Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
()
xx=
()
()
()
AA
−
()
−
()
−
()
in
()
⋅+
xx
xx
ni
ij
−
ω
()
=− −−
Лекция3
откуда
1
1
⋅
y
.
0
n
⋅
y
,
1
n
Положив
=
A
0
−− −
()()
xxxx xx
0102 0
, определим
1
=
A
1
−− −
()()
xxxx xx
1012 1
и, далее,
=
A
2
−− −
()()
xxxx xx
……………………………………
A
2021 2
=
n
xxxx xx
−− −
()()
nn nn
01 1
Подставляя найденные значения
1
1
AA
,,,,
⋅
y
,
2
n
y
⋅
.
n
−
в равенство (3.9),
n012
получаем интерполяционную формулу (многочлен) Лагранжа
xx xx xx
Px
=
()
n
+
()
+
()
.................
+
xxxx xx xx x
()
12
−
xxxx xx
()
x
()
xxxx xx
1012 1
xx xx
()
xxxx xx
2021 2
()
0102 0
xxxxxx
−
()
02
−
()
−
()
0
−
()
.................................
−
xx xx xx x
()
()
−
()
ii ii ii i
01 11
...
−
...
...
−
...
−
−
...
11
−
...
...
−
−
... ...
()
n
−
()
n
−
()
n
⋅+
−
()
n
−
xx
()
n
−
()
n
−
()
()
−
i01 1
−
()
−+
⋅+
y
0
y
1
⋅+
y
2
−−
xxx
+
−
−
...
()
1
−
xx
n
y
i
.................................................
xx xx xx
−
()
++
()
01 1
−
xxxx xx
nn nn
01 1
−
()
−
()
−
...
()
−
n
−
...
()
−
⋅
y
n
или
n
Px fx
() ()=
∑
i
=
∏
0
ji
≠
j
. (3.11)
−
Интерполяционный полином Лагранжа (3.11) можно записать и в
другой форме, если ввести обозначение
() ()()
xxxxxxx
01
- 31 -
.
n
(3.10)
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
′
=− −−−−
ω
()
xx
in
ii
()
ii
()
= ()
Px
()≈()
fx
()
Px
()
i
−
()
−
()
−
()
−
()
−
()
−
()
⋅+
()
⋅=
Px3()
PPP
333
55
),= = = =
Px
()
Так как
()()()()()
xxxxxxxx
ii iiii
01 11
−+
x
,
то имеем
n
Px x
() ()
=
ω
n
fx x
() ()
≈
ω
∑
i
∑
i
=
n
=
0
y
i
xx x
()
−
0
()
ω
y
i
xx x
′
−
ω
, (3.12)
′
. (3.13)
Теперь мы можем для вычисления приближённых значений функции
yfx
в точках x ≠ xi пользоваться приближённым равенством
Точки x ≠ xi, в которых находятся приближённые значения функции
при помощи интерполяционного многочлена
ваются точками интерполяции.
Пример3.2. Построить интерполяционный полином Лагранжа по
следующим данным:
x
y
Решение. Согласно (3.10) при
Px
3
xxxxxx
=
()
020305
()
()
+
303235
()
=+ −+
1
Подстановкой проверяем, что
ловиям:
т. е. построенный многочлен
ляционным многочленом.
0 1 2 3
i
i
−
−
−
621513
0 2 3 5
1 3 2 5
235
−
()
−
025
()
()
−
()
()
xx x
23
6
fx
n=3
−
()
−
−
3
10
. (3.14)
n
имеем:
⋅+
1
−
20
( ))−()
−
02xxxxx
()
⋅+
2
−
505253
()
.
удовлетворяет следующим ус-
P
01 23 32
() ,(),() ,(
3
действительно является интерпо-
3
035
2325
(
()
−
()
−
−
x
))
−
−
()
, назы-
n
3
3
5
- 32 -
fx()
x
fx()
()
−−−
..
fx
()
()
()
10
()
21
nn
()
−
Лекция3
Пример3.3.Функция
14 17 31 35
68.7 64.0 44.0 39.1
f
Вычислить
27
.
задана таблицей
Решение. По формуле (3.11) имеем:
()()()
fP() ()
≈=
27 27
3
Так как данная функция
щей и точка интерполяции
f 27 49 3
≈ .
