Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
I
φ
I
φ
()
=−
=−
hh
=−
=−
pp=++
=−
=−
=−
hh
=−
pp≤++
Лекция1
Вычислительная погрешность может возникнуть, например, из-за
конечности количества разрядов чисел, участвующих в вычислениях.
Введем формальные определения.
Пусть
случае – реальный угол
– точное значение отыскиваемого параметра (в данном
отклонения маятника в момент времени
t
),
1
– точное значение этого параметра, соответствующее принятому математическому описанию (в данном случае – точное значение
шения уравнения (1.1);
I
– решение задачи, полученное при реали-
h
t
ре-
1
зации численного метода в предположении отсутствия округлений;
*
I
– приближенное к решению задачи, получаемое при реальных
h
вычислениях.
Тогда
pII
1
pII
pI I
3
Полная погрешность
– неустранимая погрешность;
– погрешность метода; (1.2)
h2
*
– вычислительная погрешность
*
pI I
h
, равная разности между реально
получаемым и точным решениями задачи, удовлетворяет, очевидно,
равенству
pp
123
(1.3)
Во многих случаях по терминам погрешности того или иного вида
удобно понимать не разности (1.2) между приближениями, а некоторые меры близости между ними. Например, в скалярном случае
полагают
*
pI I
h
pII
,
1
pII
,
,
h2
*
pII
3
;
при таких обозначениях вместо (1.3) получаем
pp
123
.
1.4. Корректность и устойчивость
При решении любой задачи необходимо знать какие-то входные
(исходные) данные – начальные, граничные значения искомой функции, коэффициенты и правую часть уравнения и др.
Для каждой задачи ставятся одни и те же вопросы: существует ли
решение задачи, является ли оно единственным и как зависит решение задачи от входных данных?
- 11 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Возможны два случая:
Задачапоставленакорректно (задача корректна): это значит, что –
1) задача разрешима при любых допустимых входных данных;
2) имеется единственное решение;
3) решение задачи непрерывно зависит от входных данных (малому изменению входных данных соответствует малое изменение решения) – иными словами, задача устойчива.
Задача поставлена некорректно (задача некорректна), если её
решение неустойчиво относительно входных данных (малому изменению входных данных может соответствовать большое изменение
решения).
Пример корректной задачи – задача интегрирования, пример некорректной задачи – задача дифференцирования.
1.5. Технология решения задачи на ЭВМ
Рассмотрим процесс решения задачи с использованием ЭВМ.
Этот процесс можно разделить на несколько этапов.
Пусть, например, требуется исследовать какой-то физический
объект, явление, процесс.
1. Формулируются основные законы, управляющие данным
объектом исследования. По-другому этот этап называется математической постановкой задачи.
2. Строится соответствующая математическая модель, представляющая обычно запись этих законов в форме уравнений
или систем уравнений (алгебраических, дифференциальных,
интегральных и т.д.); при построении математической модели
мы пренебрегаем факторами, не оказывающими существенного влияния на ход изучаемого процесса. Типичные математические модели, соответствующие физическим явлениям,
формулируется в виде уравнений математической физики.
3. Выбор численного метода решения задачи.
4. Составление вычислительной схемы (алгоритма) и программы решения задачи на ЭВМ.
5. Проведение вычислений и анализ результатов.
- 12 -
Лекция1
Такую технологию исследования сложных проблем, основанную
на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей
изучаемого объекта, называют вычислительным экспериментом.
Приведем его схему.
Выводы
Лекция является введением в современный раздел прикладной
математики и математического моделирования. Рассмотрены следующие вопросы: определены объект и предмет вычислительной математики; доносится до слушателей основополагающая идея, что предметом вычислительной математики являются численные методы,
которые предназначены для решения основных задач математического анализа, алгебры, дифференциальных уравнений. Численный
метод рассматривается как вычислительный алгоритм; приведена
современная классификация численных методов; введены современные понятия корректности и устойчивости как самих решаемых
задач, так и вычислительных алгоритмов, предназначенных для решения вычислительных задач; приведена схема вычислительного
эксперимента – технологии решения задач на ЭВМ.
