Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
а значения
n = 2
=− = .;
= =
89= /;
=− = .;
59= = /;
=− = .,
= = .,
=− = .,
= = ..
=− = .,
= = .,
=− = .,
= = .,
= ..
i
()
ii
()
Σ
≈⋅ =
()
ii
()
Σ
≈⋅ =
c
i
n=1: t10=, c12=;
Лекция10
t
и
берем из таблицы квадратурных коэффициентов Гаусса:
i
tt
:
21
n=3: t20=; c
n=4: tt
n=5: tt
32
tt
41
51
tt
42
t30=, c30568888889
05773502692
tt
2
31
0 3399810436
08611363116
0906179846
0 538469310
cc
12
0 7745966692
cc
23
cc
14
cc
51
cc
42
1
;
06521451549
0 3478548451
0 236926885
0478628670
Вычисления располагаем в таблице. При
c
1
2
3
4
0.34785
0.65215
0.65215
0.34785
Следовательно,
i
I
t
i
0.86114
0.33998
0.33998
0.86114
055244321 1 34377.. .
x
i
1.6764
1.9630
2.3370
2.6236
При n = 5 имеем:
i
1
2
3
4
5
c
i
0.23693
0.47863
0.56889
0.47863
0.23693
t
i
0.90618
0.538469
0
0.538469
0.90618
x
i
1.6516
1.8538
2.1500
2.4462
2.6484
n=4
.
cc
13
имеем:
fx
1.2366
1.2291
1.2154
1.2042
fx
1.2370
1.2324
1.2225
1.2111
1.2032
cfx
i
i
⋅
0.43015
0.80155
0.79264
0.41887
=2.44321
cfx
⋅
0.2903
0.58988
0.69549
0.57968
0.28508
Следовательно,
Совпадение результатов свидетельствует, что
где все знаки верные.
I
055244321 1 34377.. .
27
.
x
I
∫
x
16
.
08
.
+
2
12
.
+
- 131 -
dx=
134277
≈
=2.44321
.
,
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
ed
xx
ii
+
2
in=
II
10.7. Вычисление интегралов с особенностями.
Интегрирование сильно осциллирующих функций
1)Постановказадачи
Большую часть реально встречающихся подынтегральных функций
составляют функции с особенностями, причем особенность может со
держаться либо в функции, либо в ее производной, или функции, производные которых очень велики.
Такие функции плохо аппроксимируются многочленами и поэтому
для вычисления соответствующих интегралов оказываются неэффектив
ными стандартные квадратурные формулы.
Пример10.9.Вычислить интеграл
1
I
∫
0
2
1
x=−
x
x
по формуле прямоугольников.
Решение. Функция
2
1
x−
e
x
имеет особенность в точке
x=0
. Применим для вычисления данного
интеграла, значение которого известно
I=1689677.
формулу прямоугольников с постоянным шагом
где
II h
≈=
−1
z
=
i
n
h
∑
np
1
=
i
,
1
−
e
z
i
12,, ,
2
z
i
,
.
-
-
следующей таблице.
Результаты вычислений для нескольких значений шага h приведем в
h
h
I
np
0.200 1.420 2.7·10-1
0.100 1.499 1.9·10
0.050 1.555 1.4·10
0.025 1.594 9.6·10-2
h
−
np
-1
-1
- 132 -
F
<<<
∫∫
cb
,;
[][]
()
()
fx
()=⋅
()
()
fx()
()
fx()
()
αβ
()
<<
()
<<∞
()−∞ <<∞
Лекция10
h
Из таблицы видно, что значения
I
сходятся очень медленно.
np
Укажем на некоторые подходы к вычислению интегралов с особен
ностями, которые учитывают особенности поведения подынтегральной
функции и поэтому значительно сократить затраты машинного времени
или достичь большей точности.
2)Разбиениепромежутканачасти
Пусть подынтегральная функция
cc c
– известные точки разрыва функции F либо ее произво-
p12
является кусочно-гладкой и
дных. В этом случае можно представить интеграл
b
Fxdx
()
ò
a
(10.25)
в виде суммы
b
Fxdx Fxdx Fxdx Fxdx
() () () ()
∫∫
a
c
1
=+++
a
c
2
b
(10.26)
c
1
c
n
Вычисление каждого из интегралов суммы (10.26) представляет со-
бой стандартную задачу, т. к. на каждом из частичных отрезков
ac cc
;,;,
112
p
функция
Fx
является гладкой.