тат
находится между 44.0 и 64.0, то полученный резуль-
27 17 27 31 27 35
−−−
()()()
14 17 14 31 14 35
()()()
27 14 27 31 27 35
−−−
+
()()()
17 14 17 31 17 35
−−−
(
27
114 27 17 27 35
)( )( )
−
+
31 14 31 17 31 35
()()()
−−−
27 14 27 17
()(
−−
+
()()()
35 14 35 17 35 31
−−−
x=27
−−
))( )
27 31
−
на отрезке
[; ]14 35
находится между 17 и 31, а резуль-
тат является правдоподобным.
3.4. Разделённые разности различных порядков
..
7
+
⋅
68
.
64 0
⋅+
44 0
.
⋅
39 1493
⋅=
.
является убываю-
Формула Лагранжа имеет недостаток: добавление одного узла ве-
дёт к пересчёту всех слагаемых формул (3.14).
Ньютон предложил формулу, лишенную этого недостатка.
Разделёнными разностями первого порядка называются выражения:
fx fx
()
fxx
(, )
10
fx x
(,)
21
=
=
−
xx
−
10
fx fx
()
−
xx
−
21
,
,
……………………….,
fx fx
fx x
(, )
nn
()
=
−
1
xx
nn
−
1
−
.
−
1
- 33 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
,)
10
−
,)
21
−
nn
,)
−−
11
,)
10
−
,)
−
xx
−−
10
,)
21
10
,)
,)
10
32
,)
432
43
Разделённые разности второго порядка определяются на основе
разделённых разностей первого порядка:
fx xfxx
(,)(
fx xx
(,,)
210
fx xx
(,,)
321
………………………………..,
fx xx
(, ,)
nn n
−−
12
21
=
=
=
xx
−
20
fx xfxx
(,)(
32
xx
−
31
fx xfxx
(, )(
nn
xx
−
−
nn
−
2
,
,
−
2
.
Подобным же образом разделённые разности 3-его порядка определяются из разделённых разностей второго порядка:
fx xx fx xx
(,,) (,
fx xxx
(,,, )
3210
fx xxx
(,,,)
4321
3212
=
fx xx fxxx
(,,) (,
=
xx
−
30
432 321
xx
−
41
,
,.....
и вообще, разделённые разности n-го порядка получаются из разделённых разностей (
fx xxx
(, ,..., ,)
nn
n−1
−
110
)-го порядка по формулам вида
fx xxfx
(, ,..., )(,,..., )
nn nn
=
11 12 0
−
xxx
n−0
−
.
Таблица разделённых разностей строится по следующей схеме:
x
y
0
0
y
1
y
2
y
3
y
4
fxx(, )
fx x(,)
fx x(, )
fx x(,)
fx xx(,
210
fx xx(,
321
fx xx(,
fx xxx(,,, )
32
fx xxx(,,,)
4321
fx xxxx(,,,
432
x
1
x
2
x
3
x
4
Каждое число этой таблицы равно частному от деления разности двух
смежных с ним чисел в столбце слева на разность
y
тем
, которые лежат на диагоналях, проходящих через это число.
i
x
, соответствующих
i
- 34 -
Пример3.4.
xx
++
),
21
()
21
()
()
()
()
()
ik
++
jj
−=
ji≥
Лекция3
x
i
3 9
7 49 1
9 81
14 196
y
Разделённыеразностипорядка
i
1 2 3
10
16 0
23 1
Разделённые разности обладают многими интересными свойства-
ми. Перечислим некоторые из них:
fx
1. Разделённая разность
(, ,..., )
ii ik
1
является симметричной функцией своих аргументов, то есть её значение не меняется при любой их перестановке.
Например,
fxxfxx(,
12
=
,
так как
fx fx
() ()
−
12
−
xx
12
fx fx
=
−
−
xx
21
.
2. Связь разделённых разностей и производных выражается равенством
k
ξ
fxxx
(, ,..., )
ii ik
++
1
f
=
,
!
k
где
3. Если
где Δ
нечных разностей см. в лекции 4).
ξ
∈
ab,
, содержащем точки
xxh
+
1
k
yi – конечная разность k-го порядка (определение ко-
(
), тогда свойство 2 примет вид:
fxxx
(, ,..., )
ii ik
++
1
xx x
,,...,
ii
1
k
y
∆
i
=
k
kh
!
.
,
- 35 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
= ()
()
−
=+ −
xx
00
−−
xx
()
11
=+ −
=+ −+ −−
01
,)
−
()
=+ −
−−
−−
nn
3.5. Интерполяционная формула Ньютона
Пусть
yy y
есть значения функции
yfx
,,...,
в точках
xx x
,,...,
n01
.
n01
Строим первую разделённую разность
fxx
(, )
()
=
0
xx
−
0
0
.
fx fx
Отсюда
fx fx fxxxx() () (, )( )
000
, (3.15)
далее
fxxx
(, ,)
01
(, )( )
=
xx
−
1
1
,
fxxf
и, следовательно,
fxxfxx fxxx
(, )(,) (, ,)
0010
.
