Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Численные методы. Ч.1. Учебное пособие
.pdf
x
y
y
fx()
′
fx()
′′
fx()
[]
fx
()
Px
()
[]
fx
()
[]
()
[]
Лекция6
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение сплайна. Линейный сплайн.
2. Дайте определение кубического сплайна.
3. Виды граничных условий при построении сплайнов.
4. Для таблично заданных функций
-1 0 1 2
a)
3 2 5 1
б) x 1 2 4 5
3 4 6 5
построить линейный и параболический сплайны.
5. Приведите оценки погрешности интерполяции кубическими
сплайнами для функции
и ее производных
и
6. Приведите теорему Вейерштрасса о приближении непрерыв-
ных функций на отрезке
ab,
многочленами со сколь угодно
большой точностью.
7. Дайте определение наилучшего приближения непрерывной
функции
полиномом
на отрезке
ab,
.
8. Дайте определение полинома наилучшего равномерного при-
ближения функции
на отрезке
ab,
.
9. Дайте определение понятию – чебышёвский альтернанс.
fx x
10. Для функции
лучшего равномерного приближения на отрезке
=
постройте полином 1-й степени наи-
12,
.
.
Рекомендованная литература
Основная
1. Амосов А. А. и др. Вычислительные методы: Учебное пособие. – 4-е
изд. стер. – СПб.: Изд-во «Лань», 2014, 672 с.
2. Баxвалов H., Жидков H., Кобельков Г. Численные методы. – Москва –
Санкт-Петербyрг: ФИЗМАТЛИТ, 2008.
3. Баxвалов H. С., Лапин А. В., Чижонков Е. В. Численные методы в
задачаx и примераx. – М.: ВШ, 2009.
4. Вержбицкий В. М.. Численные методы. – М.: Высшая школа, 2004.
5. Волков Е. А. Численные методы: Учебное пособие. 5-е изд., стер. –
СПб.: Изд-во «Лань», 2008, 256с.
- 71 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
6. Демидович Б. П., Марон И. А., Шyвалова Э. З. Численные методы
анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные
уравнения: Учебное пособие. 5-е изд., стер. – СПб.: Изд-во «Лань»,
2010, 400 с.
7. Самарский А. А., Гyлин А. В. Численные методы. – М.: Наука, 2008.
8. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: учебное
пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, 320 с.
9. Формалёв В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006, 400 с.
Дополнительная
10. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы
сплайн-функций. – М.: Наука, 1980.
11. Азаров А. И. и др. Сборник задач по методам вычислений. – М.:
Hаyка, 1994.
12. Дьяченко В. Ф. Основные понятия вычислительной математики. –
М.: Наука, 1977.
- 72 -
Лекция7
in=
mn<
mn<<
x
7. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
ПО МЕТОДУ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
(Дискретный вариант)
План
7.1. Постановказадачи.
7.2. Методнаименьшихквадратов.
7.3. Примеры построения функциональных зависимостей по
экспериментальнымданным.
Метод наименьших квадратов был предложен Гауссом и Лежандром в конце XVIII – начале XIX века связи с проблемой обработки
экспериментальных данных.
В этом случае задача построения приближающей функции непре-
x
yi(,,..., )
рывного аргумента по дискретной информации
,
i
рактеризуется двумя особенностями.
1. Число точек
x
, в которых производятся измерения, обычно
i
бывает достаточно большим.
2. Значения функции
y
в точках сетки
i
x
определяются при-
i
ближенно с неизбежными ошибками измерения.
С учетом этих обстоятельств, строить приближающую функцию в
виде полинома высокой степени и добиваться ее точного равенства в
точках сетки
x
величинам
i
y
, как это делалось при интерполирова-
i
нии, становится нецелесообразным.
В методе наименьших квадратов аппроксимирующая функция
ищется в виде полинома невысокой степени
m
∑
k
k
,
0
=
0
,
Px ax
()=
01
ха-
в частности, возможен вариант, когда
.