Вопросы для самопроверки
1. Определите область применения вычислительной математики.
2. В чем заключается основной метод вычислительной математики?
3. Дайте определение погрешности.
- 13 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
4. Приведите классификацию погрешностей в зависимости от
источника их возникновения.
5. Корректные и некорректные задачи.
6. Вычислительный эксперимент, этапы его проведения.
Рекомендованная литература
Основная
1. Амосов А. А. и др. Вычислительные методы: Учебное пособие. – 4-е
изд. стер. – СПб.: Изд-во «Лань», 2014, 672 с.
2. Баxвалов H., Жидков H., Кобельков Г. Численные методы. – Москва –
Санкт-Петербyрг: ФИЗМАТЛИТ, 2008.
3. Баxвалов H. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в
задачаx и примераx. – М.: ВШ, 2009.
4. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т.1. – М.: Физмат-
гиз, 1966.
5. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т.2. – М.: Физмат-
гиз, 1962.
6. Вержбицкий В. М.. Численные методы. – М.: Высшая школа, 2004.
7. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики:
Учебное пособие. 8-е изд., стер. – СПб.: Изд-во «Лань», 2011, 672 с.
8. Демидович Б. П., Марон И. А., Шyвалова Э. З. Численные методы
анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные
уравнения: Учебное пособие. 5-е изд., стер. – СПб.: Изд-во «Лань»,
2010, 400 с.
9. Зализняк В. Е. Основы научных вычислений. Введение в численные
методы для физиков. – М.: Едиториал УРСС, 2002, 296с.
10. Самарский А. А., Гyлин А. В. Численные методы. – М.: Наука, 2008.
11. Срочко В. А. Численные методы. Курс лекций: Учебное пособие. –
СПб.: Изд-во «Лань», 2010, 208с.
12. Турчак Л. И., Плотников П. В. Основы численных методов: учебное
пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, 320 с.
Дополнительная
13. Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики. – М.:
Наука, 1977.
- 14 -
Лекция2
a
aa
−
**
()
=−
()
01
2. ВВЕДЕНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНУЮ ТЕОРИЮ
ПОГРЕШНОСТЕЙ
План
2.1. Приближенныечисла.
2.2. Абсолютнаяиотносительнаяпогрешности.
2.3. Правилазаписиприближённыхчисел.
2.4. Связьотносительнойпогрешностиприближенногочислас
количествомверныхзнаковэтогочисла.
2.5. Округление.
2.6. Погрешностьфункции.
2.7. Погрешностиарифметическихопераций.
2.1. Приближенные числа
Числа, получаемые при решении прикладных задач на ЭВМ, как
правило, являются приближенными. Следовательно, вопрос о точности результатов, т. е. о мере их уклонения от истинных значений,
имеет большое значение в практике вычислений.
Приближённым числом
чающееся от точного числа и заменяющее последнее в вычислениях.
*
a
называется число, незначительно отли-
2.2. Абсолютная и относительная погрешности
Пусть
рой величины,
– точное (вообще говоря, неизвестное) значение некото-
*
a
– известное приближённое значение той же вели-
чины (приближённое число).
Ошибкой (или погрешностью) приближённого числа а* называ-
*
ется разность
между приближённым и точным значениями.
Простейшей количественной мерой ошибки является абсолютная
погрешность
∆ aaa
.
Однако по величине абсолютной погрешности далеко не всегда
можно сделать правильное заключение о качестве приближения.
Действительно, если
∆ a
.
=
, то следует считать погрешность
*
большой или малой. Ответ существенным образом зависит от принятых единиц измерения и масштабов величин.
