежит
ством многочленов и вместо функции
,
берем многочлен
, простран-
Px
из
некоторой ее ε – окрестности.
Разъясним некоторые использованные понятия. Вместо евклидо-
вых пространств рассматриваются абстрактные пространства, элементы которых могут иметь самую различную природу. Так, например, вводится понятие метрического пространства R как
абстрактного множества, для любых двух элементов x и y которого
pxy(,)
определено понятие расстояния
, удовлетворяющее следую-
щим условиям:
pxy(,)≥0
1.
pxypyx(,)(
2.
pxypxz pzy(,)(,) (, )
3.
, причем
для любых 3-х элементов
;
pxy(,)=0
xy
,,
, если
;
(аксиома треугольника).
- 7 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
()
()
ty
()
=−
ε
R
<
ε
±
ε
()
Евклидовы пространства с обычным определением расстояния в
них удовлетворяют всем этим условиям. Но могут быть и другие метрические пространства. Так, рассмотрим множество всевозможных
непрерывных функций, заданных на отрезке
функций
xt
и
yt
расстояние определим равенством
[,]ab
. Для любых таких
pxyx
(,)max ()
ab
[,]
t
.
Можно проверить, что так определенное расстояние удовлетворяет всем трем аксиомам расстояния. Таким образом, мы получили функциональное метрическое пространство, которое называют
обычно пространством С.
В каждом метрическом пространстве можно говорить об окрестности данной точки. Назовем
метрического пространства
– окрестностью точки х некоторого
совокупность его точек y, для кото-
рых выполняется неравенство
pxy(,)
.
В пространстве С это будет совокупность всех непрерывных на
отрезке
[,]ab
функций, лежащих в полосе
xt()
.
В вычислительной математике часто приходится заменять одну
функцию
xt
другой функцией, более удобной для вычислительных
целей и в каком-то смысле близкой к первой. Обычно эту вторую
функцию берут в некоторой ε–окрестности первой.
1.3. Классификация численных методов
Для решения математических задач используются следующие основ-
ные методы: графические, аналитические, численные, вероятностные.
- 8 -
= ()
−=
xх
Лекция1
Графические методы в ряде случаев позволяют оценить порядок
искомой величины. Основная идея этих методов – решение находится путём геометрических построений. Например, для нахождения
корней уравнения
fx()=0
строится график функции
yfx
, точки пересечения которого с
осью абсцисс будут искомыми корнями.
При использовании аналитических методов решения задачи уда-
ётся выразить с помощью формул (например, решение дифференциального уравнения часто удаётся получить в виде функции). При решении простейших алгебраических или трансцендентных уравнений,
при помощи известных в математике приемов решения можно получить в виде формул, но это редкий случай (уравнение
xtqx
0
ана-
литически не решается).
Основным инструментом для решения математических задач явля-
ются численные методы, которые позволяют свести решение задачи к
выполнению конечного числа арифметических действий над числами.
При этом результаты получаются в виде числовых значений.
Источники и классификация погрешностей
Отклонение истинного решения от приближенного назовем по-
грешностью.
Если x – точное решение, а
∗
x
– приближенное решение, то
∗
−
–
погрешность. Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами:
1) математическое описание задачи (математическая модель) является неточным. В частности неточно заданы исходные данные описания;
2) применяемый для решения метод часто не является точным;
3) при вводе данных в ЭВМ, при выполнении арифметических
операций и при выводе данных производятся округления.
Погрешности, соответствующие этим причинам, называют:
1) неустранимой погрешностью;
2) погрешностью метода;
3) вычислительной погрешностью.
- 9 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
tt=
φ
⋅=
Часто неустранимую погрешность подразделяют на две части:
1) неустранимой погрешностью называют лишь погрешность,
являющуюся следствием неточности задания числовых данных, входящих в математическое описание задачи;
2) погрешность, являющуюся следствием несоответствия математического описания задачи реальности, называют погрешностью математической модели.
Проиллюстрируем эти определения.
Пусть имеется маятник, начинающий движение в момент
Требуется предсказать угол отклонения
от вертикали в момент
Дифференциальное уравнение, описывающее колебание этого ма-
ятника, берется в виде:
2
ϕ
d
l
⋅+⋅+
2
dt
g
ϕµ
sin
ϕ
d
, (1.1)
0
dt
.
0
t
.
0
где l – длина маятника, g – ускорение силы тяжести, μ – коэффициент
трения.
Как только принимается такое описание задачи, решение задачи
уже приобретает неустранимую погрешность, в частности, потому,
что реальное трение зависит от скорости не совсем линейно; другой
источник неустранимой погрешности состоит в погрешности определения l,g,μ,t
, φ(t0), φ´(t0).
0
Название этой погрешности – «неустранимая» – соответствует ее
существу: она неконтролируема в процессе численного решения задачи и может уменьшиться только за счет более точного описания
физической задачи и более точного определения параметров.
Дифференциальное уравнение (1.1) не решается в явном виде;
для его решения требуется применить какой-либо численный метод.
Вследствие этого и возникает погрешность метода.
- 10 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]