Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
=
fe
h = 10
t = 01.
tt
4
!
()
4
yx=
sin54
x
y
y∆
02
Лекция4
Так как
fx x() lg
, то
()
4
=−
fx
()
3
!
e
lg
,
4
x
поэтому
3
<
1000
!( )
⋅
!
lg
.
4
4
e
4
≈⋅
−
0510()
9
.<
.
При
и
R
3
1001
()
4
()
ξ
получаем
01 0919 2910
.... lg
⋅⋅⋅⋅⋅
41000
Видим, что остаточный член может влиять только на девятый деся-
lg1001
тичный знак. Заметим, что у полученного значения
все цифры
верные.
Для оценки остаточного члена теперь воспользуемся формулой (4.15):
4
y
∆
Rx
3
R
1001
3
Пример4.4. Используя таблицу значений функции
0
.
0
tt
123()
≈⋅−− −
10
()()
7
−
01 0919 29 2110()!.... .≈⋅⋅⋅⋅≈⋅
9
−
.
sin
Решение. Составим таблицу разностей.
, найти
300
350
400
450
500
550
Видим, что третьи разности практически постоянны. Поэтому в
формуле (4.8) достаточно взять четыре члена.
Для вычисления
0.5000
0.5736
0.6428
0.7071
0.7660
0.8192
sin54
0
имеем
54 55
t =
0.0736
0.0692
0.0643
0.0589
0.0532
00
−
=−
0
5
- 51 -
.
.
2
y∆
-0.0044
-0.0049
-0.0054
-0.0057
3
y∆
-0.0005
-0.0005
0.0003
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
⋅−
44
4
!
()
04
ξξ
24
tt
4
!
()
06
4
!
..
−−
По формуле (4.6) получаем
(.).
02 08
0
sin(). (.).
54 54 081920200532
Остаточный член при
В нашем случае
0
==+− ⋅−
P
3
002 0818
(
−
.) ..
−
Rx h
()
3
htf== =− =500873 02
⋅⋅
6
n=3
имеет вид по формуле (4.13):
123
tt tt
()()()
=⋅
++ +
., ., () sin
0 0003 0 80903
..
⋅=
−⋅
()
f
⋅
()
.
0 0057
2
ξ
.
.
Таким образом,
(. )....
0
R
54
3
⋅⋅⋅⋅
0210()
.≤
≈⋅
−
5
.
4
0 087 02 0818 28
Отсюда видно, что остаточный член может повлиять только на
пятый десятичный знак, поэтому полученное значение полностью
совпадает с табличным.
Теперь для оценки остаточного члена воспользуемся формулой (4.16):
4
y
∆
Rx
3
n
tt
123()
≈⋅++ +
()()
;
0 0002
R
54
3
.
02 0818 28 642100110()
≈⋅⋅⋅⋅≈ ⋅<⋅
....
то есть результат практически тот же самый.
Выводы
В случае интерполирования для равноотстоящих узлов вводятся конечные разности, указываются их простейшие свойства, строятся конечно-разностные интерполяционные многочлены; устанавливается связь
между производными функции и конечными разностями; на основе этой
связи выводятся оценки остаточных членов, в структуру которых не вхо
дят производные высоких порядков. Для лучшего понимания материала
лекции в иллюстративных целях приводятся многочисленные примеры.
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение понятию конечных разностей различного
порядка.
- 52 -
5
,
-
(.
(.
()
()
()
()
Лекция4
2. Выражение конечных разностей любого порядка через значения функции. Привести примеры.
3. Выпишите интерполяционные формулы Ньютона и их остаточные члены.
4. Выражение производных через конечные разности.
5. Остаточные члены интерполяционных формул Ньютона без
использования производных соответствующего порядка.
6. Оценить, с какой точностью можно вычислить по формулам
Ньютона
ln
101, ln
ln
)1005
102, ln
и
ln
103
)1026
, если известны значения:
.
ln
100
Рекомендованная литература
Основная
1. Амосов А. А. и др. Вычислительные методы: Учебное пособие. – 4-е
изд. стер. – СПб.: Изд-во «Лань», 2014, 672 с.
2. Баxвалов H., Жидков H., Кобельков Г. Численные методы. – Москва –
Санкт-Петербyрг: ФИЗМАТЛИТ, 2008.
3. Баxвалов H. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в
задачаx и примераx. – М.: ВШ, 2009.
4. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т.1. – М.: Физмат-
гиз, 1966.
5. Вержбицкий В. М. Численные методы. – М.: Высшая школа, 2004.
6. Волков Е. А. Численные методы: Учебное пособие. 5-е изд., стер. –
СПб.: Изд-во «Лань», 2008, 256с.
7. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики:
Учебное пособие. 8-е изд., стер. – СПб.: Изд-во «Лань», 2011, 672 с.
8. Зализняк В. Е. Основы научных вычислений. Введение в численные
методы для физиков. – М.: Едиториал УРСС, 2002, 296с.
9. Копчёнова Н. В., Марон И. А. Вычислительная математика в задачах
и примерах. – М.: Изд-во Лань, 2008, 368 с.
10. Самарский А. А., Гyлин А. В. Численные методы. – М.: Наука, 2008.
11. Турчак Л. И., Плотников П. В. Основы численных методов: учебное
пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, 320 с.
12. Формалёв В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. – М.: ФИЗ-
МАТЛИТ, 2006, 400 с.
Дополнительная
13. Азаров А.И. и др. Сборник задач по методам вычислений. – М.:
Hаyка, 1994.
,
- 53 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Pxn()
fx()
Px
nn
()=−
ω
()
x(
fx
x(
=
x(
ii
+
−
22
+
()
22
π
in=
Tx
()
5. МИНИМИЗАЦИЯ ПОГРЕШНОСТИ
МЕТОДА ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ.
МНОГОЧЛЕНЫ ЧЕБЫШЁВА И ИХ СВОЙСТВА
План
5.1. Постановказадачиминимизациипогрешностиинтерполирования.
5.2. МногочленыЧебышёваиихсвойства.
5.3. Оценкапогрешностиинтерполирования.
5.4. Сходимостьинтерполяционногопроцесса.
5.1. Постановка задачи минимизации
погрешности интерполирования
Как мы видим, отклонение
Rx fx
() ()
, определяется величинами
Если
мы изменить не можем, то
ma
[,]
ab
+1
()
n
от
)
, т. е. погрешность
n()()+1
f
ξ
и
nx+1
.
мы можем в некоторых случаях менять по нашему усмотрению, из-
x
меняя узлы
.
i
Поставим следующую задачу: как нужно выбрать узлы
xi n
(,,..., )
01
i
, чтобы
Эта задача была решена русским учёным П. Л. Чебышёвым, который доказал, что наилучший выбор узлов интерполирования (в указанном смысле) даётся формулой
где
это нули (корни) так называемого полинома Чебышёва
Многочлены Чебышёва играют фундаментальную роль в теории и
практике численных методов. Поэтому познакомимся с некоторыми
свойствами этих многочленов.
ma
[,]ab
ma
[,]ab
z
=−
cos
i
)
x
ω
+1
n
ba ba
x
=
21
i
+
n
)
x
ω
+1
n
был наименьшим.
,
z
⋅
,
012,, ,...,
–
+
.
n+
1
- 54 -
5.2. Многочлены Чебышёва и их свойства
Тxn()
[]
nx
s)=⋅
01
=⋅ =
xx
=⋅ =
xx
22
=⋅ =
()
nn
+= ⋅−−
φφφφ
Pxn()
+−
=−
11
()
xx
43
=−
42
53
Txn()
n
Tx
()
Txn()
Txn()
nn
[,
≤−11
nx
=⋅ =
in
+
=−
π
21
Txn()
Txn()
[,
n≥0
1. Многочлены Чебышёва
,
ся формулой
Tx
В частности, при
Tx x
() cos( arccos) ;
0
Tx x
2
() cos( arcco
n
n=012,,
() cos( arccos)
=−=
=−−
имеем:
Tx
1
2
cos(arccos) sin(arccos)
2
xx
222
1
(
21).=−x
Далее из тождества
cos( )cos coscos
12 1
Лекция5
−
на отрезке
11;
задают-
. (5.1)
1() cos( arccos) ;
,
n
полагая
где
n=12,,....
, в соответствии с (5.1) получаем
Тx xT xT x
nnn
2() ()
По рекуррентной формуле (5.2) последователь-
но находим:
Tx
() ,
3
Tx xx
Tx xxx
5
881() ,=−+
4
16 20 5() .=−+
…………………………
Таким образом,
действительно являются многочленами
-й степени.