7.1. Постановка задачи
Пусть, изучая неизвестную функциональную зависимость между величинами
и y, мы в результате серии экспериментов произвели ряд
измерений этих величин и получили следующую таблицу значений
- 73 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
()=()
xx
=
in=
in=
F
xb=+
xc
=⋅ +
ωα
xb=⋅ +
x
0
y
0
x
1
y
1
x
2
y
2
…
…
x
n
y
n
Задача состоит в том, чтобы найти приближенную зависимость
значения
F
i
ных данных
которой при
yi(,,..., )
01
Fx Px
(,,..., )
01
i
.
, (7.1)
мало отличаются от опыт-
Приближенная функциональная зависимость (7.1), полученная на ос-
нове экспериментальных данных, называется эмпирической формулой.
Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов: подбора
общего вида этой формулы и определения наилучших значений параметров, содержащихся в ней.
Общий вид формулы иногда известен из физических соображений.
Если характер зависимости неизвестен, то вид эмпирической формулы
может быть произвольным. Предпочтение обычно отдается наиболее
простым формулам, обладающим достаточной точностью. Они первоначально выбираются из геометрических соображений: экспериментальные точки наносятся на график и примерно угадывается общий вид
зависимости путем сравнения полученной кривой с графиками известных функций (многочлена, показательной или логарифмической функции и т.п.). Успех здесь в значительной мере определяется опытом и интуицией исследователя. В качестве приближающих функций в
зависимости от характера точечного графика функции
часто исполь-
зуются следующие функции:
ya
yaxb
=++
,
2
,
ya x
sin( )
ya
yaxm=
yae
=⋅
ln
yb
=+
- 74 -
mx
,
a
x
,
,
1
y
ax b=+
,
,
,
ωα
aa
=
,)
F
in=
ε
ε
im
ay=−
in=
ε
ay
im
()
=
Лекция7
x
где
abcm,,,,,
y
– параметры, подлежащие определению.
ax b=+
и др.,
Будем считать, что тип эмпирической формулы выбран и ее можно
представить в виде
– известная функция,
где
(, ,,
01
aa a
,,...,
m01
, (7.2)
m
– неизвестные постоянные па-
yFxa
раметры.
Задача состоит в том, чтобы определить такие значения этих параме-
тров, при которых эмпирическая формула дает хорошее приближение
данной функции, значения которой в точках
x
равны
i
yi(,,..., )
01
.
Здесь не ставится условие (как в случае интерполяции) совпадения
y
опытных данных
x
.
ках
i
Разность между этими значениями (отклонения) обозначим через
со значениями эмпирической функции (7.2) в точ-
i
i
Тогда
Fxaa
(, ,,..., )
01
(,,..., )
01
,
i
. (7.3)
.
Задача нахождения наилучших значений параметров
сводится к некоторой минимизации отклонений
Существует несколько способов решения этой задачи. Мы рассмо-
трим один из них.
7.2 Метод наименьших квадратов
Запишем сумму квадратов отклонений (7.3) для всех точек
Sa aa Fxaa
Параметры
(,,...,) ,,,...,
01
aa a
,,...,
из условия минимума функции
В этом и состоит сущность метода наименьших квадратов.
aa a
,,...,
n
2
==
ε
mi
i
эмпирической формулы (7.2) будем находить
m01
SSaa a
(,,..., )
n
∑∑
==
i
00
01
m01
.
i
xx x
,,...,
2
−
. (7.4)
01
m
.
i
- 75 -
:
n01
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
mm
F
Sy
+−
).
=
20
),
⋅=
).
aa a
Так как здесь параметры
,,...,
выступают в роли независимых
m01
переменных функции S, то ее минимум найдем, приравнивая к нулю
частные производные по этим переменным:
∂
S
∂
a
0
∂
S
0
=
,
0
=
∂
a
1
, …,
∂
S
0
=
∂
. (7.5)
a
m
Полученные соотношения – система уравнений для определения
aa a
,,...,
.
m01
Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для частного
случая, широко используемого на практике. В качестве эмпирической
функции рассмотрим многочлен
Fxaa aaax ax
(, ,,..., ) ...
