Численные методы. Ч.1. Учебное пособие

[]

ρ

Px

()

=⋅ +⋅ +⋅ +⋅ +⋅

+

()

21

Lx

()

xx

24

()

−+

Px

()

=⋅ +⋅ +⋅ +⋅

,)

Лекция8

Пример 8.1. Требуется аппроксимировать функцию

−

11,

отрезке

полиномом четвертой степени с весом

fx x()=

() ,x=1

с весом

ρ

()xx=

Для аппроксимации с весом

() ,x=1

2

−11

полином

.

берем в виде

4

линейной комбинации из первых пяти полиномов Лежандра:

Px aLxaLx aLxaLx aLx

() () () () ()

40011223344

a

где

согласно (8.15) и (8.22) определяются равенствами:

k

1

xL x

⋅

k

∫

−

1

a

=

k

2

k=01234,, ,,

,

.

k

Подставляя сюда многочлены

из (8.21), непосредственным

k

подсчетом получаем:

Px

() ()

4

15

(

=⋅−+441

128

71

4

x

31

2

x + ).

12581

=+⋅⋅ −− ⋅⋅

3161

35 30 3

8

2

x

=

Для аппроксимации с весом

на

а также

,

ρ

берем полином

в виде линейной комбинации из первых пяти

4

полиномов Чебышёва:

Px aTxaTx aTxaTx

() () () ()

400123344

Коэффициенты

a

согласно (8.15) и (8.25) определяются равен-

k

ствами:

1

=

a

0

∫

π

1

−

1

2

axTxdx k

=⋅ =

kk

∫

π

1

−

()xx=

x

dx

,

2

1

−

x

() ,( ,,

- 91 -

2

−11

.

1234

.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Tx

()

xx

42

()

[]

Ox

fx

()

=⋅

Tx

()

n)

xk

s,

Подставляя сюда

2

aaaaa

=====−

01234

ππ π

,, ,,

из (8.24), получаем:

k

0

2

0

4

15

и

Px

4

2

=⋅−+ +

15

16 36 3()

π

.

Отметим, что приближение, получаемое с помощью полиномов Чебышева, учитывает, в большей степени значения приближаемой

−

11,

функции у концов отрезка

; а приближение, получаемое с помо-

щью полиномов Лежандра, учитывает все значения приближаемой

−

11,

функции в промежутке

в одинаковой степени.

8.3. Среднеквадратические приближения

при помощи тригонометрических многочленов

Приближение периодических функций, определенных на всей оси

, наиболее рационально осуществлять при помощи тригономе-

трических многочленов.

Пусть заданная непрерывная функция

имеет для определен-

ности период, равный 2π.

Если бы период был l, то достаточно было бы сделать замену

l

t

x

2

π

с тем, чтобы свести задачу к случаю периода, равного 2π.

Берем аппроксимирующий многочлен

m

() (cos si

=⋅+⋅

mk k

=∑0

k

b

и

в соответствии с формулами (8.15) и (8.16)

k

Коэффициенты

Tx akxb kx

a

k

в виде:

m

. (8.26)

запишется в виде:

2

π

1

=⋅

afxdx

0

=⋅ ⋅

af

k

=⋅ ⋅

bfxkxd

k

2

π

2

1

∫

π

0

π

2

1

∫

π

0

() ,

∫

0

()co

()sin xx.

(8.27)

xdx

- 92 -

fx

()

xk

s,

fx

()

xk

==

,,

n,

fx

()

иx



ππ ππ

==

Лекция8

Это и есть известные из анализа коэффициенты Фурье функции В частности,

π

1

=⋅

если

afxdx

0

=⋅ ⋅

af

k

=

b

k

=

km

– четная функция, и

aa

0

=⋅ ⋅

bf

k

– нечетная функция.

() ,

∫

π

0

π

2

()co

∫

π

0

,

12

,,..., ,

00

k

π

2

()si

∫

π

0

xdx

(8.28)

(8.29)

Пример8.2. При помощи тригонометрического полинома девятой

степени требуется получить приближение следующей периодической функции:

fx

()

⋅− ≤≤



=



xxпр

() .

⋅+ −≤≤

0

xxприx

() ,

Решение. В силу нечетности данной функции по формулам (8.29)

имеем:

ak

0012

,,,,...,

k

π

2

=⋅ ⋅− =

bxxkxdx

k



2

=⋅−−⋅

=⋅ =− ⋅=⋅−−−

xx

()

π



π







2

π

()

=⋅−⋅ +⋅



π

k





π

444

sincos (

kx dx

23

∫

k

πππ

0

()sin

π

∫

π

0

π

kx

cos

2

x

+⋅ −

kkk

0

sin

kx

kk

k

π

1

π

()cos

∫

0

π

2

0

π

kx

0

2

xkxdx

π

iin

kx dx

s

∫

0

3

k



=

 





=

 





1



k

1) ;

 

.