2. Старший член многочлена
члена многочлена
старший член в
умножением на 2x и, следовательно,
n>0
при
3. На основе формулы (5.1) имеем, что
Tx на
()
n
4. Из уравнения
Tx
() cos( arccos)
n
получаем, что
21
i
=
cos
()
,,,,..., ,
2
n
имеет n различных корней на
нули
x
i
, т. е.
3
n+1
01
,
(5.2)
получается из старшего
1
−
2
есть
x
.
]
1
. (5.3)
0
]−11
.
- 55 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Txn()
[,
in
),
==
Txn()
[,
).
2
Pxn()
).
2
Px
()
2
()
()
in
π
()
()
()
5. На основе (5.1), (5.3) точками экстремума
дут точки, где
Txn()= 1
. Решая это уравнение
на
]−11
бу-
Txn() ,=1
получим
π
i
cos( ,,..., ),==
()
01
n
−π1
n+1
точек экстремума, максимумы
i
причем
т. е.
на
x
i()
Tx i
()cos( )(
ni
]−11
имеет
и минимумы чередуются.
Многочлены
Tx
()
()
n
n
Tx
n
n
x
....==+
−21
(5.4)
называются многочленами, наименее уклоняющимися от
нуля. Очевидно, что
max(
Tx
n
[;]−
11
1
=
−
1
n
5.3. Оценка погрешности интерполирования
Покажем, что какой бы многочлен
степени n со старшим
коэффициентом 1 мы не взяли,
max(
Px
n
[,]−
11
1
≥
−
1
n
Действительно, если бы это было не так, то разность
Tx
()
n
−
n
1−
представляла бы собой многочлен степени
n +
1
ет в
точках
x
i()
i
cos( ,, ,..., )==
n
(5.5)
n
n −
1
, который принима-
012
попеременно, то положительные, то отрицательные значения. Следо-
n −
1
вательно, многочлен (5.5) степени
мере n корней, что невозможно (многочлен степени
n −
1
иметь более чем
корней).
должен иметь по крайней
n −
1
не может
- 56 -
[,
ω
nn
xT
++
2
)(
).
2
Px
()
n +1
).
2
[,
ω
()
x(
()
21
22
()
[,
Tz
()
in
()
Лекция5
Если в качестве отрезка интерполирования
[,]ab
взять
честве узлов интерполирования – корни многочлена Чебышёва
xxxxxxxT
=− −−==⋅
() ()()...( )(
10111
n
1
n
n
]−11
и в ка-
x
, то
i
x
)
+
и
max(
ω
n
+
11
n+1
Px
11
1
n
+
1
Любой другой многочлен
n+1
x
при
имеет
[;]−
max(
[;]−
Таким образом, если ограничиться рассмотрением отрезка
то
будет иметь наименьшее возможное значение
nx+1
при условии, что в качестве узлов интерполирования взяты корни
1
=
x
n
степени
1
≥
n
с коэффициентом 1
]−11
ma
[;]−+11
)
ω
x
n
1
многочлена Чебышёва, и в этом случае справедлива наилучшая из
оценок погрешности интерполирования
M
n
Rx fx Px
() () ()
nn
n
n
⋅+
+1
.=− ≤
(5.6)
!
Если интерполирование производиться на произвольном отрезке
[,]ab
, то линейной заменой переменных
ba ba
+
x
−
+
z=
⋅
,
,
1
его можно перевести в
z
]−11
. При этом корни многочлена
ba
−
xba=
2
−−
рейдут в
ba ba i
+
x
=
i
+
22
−+
π
21
()
,,,,...,
n
+
22
=
012cos
Оценка погрешности интерполирования для этого случая будет
такова:
Rx fx Px
() () ()
nn
M
n
()!
ba
n
+
−
+
1
⋅
+
21
1
n
2
- 57 -
пе-
n+1
.
n
+
1
.=− ≤
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
ab
xa
[]
fx
()
Px
()
Px
()
n
fx
()
Px
()
n →∞
fx
()
ab
fx
()
ab
fx
()
fx
()
ab
Px
()
fx
()
ab
fx
()
Px
()
ab
[,
fx
()
fx
()
5.4. Сходимость интерполяционного процесса
Пусть на отрезке
[, ]
задана бесконечная треугольная таблица
узлов, определяющая интерполяционный процесс:
0
()
x
0
1
1
() ()
xx
0
1
2
2
() () ()
xxx
0
2
1
2
... ... ...
nnn
() () ()
xxx x
01 2
...
