Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
следовательно, можно принять
()
..
.)
a
n
n
()
()
()
δ
()
()
()
∆
π
Итак,
≈ 0 0016.
*
π
.(
=⋅±31410 00051
и
δπ
()
2.5. Округление
0 0016
.
≈≈ =
314
.
0 000510051
.
Лекция2
%
Часто возникает необходимость в округлении числа
*
a
не его другим числом
с меньшим числом значащих цифр. Возни-
, т.е. в заме-
кающая при такой замене погрешность называется погрешностью
округления.
Существует несколько способов округления до
значащих цифр.
Наиболее простой из них – усечение состоит в отбрасывании всех
цифр, расположенных справа от
-ой значащей цифры.
Более предпочтительным является округление по дополнению.
В простейшем варианте это правило состоит в следующем: если первая слева из отбрасываемых меньше 5, то сохраняемые цифры остаются без изменения; если же она больше либо равна 5, то младший
сохраняемый разряд увеличивается на единицу.
Абсолютная величина погрешности округления при округлении
по дополнению не превышает половины единицы разряда, соответствующего последней оставляемой цифре, а при округлении усечением – единицы того же разряда.
Пример2.10. При округлении числа
значащих цифр получаем число
нению – число
a*.=173
.
При округлении усечением –
*
полнению –
∆ a
.
≤ 0 005
.
a*.=172
∆ a
a=172631.
усечением до 3-х
, а при округлении по допол-
*
.
≤ 001
, при округлении по до-
Границы абсолютной и относительной погрешностей принято
всегда округлять в сторону увеличения.
Пример 2.11. Округление величин
*
a
.
и
δ
= 0 0005427
*
a
.
= 0 00055
до двух значащих цифр дает значения
.
- 21 -
∆ a
*
.
= 0 003721
∆ a
*
= 0 0038
и
.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
xx
=
n
()
in=12
**
xx
()
(()
∆()
*
x
i
in=
∆∆
)(
**
==
11
∆∆
()
**
∂
in=12
xx
**
()
∆∆
()
**
()
∆∆
()
xx
2.6. Погрешность функции
Основная задача теории погрешностей ставится следующим образом: известны погрешности некоторой системы величин; требуется
определить погрешность данной функции от этих величин (аргументов).
fx fx
Пусть
функция
() (, ,,)
12
переменных, вычисление значения которой производится
при приближенно заданных значениях аргументов:
*
пусть
∆ x
(,,,)
,
i
– дифференцируемая в области G
n
** *
xx x
,,,
n12
– абсолютные погрешности аргументов.
, и
Тогда абсолютная погрешность функции
**** ****
∆∆∆∆() (),(), ,(),,,
ffxxxx xxfx
=+ ++
1122 12
Обычно на практике
(,,,)
12
,
nn n
−
.
– малые величины, произведениями, квадратами, высшими степенями которых можно пренебречь. Поэтому
****
fdfxxx
≈
()
12
т.е.
где частные производные
()
f
n
f
∂
=
n
n
≤
=∑1
i
∑
i
x
∂
i
f
∂
⋅
x
∂
i
⋅≤
x
n
f
∂
∆() ,,,(
x
∑∑
i
,
i
x
∂
i
i
)
x
⋅
,
i
(,,,)
вычисляются в точке
∂fx
i
**
xx
,,,=
12
.
n
Переходя к границам погрешностей аргументов и функции, полу-
чим окончательно
n
f
()
f
∂
=
∂
=∑1
i
x
⋅
.
x
i
i
Разделив обе части последнего неравенства на
ницу относительной погрешности функции
*
f
∆
*
δ
()
f
=
.
*
f
Замечание. Для функции одного переменного формула абсолют-
ной погрешности примет вид:
***
() ()
′
ff
=
⋅
.
- 22 -
*
f
, получим гра-
∆∆
()
**
a
()
b
()
ab
**
()
=+
∂
∂
()
()
()
()=()+()
()
()
**
()
fa
=⋅
∂
∂
()
()
()
()
()
()
δ
**
()
fa
=⋅
()
()
()
()
()
δδ
()
()
()
()+()
()
Лекция2
2.7. Погрешности арифметических операций
Рассмотрим некоторые применения формулы
n
f
()
f
∂
=
∂
=∑1
i
x
⋅
.
x
i
i
1) Пусть даны два приближенных числа и их абсолютные по-
*
*
*
∆ a
грешности, т.е.