- 93 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

21

()





Tx

()

fx

()

in

()

xd

следовательно,

bb

0

==

,

nn221

−

8

π

n

⋅−

.

3

Искомый тригонометрический полином запишется в виде:

81

Tx xx xxx

9

 

π

27

1

3

125

1

5

343

1

7

729

9() sinsin sinsin sin=⋅ ++ ++



..



С помощью тригонометрических многочленов можно аппроксимировать и непериодические функции. Аппроксимирующий многочлен

будет в этом случае давать приближенное представление

n

не на всей прямой, а лишь на отрезке длиной 2π.

Выводы

В этой лекции рассмотрен метод приближения функций другими функциями (не обязательно полиномами) с критерием близости аппроксимируемой и аппроксимирующей функций, отличном от критерия близости в случаях интерполирования функций, построения полиномов наилучшего равномерного приближения и от дискретного метода наименьших квадратов. Этот метод получил название интегрального метода наименьших квадратов аппроксимации функций, где минимизируется не сумма квадратов отклонений приближаемой

x

=

и приближающей функций в заданном наборе точек

01,,...,

,

i

а минимизируется расстояние

b

IfxP

=−

[()()]

∫

a

2

x

m

между данной и приближающей функциями. Введены понятия обобщённых многочленов и ортогональных многочленов. Наиболее просто выводятся коэффициенты приближающих многочленов в случаях, когда приближающий многочлен является алгебраическим многочленом или обобщённым многочленом, построенным на основе ортогональных многочленов. Рассмотрены приближения обобщёнными многочленами по системам ортогональных многочленов Чебышёва, Лежандра и тригонометрических многочленов.

,

- 94 -

fx

()

fx

()

Лекция8

Вопросы для самопроверки

1. Критерий построения полинома наилучшего приближения в

смысле средневадратического:

1) функция

2) функция

задана таблично; задана аналитически.

2. Дайте определение понятию – обобщенный многочлен.

3. Дайте определение понятию – ортогональные многочлены.

4. Приведите примеры систем ортогональных многочленов.

5. Докажите ортогональность системы полиномов Чебышева с

ρ

x

весом

.

6. Докажите ортогональность системы тригонометрических по-

ρ

x

линомов с весом

.

Рекомендованная литература

Основная

1. Амосов А. А. и др. Вычислительные методы: Учебное пособие. – 4-е

изд. стер. – СПб.: Изд-во «Лань», 2014, 672 с.

2. Вержбицкий В. М.. Численные методы. – М.: Высшая школа, 2004.

3. Волков Е.А. Численные методы: Учебное пособие. 5-е изд., стер. –

СПб.: Изд-во «Лань», 2008, 256с.

4. Демидович Б. П., Марон И. А., Шyвалова Э. З. Численные методы

анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные

уравнения: Учебное пособие. 5-е изд., стер. – СПб.: Изд-во «Лань»,

2010, 400 с.

5. Копчёнова Н. В., Марон И. А. Вычислительная математика в задачах

и примерах. – М.: Изд-во Лань, 2008, 368 с.

6. Самарский А. А., Гyлин А. В. Численные методы. – М.: Наука, 2008.

7. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: учебное

пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003, 320 с.

8. Формалёв В. Ф., Ревизников Д. Л. Численные методы. – М.: ФИЗ-

МАТЛИТ, 2006, 400 с.

Дополнительная

9. Азаров А. И. и др. Сборник задач по методам вычислений. – М.:

Hаyка, 1994.

10. Дьяченко В. Ф. Основные понятия вычислительной математики. –

М.: Наука, 1977.

- 95 -

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

= ()

()

[]

=−

[]

()

=−

11

9. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

План

9.1. Постановказадачичисленногодифференцирования.

9.2. Некорректностьзадачичисленногодифференцирования.

9.3. Формулычисленногодифференцирования.

9.4. О вычислительной погрешности формул численного дифференцирования.

9.5. Улучшениеаппроксимации.МетодРунге-Ромберга.

9.1. Постановка задачи численного дифференцирования

Задача численного дифференцирования состоит в приближенном

,,...,

d

=

dt

 



yfx

n01

xt()

,

ab

[]

по заданным в конечном

.