3)Выделениевеса
В некоторых случаях функция
Fx px
множителя:
() ()
имеет те же особенности что и
b
IFxdxpxfxdx
Здесь функция
==
∫∫
a
px
называется весовой функцией (или весом). При
Fx
допускает разложение на два со-
px
, где
Fx
– является достаточно простой и
, а
b
– гладкая функция. Тогда
() ()()
a
. (10.27)
построении численных методов вычисления интеграла (10.27), весовая
функция считается фиксированной. В то же время
может быть про-
извольной достаточно гладкой.
Примерами весовых функций могут служить
• постоянный вес
px()=1
• весовые функции Якоби
• Лагера
• Эрмита
px xe
()=
px e
()=
α
x
−
;
px xa xb() ()
x
=− −
−
0
x
,
2
,
;
x
;
axb
,
;
соответствующие интегралам вида
-
- 133 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
mi
xx
ii
[]
fx()
xx
ii
[]
()
xx
ii
+
2
xx
ii
ii
()
b
fxdx
()
−
2
x
()
()
,
,
,
.
ò
a
b
∫
a
αβ
()()()xa xb fxdx
−−
b
α
xe fxdx
∫
a
b
x
−
efxdx
∫
a
Методы приближенного вычисления интегралов, рассмотренные
нами ранее, применимы и к задаче вычисления интеграла с весом.
P
Пусть
резке
– интерполяционные многочлены на i-ом частичном от-
,
;
. Приближенная замена интеграла (10.27) суммой
−
1
x
i
n
h
IpxP xdx
=
∑
i
=
1
() ()
∫
x
i
−
1
mi
,
(10.28)
приводит к квадратурной формуле интерполяционного типа.
Пример10.10.Выведем аналог формулы прямоугольников с постоянным шагом для вычисления интеграла
b
()
fx
I
Решение. Заменяя функцию
постоянной
fz
,
i
=
z
=
i
dx
∫
a
. (10.29)
x
на элементарном отрезке
−1
,
и учитывая, что
x
i
fx
()
∫∫
x
x
i
−−
11
x
i
fz
()
≈=
dx
i
dx fz
x
x
i
i
()
2
h
i
−
1
,
+
получим следующую квадратурную формулу
b
∫
a
fx
Пример10.11. Вычислить
()
≈=
dx Ih
x
n
h
∑
i
1
x−
e
∫
x
0
2
+
xx
=
1
−
1
2
dx
.
fz
(10.30)
i
;
−
1
- 134 -
xx
ii
xx
ii
+
2
IhII
−
ii
()
a =−1
b =1
()
Txn()
()
in=
Лекция10
Решение. Для вычисления данного интеграла применим формулу
(10.30), которая в рассматриваемом случае примет вид
2
1
x
−
e
dx h
∫
x
0
n
≈
∑
i
2
+
1
=
1
−
2
z
−
i
e
,
−1
z
=
i
.
Полученные результаты приведены в таблице:
h
0.200 1.686276 3.4·10
h
-3
0.100 1.688958 7.2·10-4
0.050 1.689521 1.6·10
0.025 1.689642 3.5·10
-4
-5
Для вычисления интегралов (10.27) применяют и квадратурные фор-
мулы Гаусса
b
px fxdx cf x
()()
∫
a
n
≈
∑
i
=1
,
точные для многочленов наиболее высокой степени. Они строятся аналогично тому, как это было сделано в случае постоянного веса
px()=1
.
4)ФормулаЭрмита
Для вычисления интегралов вида
1
fx
()
dx
,
2
x
,
,
,
т. е. в случае
pxx()=
∫
1
−
1
−
2
−11
используют квадратурную формулу
1
fx
()
∫
1
−
dx fx
2
x
1
−
n
π
≈
∑
4
i
=
,
i
1
называемую формулой Эрмита. Узлами этой формулы являются
нули многочлена Чебышева
x
=−cos
i
21
π
i
2
n
, т. е. числа
12,, ,
,
.
- 135 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
()
()
()
ab
[]
()−
[]
()
Fx()
fx
()
<<
−< <10
α
fx()
[]
fx()
()
−+
()
=+
kk
)(
()
−
α
xx
()=+
φψ
5)МетодКанторовичавыделенияособенностей
Идея метода состоит в том, что из подынтегральной функции
выделяют некоторую функцию
Fx
и
, элементарно интегрируемую на
fx gx()
имела нужное число производных. Запишем интеграл в виде
b
Fxdx gxdx Fx gx dx
() () () ()
∫∫∫
a
gx
, имеющую те же особенности, что
;
b
=+−
a
b
a
и такую, чтобы разность
; (10.31)
Fx
Здесь первый интеграл берется непосредственно, а второй вычисляется по квадратурным формулам.