01 01
=+ ++
здесь аппроксимирующая (приближающая) функция
нейной функцией относительно параметров
Формула (7.4) для определения суммы квадратов отклонений
m
; (7.6)
является ли-
aa a
,,...,
.
m01
S
при-
мет вид
n
=++…
(a ax ax
∑
01imi
i
=
0
m
2
(7.7)
i
Для составления системы уравнений (7.5) найдем частные произво-
SSaa a
дные функции
(,,..., )
01
∂
S
∂
a
∂
S
∂
a
. . . . .
. . . . . .
∂
S
∂
a
n
(a ax ax
=⋅ ++…+ −=
∑
=
i
0
1
m
0
n
2
(a ax ax
=⋅ ++…+
∑
i
=
n
(a ax
2 ++−
=⋅ ++…
∑
=
i
:
m
ii
ax
mi
m
m
−⋅=00
m
01imi
01im
01i
),
y
i
yx
ii
m
yx00
ii
(7.8)
Собирая коэффициенты при неизвестных
получим систему уравнений относительно неизвестных
- 76 -
aa a
,,...,
в системе (7.8),
m01
aa a
,,...,
:
m01
==
xy
00
x
y
12
n = 4, m = 2
Лекция7
() ... ,naaxax ax y
++⋅+⋅++⋅ =
1
n
Эти
xxa xa xaxxy
a
⋅
∑∑ ∑∑
0
0
i
. . . . . . . . . . . . . . .
n
ax
⋅
∑∑∑ ∑∑
0
=
i
0
m+1
уравнений можно представить в матрично-векторном виде:
nxxx
+
1
n
xx xx
∑∑ ∑
i
i
== =
0
... ... ... ...
n
m
xx xx
∑∑ ∑∑
i
0
i
=
n
∑∑ ∑∑
01
== ==
i
0
n
+⋅ +⋅ ++ ⋅=
1
i
i
0
i
m
n
+⋅ +⋅ ++ ⋅=
ax ax ax
1
=
i
0
n
∑∑ ∑
i
== =
0
i
n
2
i
i
0
n
1
m
+
i
0
i
=
n
i
2
i
+
m
i
i
i
2
i
2
i
000
n
3
2
i
1
n
2
i
00
n
3
i
0
... ,
i
0
n
m
i
2
i
0
n
mi
i
n
mi
0
i
==
+
2
... .
n
m
i
i
n
m
+
1
∑
i
i
00
=
n
2
m
+
i
0
i
==
n
2
m
i
0
i
n
m
mi
⋅
a
i
i
n
1
m
+
∑
00
i== =
n
m
2
i
a
0
a
∑
1
=
i
n
∑
m
=
i
ii
∑∑
=
i
n
∑
0
=
i
n
x
=
0
...
xy
0
n
y
i
imi
imi
i
yy
i
(7.9)
Решая эту систему линейных уравнений, получаем коэффициенты
aa a
,,...,
многочлена (7.6), которые являются искомыми параметрами
m01
аппроксимирующей функции.
7.3. Примеры построения функциональных зависимостей
по экспериментальным данным
Пример7.1. Данную табличную функцию
0.75 1.50 2.25 3.00 3.75
2.50 1.20 1.12 2.25 4.28
требуется аппроксимировать многочленом второй степени
Px aaxax
()=+⋅+ ⋅
20
Решение. В данном случае
2
.
и система уравнений (7.9)
примет вид:
- 77 -
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
ii
xx
()≈()
()
ii
−2()
ii
()
()
Px
()
{}
()
4
∑∑∑
0
i
== =
4
∑∑
0
i
==
4
5
xx x
xxx
xx
∑∑
i
0
i
==
4
i
2
i
2
i
0
i
4
3
i
0
i
i
i
∑
ii
4
0
4
0
4
=
0
a
0
2
i
a
1
3
⋅
i
a
4
2
i
4
=
∑
i
∑
i
4
=
∑∑
4
=
0
i
=
xy
0
xy
0
y
i
ii
2
или
511253094
11 25 30 94 94 92
.. .