,
В результате для функции
f
***
∆∆∆f
=
()
*****
∆∆∆∆∆fabab
=⋅
11
∂
a
+⋅
⋅
и
fab
a
()
,
+
∆ b
*
, имеем:
f
⋅
∂
b
. Найти
b
,
∆
+
.
.
2) Пусть даны два приближенных числа и их абсолютные по-
*
*
*
a
∆ a
грешности, т.е.
,
В результате для функции
f
***
∆∆∆f
=
()
∆∆∆fbaa b
⋅
∂
a
** ** *
=⋅
b
и
a
()
*
∆ b
,
b
, имеем:
f
+
⋅
∂
b
+⋅
. Найти
b
,
∆ ab
⋅
.
3) Пусть даны два приближенных числа и их абсолютные по-
*
*
*
грешности, т. е.
Для функции
a
∆ a
,
b
, имеем:
f
∂
***
∆∆∆f
=
()
∆∆∆fbaa b
a
∂
** ** *
=⋅
b
и
a
⋅
()
*
∆ b
,
∂
f
+
⋅
∂
b
+⋅
. Найти
b
,
ab
⋅
.
Из равенства
*
∆
*
δ
f
()
f
=
,
*
f
получим
*
∆∆∆∆∆
*
f
=
()
f
****
f
baab
=
*
⋅
+⋅
**
⋅
ab
*
a
=
*
a
*
b
*
b
=
a
()
*
*
++
δ
b
.
- 23 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
=±
()
..
()
..
=±
()
..
=±
()
..
()
()
ab
**
()
a
b
()
()
**
()
()
()
**
()
()
()
()
()
()
()
Выводы
В лекции освещены следующие вопросы: дано определение математическому объекту «Приближённая величина» и связанные с ним
понятия абсолютной и относительной погрешности; правила записи
приближённых чисел; установлена связь относительной погрешности с количеством верных значащих цифр; выведена формула погрешности функции многих переменных в зависимости от погрешностей
её аргументов; на основе формулы погрешности функции выведены
формулы оценок погрешностей арифметических операций.
Вопросы для самопроверки
1. Дать определение абсолютной погрешности приближенного
числа.
2. Дать определение относительной погрешности приближенного числа.
3. Укажите связь абсолютной и относительной погрешностей.
4. Что означает запись:
5. Верна ли запись:
a =±
252001
3470033
?
?
a
6. Укажите верные знаки в широком смысле приближенного
числа, если
1 345 0052
.
a
7. Укажите верные знаки в узком смысле приближенного числа,
a
если
2 3345 0 0052
8. Найдите абсолютную погрешность суммы чисел
∆ a
*
.
= 001, ∆ b
*
9. Найдите относительную погрешность суммы
*
*
,
известны
,
10. Найдите абсолютную погрешность частного
*
*
a
b
,
известны
,
11. Найдите относительную погрешность частного
*
если известны
a
12. Найдите абсолютную погрешность произведения чисел
*
b
, если
a*.= 314, b*.= 272, ∆ a
13. Найдите абсолютную погрешность частного чисел
a*.= 314, b*.= 272, ∆ a
если
= 002
∆ a
∆ a
*
b
,
*
*
,
.
.
и
и
∆ a
.
∆ b
∆ b
*
*
.
*
.
*
∆ b
и
*
= 001, ∆ b
*
.
= 001, ∆ b
*
*
a
b
и
, если
δ
+
, если
∆ ab
δ
, если
ab
.
*
a
и
*
и
*
b
a
*
*
= 002
.
= 002
.
.
.
.
,
,
- 24 -
()
()
()
()
yx=
zx
=⋅
Лекция2
*
14. Найдите относительную погрешность произведения чисел
и
*
b
, если
a*.= 314, b*.= 272, ∆ a
*
.
= 001, ∆ b
*
.
= 002
15. Найдите относительную погрешность частного чисел
a*.= 314, b*.= 272, ∆ a
если
*
.