Подбор функции
gx
производится в зависимости от конкретного
случая. Выведем правило построения такой функции для одного часто
встречающегося класса интегралов. Пусть
Fx xc
() ()
=−
α
acb
,
имеет вид
, (10.32)
где
, а
рывных производных на
Функцию
непрерывна и имеет достаточное число непре-
ab;
.
представим по формулам Тейлора в виде:
1
fx fc fcxc fcxc
() () ()()!()
=+′−+
1
kk
++ −+
(() ()
()
()()
fcxc R
!
k
′′
2
xRxRx
k
2
Тогда
Fx xcPx xc fx Px
() ()() ()((
αα
))=− +− −
. (10.33)
Первое слагаемое в формуле (10.33) есть степенная функция, которая
интегрируется непосредственно. Второе слагаемое в формуле (10.33) обращается в нуль при
включительно. Произведение этого выражения на множитель
будет функцией непрерывной вместе с производными до порядка
x=0
вместе со своими производными до порядка k
xc
k−1
Поэтому для вычисления интеграла от этой функции можно применить
одну из квадратурных формул.
6)Аддитивноевыделениеособенности
Иногда подынтегральную функцию удается представить в виде суммы
fx
() ()
,
.
- 136 -
φ
()
ψ
()
fx()
II
=+
12
II
()
12
11
−=
()
ez
()
xx
ii
+
2
in=−
IhII
−
Лекция10
где функция
чески, а функция
от функции
Здесь
вычисляется аналитически, а
x
содержит особенность, но интегрируется аналити-
x
является достаточно гладкой. Тогда интеграл
представляют в виде суммы двух интегралов
b
fxdx xdxxdx
() () ()
∫∫∫
a
b
=+
φψ
a
b
∫
a
b
∫
a
φ
ψ
b
a
()xdx
()xdx
;
вычисляется численно с помощью той или иной квадратурной формулы.
Пример10.12.Вычислить интеграл
2
1
x−
e
∫
0
Решение. Представим интеграл
2
Интеграл
Интеграл
1
e
∫∫ ∫
0
I
вычисляется аналитически:
1
I
2
1
xx−
=
dx
x
Ixxdxxxdx
=−⋅=
1
∫∫
2
1
−
x
x
0
1
2
()
0
можно вычислить по формуле прямоугольников.
≈
1689677.
dx
x
в виде
2
−
1
+
dx
0
1
−−
2
1
−−
ex
x
1
1
232
0
.
2
== +
dx
6
.
В результате приходим к формуле
1
−
n
II Ih
=+≈+ −+
12
16
.
∑
i
1
=
2
1
−
z
i
z
i
2
1
z
=
,
i
i
+1
12 1,, ,
,
.
Найденные по ней приближенные значения интеграла приведем в
таблице:
h
0.200 1.687874 1.8·10-3
0.100 1.689227 4.5·10
- 137 -
h
-4
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
xx
()
ωω
ω
−>>
fx()
ω
ω
[]
−
ωπ
[]
−
ωπ
ω
−>>
ix
fx()
fx()
fx fz
k
() ()
xx
kk
≤≤
xx
kk
+
2
xx
kk
[]
0.050 1.689565 1.1·10
0.025 1.689649 2.8·10
-4
-5
7)Интегрированиесильноосциллирующихфункций
В задачах радиотехники часто встречается проблема вычисления интегралов вида
Здесь
b
ix
fxedxfxxdx if
() ()cos( )()sin
∫∫ ∫
a
()ba
b
ω
=+
a
1
,
– некоторая достаточно гладкая функция, а i
b
a
dx
. (10.34)
мнимая единица.
Функции
ся и имеют на
fx x()cos( )
ab;
порядка
fx x()sin( )
и
()/ba
являются быстро меняющими-
нулей. Если попытаться вычислить интеграл (10.34) с помощью стандартных квадратурных формул, то
для облегчения приемлемой точности на каждый полупериод колебаний
подынтегральной функции потребуется поместить хотя бы несколько то
чек (например, порядка десяти точек). Так как на отрезок
дится примерно
меньшей мере, порядка
()/ba
точек «полупериодов», то необходимо, по
()ba
1
узлов интегрирования. Следова-
ab;
прихо-
тельно, стандартный подход к вычислению интегралов вида (10.34) потребует слишком больших затрат машинного времени.