30 94 94 92 30976
.. .
..
⋅aa
0
1
a
22
.
11 35
29 00
90 21
...
=
Отсюда находим значения параметров:
a0554=., a1473=−., a2119=.
.
Таким образом, получаем следующую аппроксимацию функции, заданной в табличном виде:
yx Px
=− +
554473 119.. .
2
Проведем теперь сравнение исходных значений
2
.
y
с теми, которые
i
получаются из построенного многочлена. Находим результат в виде таблицы:
x
i
y
i
Px
i2
yPx
yPx
−
0.75 2.50 2.66 -0.16 0.026
1.50 1.20 1.12 0.08 0.007
2.25 1.12 0.92 0.20 0.040
3.00 2.25 2.06 0.19 0.037
3.75 4.28 4.54 -0.26 0.068
2
2
Отметим следующий факт: построенный приближающий многочлен
таблично заданную функцию
2
сумму
S
из всех существующих многочленов 2-й степени.
- 78 -
S
=0.18
y
i =
01 4,,...,
i
даёт наименьшую
U
U
m
U
kt=−⋅
Uy=
ma=
−=ka
=+
01
yU
ii
=
nm= =
Лекция7
Замечание.В том случае, когда величины определяются эксперимен-
тально, есть основание считать, что значения функции, полученные в
результате аппроксимации, лучше заданных, так как при аппроксимации по методу наименьших квадратов имеется тенденция к сглаживанию случайных ошибок.
Пример7.2. Конденсатор заряжен до некоторого напряжения
, по-
0
сле чего разряжается. Напряжение U измеряется в различные моменты
времени. Результаты измерений приведены в таблице:
t
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
сек
100 75 55 40 30 20 15 10 10 5 5
Известно, что зависимость U от времени t имеет вид
kt
=⋅
−
.
Найти параметры
Ume
и k.
Решение. Функция U относительно параметров m и k является не-
линейной функцией.
Сведем функцию
, нелинейную относительно параметров m и k,
к другой функции, линейной относительно своих параметров.
Прологарифмируем данную зависимость:
ln lnUm
.
Обозначим:
ln
ln
,
,
0
.
1
Получим функцию
ya at
линейную относительно параметров
a
Параметры
a
и
находим методом наименьших квадратов.
0
1
,
a
a
и
.
0
1
Составляем новую таблицу:
t
сек
ln
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4.61 4.32 4.01 3.67 3.40 3.00 2.71 2.30 2.30 1.61 1.61
Соответствующая система имеет вид (
- 79 -
10 1,
):
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
53
+=
+=
= =
25
=− =−
Ue
in
()
n
n
10
11
∑
0
i
10
10
tt
∑∑
i
0
0
i
i
==
a
t
i
⋅
2
a
i
10
0
1
y
∑
i
==
0
i=
=
10
ty
∑
ii
0
i
=
или
aa
01
5351212
aa
01
05
.
,
.
.
Решая последнюю систему, находим:
a0463=., a10313=−.
.
Отсюда:
am0463
ln .
463
.
me= =
ak10313
.
10
,
,
.
;
k=0313.
.
Итак, разрядка конденсатора выражается формулой:
t
−
=⋅
1025
0313..
.
Выводы
В этой лекции рассмотрен метод приближения сеточных функций
(данные могут быть получены экспериментально) другими функциями
(не обязательно полиномами) с критерием близости аппроксимируемой
и аппроксимирующей функций, отличном от критерия близости в случаях интерполирования функций и построения полиномов наилучшего
равномерного приближения. Этот метод получил название метода наименьших квадратов, где минимизируется сумма квадратов отклонений
приближаемой и приближающей функций в заданном наборе точек
=
01,,...,
быть много меньше
равна
. В этом методе степень приближающего многочлена может
. Если же степень приближающего многочлена
, то метод наименьших квадратов даст тот же самый полином,
x
i
что и в интерполяционном процессе.
,
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте задачу приближения таблично заданной
функции полиномом по методу наименьших квадратов.
- 80 -
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]