,

~

.

вычислении производных функции числе точек

xx x

значениям этой функции

yy y

9.2. Некорректность задачи численного дифференцирования

Рассмотрим задачу численного дифференцирования

yt

xt Cab() ,∈

где изводной, а

– пространству функций с непрерывной первой про-

1

yt Cab() ,∈

– пространству непрерывных функций.

В каждом из этих пространств расстояние между функциями бу-

дем определять так:

~



ρ

xt xt xt xt

(),()max () ()

 

Рассмотрим в

Cab1,

xt

Расстояние между ними



ρ

 

две функции

~

xt xt

() () sin( ).=+ −

и

~

xt xt

(),()max sin( )

 



,

ab

[]

n

1

n

2

nt a

2

nt a

- 96 -

=

n

Лекция9

ta

()

⋅−

−=

()



[]

x

fx()

+−

∆

xf

in

=+ =>

fx

ii

()

in

[]

=−

21

ξ

−

()

xx

ii

<<

in

[]

=−

при большом n можно сделать сколь угодно малым. Но

~~

d

yt

() () () cos( )()cos

==+⋅ ⋅−=+

xt yt

dt

1

22 2

nnta yt nn

n

,

т. е.

~



ρ

yt yt nnta n

(),()max cos( )

 



=⋅



,

ab

[]



2

.

Этот пример показывает, что для сколь угодно близких функций

xt

xt Cab

() ,∈

и

расстояние между их производными в

1

Cab,

может быть сколь угодно велико. Поэтому говорят, что задача дифференцирования некорректна.

9.3. Формулы численного дифференцирования

1)Простейшиеформулычисленногодифференцирования

Допустим, что в некоторой точке

у функции

существует

производная

′

=

fx

() lim

fx x) f(x

(

→

x

∆

0

∆

)

x

,

которую точно вычислить не удается, либо слишком сложно. Тогда естественно положить

+−

fx

≈

()∆

′

fx

()

(x

)

x

∆

. (9.1)

Спрашивается, какова же погрешность, т.е. разность между левой

и правой частями приближенного равенства (9.1)?

Остановимся на трех простейших формулах численного диффе-

ренцирования. Пусть

xxih

i

0

01 0,,,..., ,

h

– шаг.

Пусть

ffxf

=

ii

,

′=′

fCxx

∈

,

,, ,, ,...,

ii

+21

01

.

Тогда существует такая точка

′

fx f

fCxx

Если

()

ii

∈

ii

−+311

=′=

ff

ii

+

1

−⋅

h

12 1,,,,...,

- 97 -

, что

h

f

2

, то

′′

ξ

,

. (9.2)

+ξ1

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

()

xx

ii−+

<<

11

ξ

in

[]

=−

()

−+

11

xx

ii−+

<<

11

ξ

2

()

−

ii

,,

ξξ

−

ii

()

−

+−

ii

()

11

−+

()

fx

x(

fx

x(

fx

x(

2

h

f

−⋅

, то

−⋅

′′′

h

12

ξ

,

2

IV

f

ξ

,

. (9.3)

Если

′′

fx f

()

ii

′

=′=

fx f

()

ii i

fCxx

∈

ii

−+411

−+

fx fx fx

() () ()

=′′=

iii

−

ff

ii

+−

11

h

26

12 1,,,,...,

2

h

Докажем соотношение (9.2). Согласно формуле Тейлора имеем

2

⋅+

h

′′

f

ξ

.

ffxfxh fx fx h

==+= +

() ()() ()

ii iii++

11

′

Отсюда

ff

ii

+

′

fx

() ()

1

=

i

h

′′

fx x

−⋅

h

2

<<

+

1

т. е. получили равенство (9.2).

Формулы (9.2) – (9.4) называются формулами численного диффе-

ренцирования с остаточными членами, а формулы:

fx fx

()

+

′

fx

()

′

fx

()

i

≈

1

≈

h

fx fx

()

h

2

,

(9.5)

,

(9.6)

. (9.4)

называются просто формулами численного дифференцирования.

дующих неравенств, вытекающих из соотношений (9.2), (9.3), (9.4):

′′

fx

()

i

() ()

≈

2

iiii

1

2

h

(9.7)

fx fx fx

Погрешности формул (9.5), (9.6), (9.7) оцениваются с помощью сле-

−

ff

ii

+

1

′

−

f

i

h

−

ff

ii

+−

11

′

−

f

i

′′

−

f

i

h

26

−+

fff

2

iii

−+

11

2

h

≤⋅

ma

xx

,

[]

ii

2

h

≤⋅

ma

xx

[]

−+

ii

2

h

≤⋅

12

′′

)

,

11

,

′′′

)

,

IV

)

+

1

,

11

ma

xx

[]

−+

ii

.