Для уменьшения объема вычислений в равенстве (10.34) полезно рас
()=
ω
как весовую. Тогда кусочно-полиноми-
приводит к квадратурным форму-
сматривать функцию
Px e
альная интерполяция функции
лам интерполяционного типа, которые принято называть формулами
Филона.
Построим, например, аналог формулы средних прямоугольников. Для
этого при вычислении интеграла по отдельному интервалу сетки заме
ним
ее значением в середине интервала:
»
,
−
x
z
1
,
−1
=
k
;
–
-
-
-
проинтегрируем по интервалу
интервалам. После несложных выкладок получим квадратурную
формулу
;
и сложим интегралы по всем
−
1
- 138 -
zh
kk
=−
ix
fx()
kk
()
−
xx
kk
≤≤
xx
kk
[]
ix
ωω
=+
()
−
−
ω
=−
xx
kk
−
2
Лекция10
x
1
ix
ω
fxedxF
() ()sin
∫
x
0
hxx
kkk
N
2
≈
∑
ω
k
,
−1
1
=
Fx fxe
() ()=
ω
, (10.35)
2
ω
и ее погрешность
N
2
i
R
≈
ω
′
fz
()sincos
∑
2
k
1
=
k
hh h
ωω ω
kk k
−
22 2
iz
ω
k
e
.
Теперь построим аналог формулы трапеций. Для этого при вычисле-
нии интеграла по отдельному интервалу сетки заменим
интерполя-
ционным многочленом первой степени
ff
kk
−
Px f
()
=+
ik k
,
−
xx
проинтегрируем по интервалу
1
−
kk
−
1
xx
−
,
−1
1
−
;
и сложим интегралы по всем
−
1
x
1
,
интервалам. В результате получим квадратурную формулу
b
fxedx
()
∫
a
ix
∑
k
N
h
k
2
=
1
Af Bf e
−
1
kk k
,
где
P
sin( )cos()sin( )
A
=+
k
P
P
sin( )cos()sin( )
B
k
k
=−
P
k
PP P
k
kk k
i
k
PP P
kk k
i
2
P
k
2
P
k
,
h
P
k
=
k
,
2
Выводы
Поставлена и сформулирована задача численного интегрирования. На-
мечены пути решения этой задачи. Теоретической основой построения
методов (вычислительных алгоритмов) решения задачи численного инте
грирования является теория интерполирования. На основе этой теории построены и обоснованы следующие методы: метод средних прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона (парабол) и метод Ньютона-Котеса.
Самым предпочтительным из них оказался метод Симпсона. Приведены
многочисленные примеры вычисления определенных интегралов. Рассмо
hxx
kkk
z
;
−1
k
- 139 -
−1
=
.
-
-
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
4
трен метод вычисления определённых интегралов повышенной точности –
метод Гаусса. Теоретической основой для выведения квадратурных формул
метода Гаусса являются ортогональные многочлены Лежандра. Здесь так
же приведён пример вычисления определённого интеграла методом Гаусса.
Для оценки погрешности использована методика двойного пересчёта. Рас
смотрены методы вычисления интегралов с особенностями. Теоретической
базой для построения вычислительных алгоритмов здесь является теория
интерполирования. Для лучшего усвоения материала приведены примеры.
Вопросы для самопроверки
1. Изложите кратко постановку задачи численного интегрирования.
2. Приведите определения основных понятий: квадратурная
сумма, квадратурная формула, узлы и коэффициенты квадратурной формулы, погрешность квадратурной формулы.
3. Кратко изложите сущность метода прямоугольников.
4. Кратко изложите сущность метода трапеций.
5. Кратко изложите сущность метода Симпсона.
6. Выпишите составные формулы прямоугольников, трапеций,
Симпсона.
7. Выпишите погрешности и их оценки составных формул прямоугольников, трапеций, Симпсона.
8. Кратко изложите способы выбора шага интегрирования.
9. Приведите практические оценки погрешностей формул численного интегрирования (конечные разности, принцип Рунге).
10. Кратко изложите сущность формул Ньютона-Котеса.
11. Кратко изложите сущность формул типа Гаусса.
12. Приведите важнейшие свойства полиномов Лежандра.
13. Вычислить интеграл
1
dx
∫
x1
+
0
5
ò
n=10
ln xdx
и оценить остаточный член.
по формуле трапеций при
14. Вычислить интеграл
-
-
по формуле Симпсона при
n=10
и оценить остаточный член.
- 140 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]