= 001, ∆ b
*
.
= 002
.
a
.
*
*
a
b
и
16. Найдите абсолютную погрешность вычисления значения
функции
sin( )
, если
x*.= 0 547
(все знаки верные в широ-
ком смысле).
17. Найдите абсолютную погрешность вычисления значения
функции
sin( )
, если
x*.= 0 547, y*.= 0825
(все знаки
y
верные в широком смысле).
Рекомендованная литература
Основная:
1. Амосов А. А. и др. Вычислительные методы: Учебное пособие. –
4-е изд. стер. – СПб.: Изд-во «Лань», 2014, 672 с.
2. Демидович Б. П., Марон И. А., Шyвалова Э. З. Численные методы
анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные
уравнения: Учебное пособие. 5-е изд., стер. – СПб.: Изд-во «Лань»,
2010, 400 с.
3. Копчёнова Н. В., Марон И. А. Вычислительная математика в задачах
и примерах. – М.: Изд-во Лань, 2008, 368 с.
Дополнительная:
4. Азаров А. И. и др. Сборник задач по методам вычислений. – М.:
Hаyка, 1994.
,
- 25 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
fx()
φ
()
=+′−
φ
()
fx()
()
+
,,
2
fx()
3. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
ПО НЕРАВНООТСТОЯЩИМ УЗЛАМ
План
3.1. Постановказадачиаппроксимации(приближения)функций.
3.2. Интерполированиефункцийкакметодприближенияфункций.
3.3. ИнтерполяционнаяформулаЛагранжа.
3.4. Разделённыеразностиразличныхпорядков.
3.5. ИнтерполяционнаяформулаНьютона.
3.6. Погрешностьинтерполяционныхформул.
3.1. Постановка задачи аппроксимации (приближения) функций
Многие методы вычислений основаны на идее замены функций,
входящих в формулировку задачи, более простыми функциями и
близкими к данным в каком-либо смысле.
Например, при решении уравнения
fx()=0
методом Ньютона функция
жения
x
к корню заменяется линейной функцией
0
() () ()
xfxfxxx
Корень функции
x
и принимается за следующее приближение
к корню уравнения
Формула Симпсона
b
fxdx
∫
a
() () ()≈
ba
для приближенного вычисления интеграла основана на замене подынтегральной функции
шей) степени, который при
в окрестности начального прибли-
000
fx()=0
−
fa f
6
многочленом
xa
.
+
4
ab
ab
+
2
b=
Px
fb
+
второй (или мень-
имеет те же значения, что и
Интеграл
.
- 26 -
Лекция3
b
a
dx
∫
fx()
[]
ε
> 0
()
−<
x
[]
[]
= ()
b
fxdx
() () ()
∫
a
ba
≈
−
6
fa f
+
fb
ab
+
+
4
2
и принимается за приближенное значение интеграла
()
fx
.
В обоих примерах в качестве приближающих функций брались
многочлены.
Основой для применения многочленов в качестве приближений к
непрерывным функциям является свойство полноты многочленов в
классе непрерывных функций, выражаемой теоремой Вейерштрасса:
Px
ab;
, что
Если
непрерывная на конечном замкнутом промежутке
функция, то для любого
ab;
при всех
из
.
можно указать такой многочлен
fx Px() ()
ε
,
Другое важное свойство многочленов состоит в том, что они явля-
ются функциями простой природы. Чтобы вычислить значение многочлена, нужно выполнить конечное число арифметических операций: сложение, вычитание и умножение.
Производная и интеграл (неопределённый) от многочлена сами
являются многочленами.
Теорема Вейерштрасса не даёт способа для построения прибли-
жающего многочлена, она указывает лишь на принципиальную возможность построения такого многочлена.
3.2. Интерполирование функций
как метод приближения функций
Существует различные способы приближения функций при помо-
щи многочленов. В методах вычислений большое применение получил способ интерполирования, сущность которого сводиться к следу-
ab;
ющему: пусть на отрезке
задана функция
yfx
(3.1)
или по крайней мере, известны её значения
yy y
,,,
(3.2)
n01
- 27 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
ab
[]
()
{}
[]
= ()
[]
fx()
()
()
{}
()
ii
()=
xx
= in=
()
= ()
= ()
xa
nn
aa
()
==
()
aa
соответственно в точках
указанного отрезка
Выбираем класс функций
,,,
;
.