- 98 -

h

Pxn()

Px

()

=

()

ξξ

Лекция9

Говорят, что погрешность формулы (9.5) имеет первый порядок относительно имеет второй порядок относительно

h

(или порядка h), а погрешность формул (9.6) и (9.7)

h

(или порядка

2

h

). Говорят также, что формула численного дифференцирования (9.5) первого порядка точности (относительно

), а формулы (9.6) и (9.7) имеют

второй порядок точности.

2)ПрименениеинтерполяционногомногочленаЛагранжа

Для нахождения производных любого порядка существуют фор-

мулы численного дифференцирования любого порядка точности.

Один из универсальных способов построения формул численного

дифференцирования состоит в том, что по значениям функции

xx x

в некоторых узлах

,,...,

строят интерполяционный многочлен

n01

f

Лагранжа и приближенно полагают

m

fx

Приведем несколько распространенных формул для первой

m =

и второй

шагом

h>0

n=2

2

производных в узлах, расположенных с постоянным

.

(три узла):

f

1

′

=⋅−+ −

0012

2

h

1

′

=⋅−

()

120

26

h

1

′

=⋅−+

()

2012

h

2

m

()

≈()

n

34

fff

2

ffhf

−⋅

fff

43

, 0 < m < n. (9.8)

m

1

2

h

+⋅

3

′′′

,

ξξ

()

2

h

+⋅

f

3

′′′

f

()

′′′

ξ

()



ξ

,

  

(9.9)

  

,f

 

1

′′

=⋅ −+

f

0

2

h

1

′′

=⋅ −

f

1

2

h

1

′′

=⋅ −+

f

2

h

2

fffhf

()

012122

2

ff

()

++

01

fffhf

0121

f

2

−⋅

2

12

+⋅

- 99 -

h

2

′′′

()

IV

ξ

f

()

′′′

ξ

()

IV

(),

().

ξ

   

(9.10)

   

2



h

IV

+

f

6

,

2

h

())

−

f

2

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

()

ξξ



ξξ

n, m

=

,,

′

′′

()

n=3

(четыре узла):

′

f

=⋅−+−+

00123

′

=⋅−−+

f

101

′

=⋅−++

f

20123

′′

f

=⋅−+−+

30123

1

h

6

1

h

6

1

h

6

1

h

6

ffffhf

11 18 92

ff

236

ffffhf

632

()

ff ffhf

2918 11

fffhf

−

23

−⋅

4

3

+⋅

12

3

IV

12

3

+⋅

4

3

IV

()

ξ

()

IV

ξ

,

IV



ξ

,

()

  

,

 

(9.11)

    

ξ

,

()





1

′′

f

0

′′

f

11

′′

f

2

′′

f

3

254

=⋅ −+ −

=⋅ −+

=⋅−

=⋅−+ −+

ffff hf

()

01 23

2

h

1

2

h

1

2

h

1

2

h

2

fff

()

012

2

f

()

1

ffff

()

012

−⋅

+

fffhf

−⋅

23

452

11

2

+⋅

12 10

2

h

IV V

f

12 30

2

IV V

12 30

+⋅

33

h

−

ξξ

()

1

h

−

ξξ

()

1

11

2

hf

12 10

IV V

()

3

IV V

−⋅

1

()

f

(),

()

f

(),

()

1

3

h

()

f

(),

2

3

h

()

−

().

f

Можно продолжить список формул численного дифференцирова-

ния для возрастающих значений

; при этом обнаруживается следующая закономерность: используя значения функции в получаем аппроксимацию производных n-го порядка точности. Эти формулы можно использовать не только для узлов для любых узлов

xxx

ii=+

,1

соответствующим образом изменяя

xxx

значения индексов.

Отметим тот факт, что при четных значениях n наиболее простые выражения и наименьшие коэффициенты в остаточных членах получаются для производных в средних (центральных) узлах (

n=2

y

,

при

2

n=4

y

,

1

при

n=2

y

,

при

n=4

). Выпишем аппроксимации производных (m=1,2) для узла с произвольным номером i, считая его центральным:

−

yy

ii11

+−

′

=

y

i

h

26

2

h

f

−⋅

′′′

ξ

n=2

,

; (9.13)

 

2

  

 

   

2



n+1

,,,

01

(9.12)

узлах,

но и

y

при

1

- 100 -