... ... ... ... ...
, определённой на отрезке
Для функции
следовательность интерполяционных полиномов
причём для построения
используются все элементы
в качестве узлов интерполирования
n
-й строки данной таблицы. Какими
свойствами должны обладать функция
последовательность многочленов
[, ]
дилась к
на
? Существует ли такая таблица узлов (5.7),
n
()
n
()
nn
,
i
b
∈
,
. (5.7)
[, ]ab
n
, строится по-
n=012,, ,...
,
и таблица (5.7), чтобы
при
n
равномерно схо-
чтобы соответствующий ей интерполяционный процесс сходился
равномерно на
для любой непрерывной там функции
?
[, ]ab
Приведём только три теоремы, в какой-то мере отвечающие на эти
вопросы.
,
Терема 5.1. Не существует таблицы узлов (5.7), для которой интерполяционный процесс был бы равномерно сходящимся на
для всякой непрерывной там функции
Теорема 5.2. Если функция
на отрезке
[, ]
первого рода, то
Теорема 5.3. Пусть
, а узлы
x
являются корнями многочлена Чебышёва
k
равномерно сходится к
n
– целая функция, тогда последователь-
непрерывно дифференцируема
.
[, ]
на
ность построенных для неё интерполяционных многочленов
[, ]
.
n
по любой треугольной матрице вида (5.7) с элементами, принадлежа-
[, ]
щими отрезку
, равномерно на отрезке
Определение. Функция
называется целой, если её можно
]ab
сходится к
.
представить в виде степенного ряда
- 58 -
()
()
()
()
x
n
Лекция5
fx aaxx ax xaxx
=+ −
01 02 0
+−
сходящегося при всех значениях
.
2
++ −
... ...
n
n
+
0
,
Выводы
Выводится наилучшая оценка погрешности интерполяции функ-
ции при полиномиальном интерполировании на основе полиномов
П.Л. Чебышёва. Приводятся основные свойства полиномов Чебышёва. Доказывается, что полиномы Чебышёва первого рода наименее
уклоняются от нуля по сравнению со всеми другими полиномами такой же степени со старшим коэффициентом равным единице. Приведены теоремы о сходимости интерполяционного процесса для любой
непрерывной функции, для дифференцируемой функции на отрезке
[, ]ab
и целой функции.
Вопросы для самопроверки
1. Запишите многочлены Чебышёва в общем виде?
2. Покажите, действительно ли многочлены Чебышёва являют-
ся многочленами
-й степени?
3. Для чего и в каких случаях используются многочлены Чебы-
шёва при решении задачи интерполирования функций?
4. Выпишите формулу оценки погрешности интерполирования,
если в качестве узлов интерполирования взяты корни многочлена Чебышёва.
Рекомендованная литература
Основная
1. Амосов А. А. и др. Вычислительные методы: Учебное пособие. – 4-е
изд. стер. – СПб.: Изд-во «Лань», 2014, 672 с.
2. Баxвалов H., Жидков H., Кобельков Г. Численные методы. – Москва –
Санкт-Петербyрг: ФИЗМАТЛИТ, 2008.
3. Баxвалов H. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в
задачаx и примераx. – М.: ВШ, 2009.
4. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т.1. – М.: Физмат-
гиз, 1966.
5. Вержбицкий В. М. Численные методы. – М.: Высшая школа, 2004.
- 59 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
6. Волков Е. А. Численные методы: Учебное пособие. 5-е изд., стер. –
СПб.: Изд-во «Лань», 2008, 256с.
7. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики:
Учебное пособие. 8-е изд., стер. – СПб.: Изд-во «Лань», 2011, 672 с.
8. Зализняк В. Е. Основы научных вычислений. Введение в численные
методы для физиков. – М.: Едиториал УРСС, 2002, 296с.
9. Копчёнова Н. В., Марон И. А. Вычислительная математика в задачах
и примерах. – М.: Изд-во Лань, 2008, 368 с.
10. Самарский А. А., Гyлин А. В. Численные методы. – М.: Наука, 2008.
11. Турчак Л. И., Плотников П. В. Основы численных методов: учебное
пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, 320 с.
12. Формалёв В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006, 400 с.
Дополнительная
13. Азаров А. И. и др. Сборник задач по методам вычислений. – М.:
Hаyка, 1994.
- 60 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]