Подставляя это выражение в (3.15), получаем:
fx fx fx xxxfxx xxxxx() () (,)( )(,,)( )( )
0010 01
. (3.16)
Теперь из равенства
fxxx fx xx
(, ,) (,
01 012
xx
−
2
.
находим
fxxxx
(, ,, )
012
fxxx fx xx fxxxxxx(, )(,, )(,,,)
01 012012 2
=
Подставляя это выражение в (3.16),получаем
fx fx fx xxxfxxxxxxx
() () (,)( )(,, )( )( )
=+ −+
0010 01201
fxx
(, ,
+
xxx xx xx xx
,)()()().−−−
12 012
0
+
Продолжая этот процесс подстановки, мы приходим к следующе-
му равенству:
fx fx fx xxxfxxxxxxx
() () (,)( )(,, )( )( )
=+ −+
0010 01201
fx x
(,
+−− ))...( )
+−−−
+
,,,)( )( )( ) ...
xx xx xx xx
23 01 2
01
(,,..., )( )(
fx xxxx xx
01 01
(, ,,..., )( )( )...( ).
fxxx xxxxxxx
01 01
−−−++
n
xx
−+
n
−1
+
(3.17)
(3.18)
- 36 -
=+ −+ −−+
=+ −− −
xx
=
,,
fx()
,)
−−12
ii
,)
Лекция3
Совокупность членов правой части формулы (3.18) без последне-
го члена представляет собой многочлен n-ой степени
Px yfxx xx fx xx xx xx
() (, )( )(,, )( )( )
n
0100 21001
fx x
(,
+
,,..., ,)()()...( )xx xx xx xx
−
1
nn
−− −
n10 01 1
−
(3.19)
Теперь формула (3.18) принимает вид:
fx Px fxxx xxxxxxx
Полагая в этой формуле
() () (, ,,..., )( )( )...( )
nn n
01 01
xx
,,...,
01
Px yi n
()
= = 0
ni i
, получим
n
.
n+1
. (3.20)
равенств
Отсюда следует, что полином (3.19) – интерполяционный многочлен
для функции
. Это и есть интерполяционный полином Ньютона.
В силу свойства единственности интерполяционных полиномов
n-ой степени, очевидно, что интерполяционный полином Ньютона
просто перегруппировкой членов можно преобразовать в интерполяционный полином Лагранжа, и наоборот.
Заметим, что добавление новых узлов интерполирования вызывает в формуле (3.19) лишь добавление новых членов без изменения
первоначальных. Это является существенным преимуществом интерполяционного полинома Ньютона по сравнению с интерполяционным полиномом Лагранжа.
Пример3.5.Построить интерполяционный полином Ньютона по
следующей информации:
x
i
y
i
-1 0 0,5 1
1 1 1,375 3
Решение:
x
i
-1 1
0 1 0,5
0,5 1,375 2,5
1 3
y
i
fxx
(, )−1fxxx
ii
0
0,75 1
3,25
- 37 -
(,
ii i
fxxx x
(,
ii
−− −123
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
xxxx
10505
..
=+ ++ +++−=
=+ +++−−−=+ +05 05 1
22
.. .xxxx
= ()
Pxn()
Px
nn
()=()−()
Rx
()
fx
()
()
Rx
()
()
()
nn
()
()
()
()
[]
()
()
()
()
()
Px xxxx xx
10 1051 105
() ().( )( )( .)
3
232
3
3.6. Погрешность интерполяционных формул
Производя интерполирование функции
онной формуле в некотором отрезке
полиномом
[,]ab
. В остальных точках этого отрезка разность
, совпадающим с ней в
Rx fx
[,]ab
yfx
по интерполяци-
, мы заменяем эту функцию
n+1
данных точках отрезка
в общем случае отлична от нуля и представляет собой истинную погрешность метода. Величина
называется остаточным членом
n
или погрешностью интерполяции.
Теорема. Если функция
в промежутке
ab,
имеет непрерывные производные до (n+1)-го порядка, то остаточный член интерполяции
можно представить в виде:
n
Rx f
()=()
n
()
n
+11
n
ξ
,
+
1
!
n
x
ω
+
где
ω
xxxxxxx
Так как
=−
+
101
n+
1
()
f
ξ
найти практически невозможно, то ограничива-
−
...