- 15 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
()
.%
()
≈=
.%
()
−−
97
a
()
()
**
()
()
()
δ
()
()
()
δ
()
**
aa
()
a
Если a ≈ 0.3, то, скорее всего точность измерения невелика; если
−
a ≈⋅
же
0310
8
.
, то точность следует признать очень высокой.
Таким образом, естественно соотнести погрешность величины и
её значение, для чего вводится понятие относительной погрешности
(при a ≠ 0)
*
∆
a
=
a
δ
()
a
*
*
aa
=
−
a
Использование относительных погрешностей удобно, в частности,
тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерения.
Для приведенного выше примера
*
δ
a
03333
*
δ
a
≈⋅=⋅
033103310
Так как значение
*
δ
a
по приведенным формулам невозможно. Более реальная и ча-
в первом случае и
во втором.
неизвестно, то вычисление величин
∆ a
*
и
сто поддающаяся решению задача состоит в получении оценок погрешности вида
aa a
−≤
∆
где
∆ a
*
aa
−
≤
*
a
*
и
*
a
– известные величины, которые будем называть
(2.1)
*
a
δ
(2.2)
верхнимиграницами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.
*
∆ a
Если величина
известна, то неравенство (2.2) будет выпол-
нено, если положить
*
a
∆
*
δ
a
Точно так же, если величина
()
∆()
=
δ
(2.3)
*
a
*
a
известна, то следует положить
*
a=
⋅
(2.4)
ной дроби:
2.3. Правила записи приближённых чисел
Пусть приближённое число
*
задано в виде конечной десятич-
- 16 -
*
ββ
()
()
a = 1 00000.
()
a
αα αβ
nn m
−
1012
Значащими цифрами числа
a
начиная с первой ненулевой слева.
Лекция2
,=
*
называют все цифры в его записи,
Пример 2.1. У чисел
a=00103.
и
a=00103000.
значащие цифры
подчеркнуты. Первое число имеет 3, а второе 6 – значащих цифр.
*
Значащую цифру числа
a
называют верной в широком смысле,
если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.
Пример 2.2. Если
∆ a
*
=⋅−210
6
, то число
a*.= 00103000
имеет
4 верные значащие цифры (они подчеркнуты).
*
Значащую цифру числа
a
называют верной в узком смысле
(строгом), если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.
Пример 2.3. Если
∆ a
*
=⋅−210
6
, то число
a*.= 00103000
имеет 4
верные значащие цифры в узком смысле.
Следует отметить, что широко распространенной ошибкой при
записи приближённых чисел является отбрасывание последних значащих нулей (даже если они представляют собой верные значащие
цифры).
Замечание. Верная цифра приближённого числа, вообще говоря,
не обязана совпадать с соответствующей цифрой в записи точного
числа. Таким образом, термин «верная цифра» не следует понимать
буквально.
Пример2.4. Пусть
*
у числа
a
все подчеркнутые цифры – верные, хотя они и не совпада-
a*.= 0 99999
,
ют с соответствующими цифрами числа a.
- 17 -
. Тогда
∆ a
*
.
= 0 00001
и
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
δ
α
a
α
a
α
π
α
=
==
2.4. Связь относительной погрешности приближенного
числа с количеством верных знаков этого числа
Количество верных значащих цифр числа тесно связано с величиной его относительной погрешности. Эта связь выражается следующей теоремой.
*
a
Теорема 2.1. Если положительное приближенное число
k
верных значащих цифр, то относительная погрешность δ этого
имеет
числа не превосходит
1
−k
1
10
,
деленную на первую значащую цифру данного числа, т. е.
k
−
1
10
,
где
11
*
()
a
≤⋅
α
k
– первая значащая цифра числа.
k
Следствие2.1. За предельную относительную погрешность числа
можно принять
k
−
11
*
δ
() ,
a
=⋅
α
k
где
т.е.