Px
(3.3)
n01
, определённых на
ab;
, и более
xx x
«простых» в некотором смысле, например, класс степенных многочленов.
Интерполирование функции
yfx
стоит в приближенной замене функции
ной из функций
Px
из класса
Px
, т. е.
на данном отрезке
на данном отрезке од-
ab;
со-
f(x) ≈ P(x),
Px
причём функция
такова, что в точках (3.3) она принимает значе-
ния (3.2), т. е.
Px fx
()
при
01,, ,
i
. (3.4)
Точки (3.3) называются узлами интерполирования, или просто
Px
узлами, а
Геометрически условия (3.4) означают следующее:
– интерполирующей функцией.
график многочлена
MM M
,,,
, принадлежащие кривой
n01
yPx
Пусть
Px aaxa
()=+ +
Найти интерполяционный многочлен – это значит найти коэффициенты
В соответствии с задачей
Px yi n
ni i
и мы приходим к линейной алгебраической системе относительно
aa
,,,,
:
n012
должен проходить через точки
n
01 2
aa
,,,,
yfx
2
. (3.6)
n012
0,
.
n
x
. (3.5)
(3.7)
- 28 -
=≠
x
y
12
()
xy
xy
xy
Лекция3
n
n
00
n
n
11
nnnn
. (3.8)
nn01 2
2
...
2
...
aaxaxaxy
++ ++ =
01020
aaxaxaxy
++ ++ =
01121
....................................................
aaxax
++22++ =... ax y
Определителем этой системы является определитель Вандермонда
xx x
1
0020
xx x
1
W
1121
... ... ... ... ...
xx x
1
nn n
2
...
...
...
n
n
0
.
n
Поэтому система (3.8) имеет единственное решение, а, следова-
тельно, и задача интерполирования многочленом n-ой степени имеет
и при том единственное решение.
Пример3.1. Построить интерполяционный многочлен для функ-
ции заданной таблицей:
0 1 3
2 4 26
Решение. По данной информации можно построить интерполяци-
онный многочлен не выше 2-й степени:
Px aaxax
=+ +
20
Составляем систему уравнений относительно
aaxa
+⋅ +⋅ =
0102020
aaxa
+⋅+⋅ =
0112121
aaxa
+⋅+⋅ =
0122222
2
.
,
,
,
aaa
,,
012
на основе (3.8):
то есть
Решая последнюю систему, получим следующий результат:
a
2
=
,
0
aaa
++=
012
aaa
39 26
++ =
012
- 29 -
4
,
.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
xx
23
()
Py
20
()
Py
21
()
Py
22
()
==
aa
xa
nn
nn
()
()
()
()
()
nn
AA
ni
=
,)in=
xx=
xy
nn
()=− −−=
a
2
=
,
0
a
1
=−
,
1
a
3
=
.
2
Итак, получим искомый интерполяционный многочлен
Px
2
=−+
2
.
Проверка.
02
==
14
==
,
,
326
,
то есть найденный полином второй степени действительно является
интерполяционным.
Но нахождение коэффициентов
,,,,
интерполяционного
n012
aa
полинома при помощи определителей очень громоздко, поэтому укажем другие способы построения интерполяционных многочленов.
3.3. Интерполяционная формула Лагранжа
Чтобы упростить вычисления, не будем составлять, и решать систему (3.8). Многочлен (3.5)
n
Px aaxa
()=+ +
01 2
2
x
запишем в виде
Px Axxxxxx
Постоянные
=−
01 2
Ax xxxxx
+−
()
10 2
+
−
A
xxx xx xx xx
()
2
........................................................
Axxxxxx
()
AA
,,,,
Px y
()
−
−
()
−
()
013
−
()
01 1
определим из условий (3.7):
n012
(,,,
−
...
...
()
−
()
... .+−
()
012
+
−
+
n
−
...
−
n
−
.
+
(3.9)
Положив в формуле (3.9)
Px Ax xx xx
() ()()
00 10 20 0
, найдём
0
- 30 -
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]