−
ξ
∈
ab,
,
.
ются оценкой погрешности:
n
Rx М
≤⋅
()
n
+ω1
+
n
где
n
1
ab
+
,
Мfx
=
max
[]
Выводы
Лекция посвящена изучению одного из важнейших разделов вычислительной математики – теории приближения функций. Введены
такие фундаментальные понятия как: определение аппроксимации
функции; требования к приближающей функции (простота и близость); рассмотрена основополагающая теорема в теории приближения – теорема Вейерштрасса; изучены методы приближения функ-
- 38 -
x
1!
,
.
xy
00
xy
11
00
xy
11
xy
22
x
y
fx()
x
y
x = 4
xy
nn
=
()
⋅+
()
⋅++
()
⋅
φφ φ
φ
()
()
()
()
()
()
xx
in
()+()
()
n − го
n
Лекция3
ций: интерполирование по Лагранжу, интерполирование по Ньютону
и связанные с этими методами вопросы – оценка погрешности приближения, разделённые разности и их свойства; приведены разнообразные примеры и решены некоторые конкретные задачи.
Вопросы для самопроверки
1. Какой многочлен называется интерполяционным?
2. Что называется узлами интерполяции?
3. Сколько интерполяционных многочленов можно построить
для данной функции и данной системы узлов?
4. В чем состоит геометрический смысл интерполяции?
5. Что представляет собой график интерполяционного многоч-
лена при следующих данных:
а)
б)
(, )
(, )xy
(, )
,
(, )
,
;
(, )
,
.
6. Выпишите формулы погрешности (остаточного члена) интер-
поляции и оценки погрешности интерполяции.
7. Построить интерполяционные многочлены Лагранжа и Нью-
тона для функции, заданной таблично:
1 2 3 5
1 5 17 89
Сделать проверку.
8. Функция
задана таблично:
0 1 2 6
-1 -3 3 1187
Пользуясь интерполяционными многочленами Лагранжа и
Ньютона, найти ее значение при
9. Интерполяционный многочлен Лагранжа задан в виде:
Px xy xy
() ...
0011
где
x
()
i
xx xx xx xx xx
=
−
xxxx
()
ii
Доказать, что
−
−
−
(()
01
φφ φ
01
−
... ...
−
... ...xx xx
()
ii ii
++
−
ii n
−+01 11
−
()
−+
11
=...
n
10. Докажите теорему: Разделенные разности
полинома степени
постоянны.
- 39 -
.
,
n
−
1xx x
.
.
−
порядка от
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
ye
x
y
fx()
x
fx()
11. Используя таблицу значений функции
интерполяции Лагранжа и Ньютона вычислить
погрешность результата.
3.60 3.65 3.70
35.598 38.475 40.447
x
=
, по формулам
362.
e
и оценить
12. Функция
Найти значение x, для которого
задана таблицей
10 15 17 20
3 7 11 17
fx()=10
.
Рекомендованная литература
Основная
1. Амосов А. А. и др. Вычислительные методы: Учебное пособие. – 4-е
изд. стер. – СПб.: Изд-во «Лань», 2014, 672 с.
2. Баxвалов H., Жидков H., Кобельков Г. Численные методы. – Москва –
Санкт-Петербyрг: ФИЗМАТЛИТ, 2008.
3. Баxвалов H. С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в зада-
чаx и примераx. – М.: ВШ, 2009.
4. Березин И. С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1. – М.: Физмат-
гиз, 1966.
5. Вержбицкий В. М. Численные методы. – М.: Высшая школа, 2004.
6. Волков Е. А. Численные методы: Учебное пособие. 5-е изд., стер. –
СПб.: Изд-во «Лань», 2008, 256с.
7. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики:
Учебное пособие. 8-е изд., стер. – СПб.: Изд-во «Лань», 2011, 672 с.
8. Зализняк В. Е. Основы научных вычислений. Введение в численные
методы для физиков. – М.: Едиториал УРСС, 2002, 296с.
9. Копчёнова Н. В., Марон И. А. Вычислительная математика в задачах
и примерах. – М.: Изд-во Лань, 2008, 368 с.
10. Самарский А. А., Гyлин А. В. Численные методы. – М.: Наука, 2008.
11. Турчак Л. И., Плотников П. В. Основы численных методов: учебное
пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, 320 с.
12. Формалёв В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. – М.: ФИЗ-
МАТЛИТ, 2006, 400 с.
Дополнительная
13. Азаров А. И. и др. Сборник задач по методам вычислений. – М.:
Hаyка, 1994.
- 40 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]