– первая значащая цифра числа.
k
Следствие2.2. Если число
k≥2
, то практически справедлива формула
δ
имеет больше двух верных знаков,
121
*
()
a
=⋅
α
k
Замечание. Если приближенное число
1
10
k
−
1
10
,
имеет k верных десятичных знаков в широком смысле, то приведенные оценки следует
увеличить в два раза.
Пример2.5. Какова предельная относительная погрешность, если
*
.= 314
3, k=3
k
.
.
вместо числа π взять число
Решение. В нашем случае
Следовательно
−
1231
*
δπ
() %
=⋅⋅
31
1
10
60016
.
- 18 -
.%
α
=
δ
=
10
−
δ
()
()
()
≈⋅
δ
Лекция2
Пример2.6.Со сколькими значащими цифрами надо взять
имеем:
0 001
01
,
?
чтобы относительная погрешность не превышала
Решение. Т.к.
20 4= .
δ
() .
a
11
*
=⋅
α
k
, то
10
4
k
k
−
1
=
и
410
⋅
0 001.
1
≤
k
−
1
20
отсюда
1k −
10 250
≥
k
10 2500
≥
;
;
k
2500
≥
;
k≥4.
Приведенная теорема даёт возможность по числу верных знаков
приближённого числа
a
k
=+ +
αα
10 10
k
k*
1
k
−
1
определять его относительную погрешность δ.
Для решения обратной задачи – определения количества k вер-
*
a
ных знаков числа
, если известна его относительная погрешность
, обычно пользуются приближённой формулой
*
a
∆
*
δ
a
=
()
*
a
где Δ
– абсолютная погрешность числа
Следует отметить, что погрешности Δ(a
,
*
a
*
a
.
*
) и
*
δ
a
принято записывать с одной или двумя значащими цифрами. Большая точность в записи этих величин, как правило, не имеет смысла, т.к. обычно они
являются довольно грубыми оценками истинных значений погрешностей, и кроме того, для практического использования часто бывает
достаточно знать только их порядок.
,
Пример2.7. Информация о погрешности вида
*
δ
() .
a
02875410
−
5
,
практически равноценна информации
*
δ
() .
a ≈⋅
0310
−
5
,
причем последняя оценка вызывает больше доверия. Скорее всего,
вполне удовлетворительной в данном случае является и запись
*
a ~10
6
.
()
- 19 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
()
**
()
**
()
∆∆
*
()a∆
()
**
()
()
a
=±
..
=±
=±
..
()
**
()11
()
()
δδ
a
δ
()
()
()
**
()
*
δ
Последняя запись показывает, что величина
a
один и тот же порядок.
aa a
Неравенство
−≤∆
и поэтому тот факт, что число
эквивалентно двойному неравенству
**
aaaa a
()
−≤≤+
*
a
является приближенным значением
числа a с верхней границей абсолютной погрешности
лютной точностью
Как правило, числа
ε
=∆
*
a
) принято записывать в виде
*
a
и
aa a=±
∆
.
указывают с одинаковым числом
∆ a
*
цифр после десятичной точки.
Пример2.8. Пусть для числа
a*.=1648
можно записать
и граница абсолютной погрешности
a
1648 0 003
a
Записи вида
1648 0 002832..
известны приближённое значение
*
∆() .
a = 0 002832
.
a
или
1648 001
являются неес-
тественными.
Из неравенства
*
aa
−
*
a
*
a
≤
δ
и
6−
10
имеют
(с абсо-
. Тогда
следует, что
Поэтому тот факт, что число
ем числа
с границей относительной погрешности
тельной точностью
Пример2.9. Оценим точность приближения
Известно, что
**
aaaa a
εδ
*
π
.= 314159
−
*
=
a
()
≤≤ +
*
a
является приближённым значени-
.
), принято записывать в виде
aa a=±
1
δ
*
π
ππ
, поэтому,
−=*.0 00159
*
a
(с относи-
.= 314
к числу π.
.
- 20 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]